Orientador: Luci Any Francisco Roberto / Coorientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Ana Cristina Mereu / Banca: Claudio Gomes Pessoa / Resumo: Neste trabalho temos como objetivo estudar o número e a distribuição de ciclos limites em sistemas diferenciais lineares por partes. Em particular estudamos o número de ciclos limites do sistema diferencial linear por partes planar ˙x = −y − ε φ ( x) , ˙y = x, onde ε 6= 0 é um parâmetro pequeno e φ é uma função periódica linear por partes ímpar de período 4 . Provamos que dado um inteiro arbitário positivo n, o sistema acima possui exatamente n ciclos limites na faixa |x| ≤ 2 (n + 1 ). Consequentemente, existem sistemas diferenciais lineares por partes contendo uma infinidade de ciclos limites no plano real. Inicialmente obtemos uma quota inferior par a o número destes ciclos limites na faixa | x| ≤ 2 (n + 1 ) via Teoria do Averaging . Em seguida , utilizando a Teoria de Campos de Vetores Rodados, verificamos que o sistema acima tem exatamente n ciclos limites na faixa | x| ≤ 2 (n + 1 ) / Abstract: The main goal of this work aim to study the number and distribution of limit cycles in piecewise linear differential systems. In particular we consider the planar piecewise linear differential system ˙x = −y − ε φ ( x) , ˙y = x, where ε 6= 0 is a small parameter and φ is an odd piecewise linear periodic function of period 4 . We prove that given an arbitrary positive integer n, the system above has exactly n limit cycles in the strip | x| ≤ 2 (n + 1 ) . Consequently, there are piecewise differential systems containing an infinite number of limit cycles in the real plane. First we get a lower bound on the number of limit cycles in the strip |x| ≤ 2 (n + 1 ) via Averaging Theory. In the following , using the Theory of Rotated Vector Fields, we see that above system has exactly n limit cycles in the strip | x| ≤ 2 (n + 1 ) / Mestre

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 3489954 bytes, checksum: 857373bbfa0d1a2ba6e371f0fab25e09 (MD5) Previous issue date: 2011-04-18 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work was dedicated to classify all the global phase portraits of the quadratic polynomial vector fields having a rational first integral of degree three. For this, techniques were used as blow-up, classification of singular points, invariant curves for a system of ordinary diferential equations and vector fields induced on the sphere. / Este trabalho foi dedicado a determinação global dos retratos de fase, no disco de Poincaré, dos campos vetoriais polinomiais quadráticos que possuem integral primeira racional de grau três. Para determinar o retrato de fase, utilizamos técnicas como blow-up, classi- ficação dos pontos singulares, curvas invariantes para um sistema de equações diferenciais ordinárias e a indução de campos vetoriais sobre a esfera.

Orientador: Marco Antonio Teixeira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T12:10:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Roberto_LuciAnyFrancisco_D.pdf: 627926 bytes, checksum: 0c8cb4e26df805282fa716847859d82f (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho estudamos sistemas dinâmicos possuindo estruturas Hamiltonianas e reversíveis( / Abstract: In this work we study dynamical systems possessing Hamiltonian and time-reversible structures. The reversibility concept is de¯ned in terms of an involution. Initially we discuss the dynamics of Hamiltonian vector ¯elds with 2 and 3 degrees of freedom around an elliptic equilibrium in the presence of an involution which preserves the symplectic structure. The main results discuss the existence of one-parameter families of reversible periodic solutions terminating at the equilibrium. The main techniques that are used in the proofs are Belitskii and Birkho® normal forms and the Liapunov-Schmidt Reduction. Next we consider a case of the 3-body restricted problem in rotating coordinates. In this case the two primaries are oving in an elliptic collision orbit. By the continuation method of Poincare we characterize that the periodic circular orbits and the symmetric periodic elliptic orbits from the Kepler problem which can be prolonged to pseudo periodic orbits of the planar restricted 3{body problem in rotating coordinates with the two primaries moving in an elliptic collision orbit / Doutorado / Topologia e Geometria / Doutor em Matemática

