Ce document présente la synthèse des travaux de recherche de l'auteur, ainsi que leurs perspectives. La majeure partie de ces travaux concerne la fiabilité et l'"applicabilité" des méthodes numériques pour les coques minces. La fiabilité des méthodes est plus particulièrement étudiée dans le contexte des comportements asymptotiques (vis-à-vis de l'épaisseur) des modèles de coque. On résume aussi des travaux plus exploratoires concernant le couplage fluide-structure, l'optimisation des gyrovibrants et la biomécanique cardiaque.

Dans les applications, on rencontre fréquemment des structures minces de géométrie<br />complexe qui nécessitent l'utilisation de maillages surfaciques comportant des éléments<br />triangulaires. Il faut donc trouver des éléments finis triangulaires de coque qui<br />soient robustes vis-à-vis du verrouillage numérique, mais aussi au défaut de consistance.<br />Nous avons formulé un test numérique qui permet de détecter le verrouillage<br />membranaire, et également l'existence de modes parasites de membrane. L'élément<br />MITC6a (Bathe et Lee) apparaî t comme le meilleur élément à six noeuds, mais il<br />exhibe des modes parasites de membrane qui peuvent considérablement détériorer la<br />solution numérique. Nous proposons une technique de filtrage qui consiste à ajouter<br />un terme de stabilisation de cisaillement non réduit et nous avons défini l'élément<br />MITC6rs avec une interpolation plus riche pour le cisaillement. Après une évaluation<br />numérique détaillée, nous recommandons l'usage de l'élément MITC6a stabilisé.

La méthode isogéométrique (IGA) récemment proposée en tant que méthode numérique générique offre de réelles perspectives dans l’unification des modèles géométriques et computationnel. La méthode isogéométrique est intiment liée à la méthode des éléments finis (FEM) étant donné que la méthode est basée sur le même cadre variationnel. Cette méthode a montré dans de nombreuses circonstances de très bonne qualités numériques notamment avec des maillages grossiers (précision numérique, capacité à supporter de grandes déformations…). Notre objectif final dans ce travail est de fournir un environnement de base, numérique et logiciel, pour la simulation de problèmes à champs et physiques multiples pour des pièces élastomériques de type industriel. Dans ce contexte, les points numériques à développer pour l’IGA sont le traitement de l’incompressibilité et le caractère multi-champs du problème thermique dans la formulation de Galerkin. Ainsi dans ce travail nous proposons en premier, un paradigme objet de l’IGA intégré au sein d’une architecture orientée objet en Java, initialement con?ue pour résoudre des problèmes multi-champs couplés en transformations finies. L’approche proposée s’appuie pleinement sur le contexte variationnel existant dans le code dans le cadre des éléments finis pour réduire les développements pour MEF et IGA (une formulation développée en IGA tourne en MEF et vice versa). Dans un second temps, nous avons étudié le problème de l’incompressibilité pour notamment réduire le verrouillage numérique existant toujours sur l’IGA standard. Par un souci de simplicité, nous adoptons des formulations mixtes à 2 champs (déplacement/pression). Afin d’essayer de satisfaire la condition inf-sup en relachant la contrainte sur le déplacement, nous avons développé deux idées de la littérature (naturelle en NURBS) qui consiste à soit dupliquer une fois les n?uds intérieurs du patch des déplacements ou subdiviser les éléments du patch des déplacements. Nous avons étendu ce type d’éléments aux transformations finies. Enfin, et de manière originale, nous avons adopté la même stratégie pour les problèmes à 2-champs pour la thermomécanique. Différentes simulations à petites et grandes déformations confirment le potentiel de l’approche. Enfin, nous évaluons l’ensemble sur un modèle quasi-incompressible thermo-visco-élastique de type Zener sur des éprouvettes classiques dans un contexte physique complexe. / Recently proposed as a general purpose numerical method, the Isogeometric Analysis (IGA) offers great perspective to bridge the gap between CAD and CAE. The IGA is closely related to the finite element method (FEM) as the method is based on the same variational framework. Moreover, this method has shown in many circumstances to be have a better accuracy than the FEM (large mesh distortions…). Our final aim in this work is to simulate complex multiphysics problems for elastomers industrial parts. As matter of fact, the two main numerical issues in this context is the incompressibility/quasi-incompressibility of the material and the thermochemical coupling in Galerkin formulations. First, we propose, a programming paradigm of the IGA in an existing Java object-oriented hierarchy initially designed for solving multi-fields coupled problems at finite strains. We develop an approach that fully take benefit of the original architecture to reduce developments for both FEM and IGA (one problem developed in FEM can be run in IGA and vice versa). Second, we investigate volumetric locking issues persisting for low order NURBS element observed with standard displacement formulation as finite elements. To cure the problem, we adopt two-fields mixed formulation (displacement/pressure) for the sake of simplicity and target at assessing different discretizations in stability (inf-sup condition). The basic idea is to first to increase the internal knot’s multiplicity or to subdivide the patch for displacements. These ideas that are directly inspired from patches properties, have been found in the literature for the Stokes problem and extended to large strain in solid mechanics. The comparison between the two-fields mixed formulation and a strain projection method is lead at small and large strains. At last, we originally adopt a similar strategy for thermomechanical problem at small and large strains. In the context two-fields formulation, displacement/temperature, the LBB stability condition must be fulfilled to guaranty stability. Thus, we investigate the choices of patches for two-fields formulation displacement/temperature fields for IGA applied to thermoelasticity. Several numerical results for thermomechanical problems at small and finite strains, linear and nonlinear have been presented. At last, an incompressible viscous thermo-hyperelastic model is evaluated in the IGA framework with the proposed approach.