Orientador: Marco Antonio Teixeira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T04:08:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tonon_DurvalJose_D.pdf: 2611537 bytes, checksum: 3c2c9e68c38b852842efbce1837a1b68 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho sistemas dinâmicos descontínuos em variedades tridimensionais são estudados. Descrevemos uma classe de tais sistemas que são localmente estruturalmente estáveis em uma vizinhança de uma singularidade típica. Exibimos nessa etapa uma sub-família de campos do tipo dobra-dobra que é estruturalmente estável. Introduzimos os conceitos de A e L-estabilidade, que são pequenas generalizações dos conceitos clássicos de estabilidade assintótica e estabilidade no sentido de Lyapunov, respectivamente. Através de formas normais para as famílias de campos descontínuos de codimensão zero e um, exibimos os subconjuntos de sistemas descontínuos que são A e L-estáveis em uma vizinhança da origem. Destacamos um dos principais objetos de estudo desse trabalho: a singularidade dobra-dobra caso elíptico (T-singularidade). Discutimos algumas propriedades de sua dinâmica como a A-estabilidade para campos do tipo dobra-dobra de codimensão zero, um e dois. Investigamos também a presença de alguns invariantes topológicos, como separatrizes e famílias de órbitas periódicas. Finalmente, analisamos os chamados sistemas com relê. Em especial um sistema com dois relês acoplados é discutido. / Abstract: In this work non-smooth dynamical systems in IR are considered. We describe a class of such systems that are locally structurally stable around a typical singularity. One of our contributions is to exhibit within these class of fold-fold systems a subclass which is structural stable. We also introduce the concept of A and L-stability which generalizes the classical concept of asymptotic and Lyapunov stability, respectively. Using normal forms for families of non smooth dynamical systems of codimension zero and one we exhibited subsets of non smooth dynamical systems which are A and L-stable in a neighborhood of the origin. We emphasize that the main object of study within this work is the fold-fold singularity in the elliptical case (T-singularity). We discuss some of its dynamical properties such as A-stability for codimension zero, one and two systems. We also investigate the presence of topological invariants such as séparatrices and families of periodic orbits. Finally we analyze two coupled relay systems. / Doutorado / Sistemas Dinamicos / Doutor em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T21:23:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Casagrande_Rogerio_D.pdf: 791160 bytes, checksum: 010eb0b4b4c51c71ac7df0e6a9c2ad1e (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: O índice de Conley é um invariante topológico usado na análise do comportamento qua¬litativo de sistemas dinâmicos. Inicialmente a teoria foi desenvolvida para fluxos contínuos em espaços de dimensão finita e posteriormente estendida para o caso discreto. Neste tra¬balho, apresentamos uma teoria do índice de Conley para uma classe de campos vetoriais descontínuos, com descontinuidade de primeira espécie. Campos vetoriais descontínuos são freqüentes em varias áreas da Ciência e Engenharia e podem ser expressos por sistemas suaves por partes em uma variedade n-dimensional compacta M. Considere uma estratificação de Whitney de M e seja Z um campo descontínuo em M, onde a região de descohtinuidade, D, é o estrato de codimensão um. Mostramos a existência de um D-par índice (N, L) e sua invariância quanto ao tipo de homotopia do espaço N quocientado por L. Desta forma o D-índice de Conley fica bem definido e apresentamos alguns exemplos de seu cálculo. Utilizamos o D-Índice de ConIey para exibirmos condições suficientes para a existência de pontos de bifurcação em uma família a um parâmetro de campos descontínuos. Apresen¬tamos uma teoria de continuação para D-grafos de Lyapunov associado à classe de campos descontínuos / Abstract: The Conley index is a used as a topological invariant in the analysis of the qualitative behavior of dynamical systems. lnitially the theory was developed for continuous flows in finite dimensional spaces and later extended to the infinite dimensional setting as well as to the discrete case. ln this work, we present a Conley index theory for a class of discontinuous vectar fields, with discontinuity of the first kind. Discontinuous vector fields are frequent in several areas of Science and Engineering and can be expressed as piecewise differentiable vector fields on an n-dimensional compact manifold, M. We consider a Whitney sttatification of M and a discontinuous vector field Z on M, where the region of discontinuity, D, is the strata of codimension one. We show the existence of a D-index pair (N, L) and prove that the quotienL space N/L independs on the pair chosen, thus defining the D-Conley index as the homotopy type of this quotient space. We present some examples of its calculation. We also use the D-Conley index to show sufficient conditions for the existence of bifurcation points in a one parameter family of discontinuous vector fields. We also present a theory of continuation for Lyapunov D-graphs associated to this class of discontinuous vector fields / Doutorado / Geometria e Topologia / Doutor em Matemática

Submitted by Franciele Moreira (francielemoreyra@gmail.com) on 2017-12-27T12:48:10Z No. of bitstreams: 2 Tese - Pablo Vandré Jacob Furlan - 2017.pdf: 3620430 bytes, checksum: 7275b5a734d392f78e2829268555ec68 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-12-28T09:41:38Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Pablo Vandré Jacob Furlan - 2017.pdf: 3620430 bytes, checksum: 7275b5a734d392f78e2829268555ec68 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-12-28T09:41:38Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Pablo Vandré Jacob Furlan - 2017.pdf: 3620430 bytes, checksum: 7275b5a734d392f78e2829268555ec68 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-11-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we establish a new method to calculate the index of curves in a neighborhood of a boundary and we show that the index of a trajectory of a vector field which intersects the boundary at two points is 1/2. Using this method we extended the index definition for discontinuous vector fields with a regular transition manifold and we calculate the index for closed curves that intersect the variety of transition = f−1(0), where f is a differentiable function, and is the union of the regions tangency, sewing, sliding and escaping. We also show that the index for solutions of the discontinuous vector field that are −closed of type 1 and intersect the boundary at 2-point is equal to 1. We also establish an index theory for discontinuous vector fields when the transition manifold is not regular in a point and we show that the index is given by the calculation in its regular regions and add ±1/2, depending on the dynamics at the non-regular point. We apply the theory of index developed in this work and we give quotas for the indices of continuous vector field and for polynomial vector fields on two zones. Finally, we demonstrate a version of the Poincaré-Hopf Theorem for discontinuous vector fields in compact manifolds. / Neste trabalho estabelecemos um novo método para calcular o índice de curvas numa vizinhança do bordo e mostramos que o índice de uma trajetória de um campo vetorial a qual intersecta o bordo em dois pontos é 12 . Utilizando este método estendemos a definição do índice para campos vetoriais descontínuos com variedade de transição regular e calculamos o índice para curvas fechadas que intersectam a variedade de transição = f−1(0), onde f é uma função diferenciável, e é a união das regiões de tangência, de deslize, escape ou costura. Mostramos também que o índice para soluções do campo vetorial descontínuo que são −fechadas do tipo 1 e intersectam o bordo em 2 pontos é igual a 1. Estabelecemos também uma teoria do índice para campos vetoriais descontínuos quando a variedade de transição não é regular em um ponto e mostramos que o índice é dado pelo cálculo em suas regiões regulares e somar ±1 2 , a depender da dinâmica no ponto não regular. Aplicamos a teoria do índice desenvolvida neste trabalho e damos cotas para índices de campos vetoriais contínuos e para campos vetoriais polinomiais por partes. Finalmente, demostramos uma versão do Teorema de Poincaré-Hopf para campos vetoriais descontínuos em variedades compactas.

Esta dissertação trata do Princípio da similaridade para as soluções das equações da forma L\'OMEGA\' = A(z) ·\'OMEGA\' + B(z) · \'BARRA\' \'omega\' , sendo L um campo vetorial complexo não singular e A,B \'PERTENCE\' \'C POT. sigma\' (\'R POT. 2\'), com 0 < \'sigma\' < 1. Aqui são apresentados resultados para o campo vetorial elítico L = \'PARTIAL SUP\' \'\'PARTIAL\' z e para classes de campos vetoriais elíticos degenerados / This dissertation deals with the Similarity principle for solutions of equations of the form L \'omega\' = A(z) · \'omega\' + B(z) · \' BARRA\' \'omega\' where L is a nonsingular complex vector field and A,B \'IT BELONGS\' \'C POT. sigma \' (\'R POT. 2\'), with 0 < \'sigma\' < 1. Here are presented results for elliptic vector field and for classes of degenerate elliptic vector fields

Um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais em dimensão dois é apresentar, para uma dada família de sistemas diferenciais, uma classificação topológica dos retratos de fase de todos os sistemas dessa família. A proposta deste trabalho é estudar a técnica utilizada na classificação dos retratos de fase globais de sistemas diferenciais polinomiais da forma \'dx SUP dt\' = P(x,y) \'dy SUP dt = Q(x,y) onde P e Q são polinômios nas variáveis x e y e o máximo entre os graus de P e Q é 2. Para esse fim optamos pelo estudo da referência de Cairó e Llibre [5]. Na presente referência os autores obtém a classificação de todos os retratos de fase globais dos sistemas diferenciais polinomiais que possuem uma integral primeira racional, H, de grau 2. Esse estudo foi dividido em duas etapas. Na primeira, caracterizamos a função H através de seus coeficientes. Na segunda, encontramos todos os retratos de fase globais no disco de Poincaré. Para tais sistemas, existem exatamente 18 retratos de fase no disco de Poincaré, exceto pela reversão do sentido de todas as órbitas ou equivalência topológica / One of the main problems in the qualitative theory of 2-dimensional differential equations is, for a concrete family of differential systems, to describe a topological classification of the phase portraits for all the systems in this family. The purpose of this work is to study a technique used in the classification of global phase portraits of the planar polynomial diferential systems or simply quadratic systems of the form \'dx SUP. dt\' = P(x,y) \'dy SUP. dt\' = Q(x,y) where P and Q are real polynomials in x and y the maximum degree of P and Q is 2. Our basic reference is the paper of Cairó and Llibre [5]. In that work the authors give the classification of all global phase portraits of the planar quadratic differential systems having a rational first integral H of degree 2. Our work is divided in two parts. In the first part, we characterize the first integral H through its coeficients. In the second one, we describe all global phase portraits in the Poincaré disk. For such systems, there are exactly 18 different phase portraits in the Poincaré disk, up to a reversal of sense of all orbits or topological equivalence

Estudamos uma classe de campos de vetores seccionalmente lineares no plano denotada por X. Tais campos aparecem frequentemente em modelos matemáticos aplicados à engenharia. Baseados no trabalho de J. Sotomayor e R. Garcia [SG03], impondo condições sobre as singularidades, órbitas periódicas e separatrizes, definimos um conjunto de campos de vetores que são estruturalmente estáveis em X. Provamos que esse conjunto é aberto, denso e tem medida de Lebesgue total em X, o qual é um espaço vetorial de dimensão finita. / We study a class of piecewise-linear vector fields in the plane denoted by X. These vector fields appear often in mathematical models applied to Engineering. Based on Jorge Sotomayor and Ronaldo Garcia paper [SG03], we impose conditions on singularities, periodic orbits and separatrices, to define a set of vector fields structurally stable in X. We give a proof that this set is open, dense and has full Lebesgue measure in X, that is a finite dimensional vector space.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-05-26T15:40:44Z No. of bitstreams: 1 arturafonsoguedesrossini.pdf: 414354 bytes, checksum: 7de0172af679cf245fd9b870000235c4 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-05-29T18:55:21Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arturafonsoguedesrossini.pdf: 414354 bytes, checksum: 7de0172af679cf245fd9b870000235c4 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-29T18:55:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arturafonsoguedesrossini.pdf: 414354 bytes, checksum: 7de0172af679cf245fd9b870000235c4 (MD5) Previous issue date: 2011-12-15 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Uma folheação algébrica do plano projetivo sobre um corpo k pode ser dada tanto por um campo de vetores como por uma 1-forma em P2, já que dimensão um e codimensão um são a mesma noção visto que a dimensão de P2 é igual a 2. Então surge uma pergunta natural: Como se relacionam os campos vetoriais e as 1-formas em P2? Veremos que uma 1-forma ω e um campo de vetores X definem a mesma folheação do plano projetivo quando ω(p)(X(p)) = 0 para todo ponto p ∈P2. Uma segunda questão é a existência de curvas algébricas invariantes por uma folheação de P2. Originalmente, Poincaré formulou o seguinte problema: É possível limitar o grau de uma curva algébrica invariante por um campo de vetores em termos do grau do campo de vetores? A resposta para este problema é negativa, como podemos ver no Exemplo 3.18. Entretanto adicionando-se algumas hipóteses sobre tal curva invariante este problema pode possuir resposta positiva. No caso em que tal curva invariante é suave, mostra-se que o grau da curva é no máximo igual ao grau do campo vetorial mais um. Se uma curva invariante não for suave, mostra se que ainda é possível limitar o grau desta curva em termos do grau da folheação e da regularidade do seu conjunto de singularidades. / An algebraic foliation of the projective plane over a field k can be given either by a vector field or a 1-form in P2, as dimension one and codimension one are the same notion since dim(P2) = 2. Then a natural question arises: How do vector fields and 1-forms in P2 relate? We will see that an 1-form ω is related with a vector field X belonging to the kernel of ω, that is, ω and X define the same foliation of the projective plane when ω(p)(X(p)) = 0 for all points p ∈P2. A second question concerns about the existence of algebraic curves that are invariant by a foliation of P2. Originally, Poincaré formulated the following problem: Is it possible to bound the degree of an invariant curve under a vector field in terms of the degree of the field? The problem has a negative answer, but by adding some hypothesis it can be reformulated in order to have a positive answer. If we assume that this invariant curve is smooth, we show that the degree of the curve is at most the degree of the vector field plus one. If an invariant curve is not smooth, we show that its degree can be limited in terms of regularity of its set of singularities.