Cette thèse s'intéresse à la conception de méthodes de discrétisation non-conforme pour un modèle de poromécanique. Le but de ce travail est de simplifier les couplages liant la géomécanique d'un milieu poreux à l'écoulement polyphasique compositionnel ayant cours en son sein tels qu'ils sont réalisés actuellement dans l'industrie pétrolière, en discrétisant sur un même maillage, typiquement non-conforme car à l'image de la lithologie, la mécanique et l'écoulement. La nouveauté consiste donc à traiter la mécanique par une méthode d'approximation non-conforme sur maillages généraux. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle d'élasticité linéaire. Les difficultés inhérentes à son approximation non-conforme sont son manque de coercivité (se traduisant par la nécessité de satisfaire une inégalité de Korn sur un espace discret discontinu), ainsi que le phénomène de verrouillage numérique lorsque le matériau tend à devenir incompressible. Dans une première partie, nous construisons un espace d'approximation sur maillages généraux, s'apparentant à une extension de l'espace de Crouzeix-Raviart. Nous explicitons ses propriétés d'approximation et de conformité, et montrons que ce dernier est adapté à une discrétisation primale coercive et robuste au locking du modèle d'élasticité sur maillages généraux. La méthode proposée est moins coûteuse que son équivalent éléments finis (en termes de propriétés) P2. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l'approximation non-conforme d'un modèle couplé de poroélasticité. Nous étudions la convergence d'une famille de schémas numériques dont la discrétisation en espace utilise le formalisme des schémas Gradient, auquel appartient la méthode développée pour la mécanique. Nous prouvons la convergence de telles approximations vers la solution de régularité minimale du problème continu, indépendamment des paramètres physiques du système

Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d'ondes dans des milieux comportant des fils minces i.e. dont l'épaisseur est bien plus petite que la longueur d'onde. En appliquant la méthode des développements raccordés, nous dérivons un développement de la solution de l'équation de Helmholtz en 2D autour d'un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l'une est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l'autre est une version scalaire de la méthode de Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d'un objet filiforme dont les pointes sont arrondies ellipsoïdalement. Nous dérivons également un modèle approché dont l'étude mène à une justification théorique de l'équation de Pocklington dans sa version scalaire.

Cette thèse s'intéresse à la conception de méthodes de discrétisation non-conforme pour un modèle de poromécanique. Le but de ce travail est de simplifier les couplages liant la géomécanique d'un milieu poreux à l'écoulement polyphasique compositionnel ayant cours en son sein tels qu'ils sont réalisés actuellement dans l'industrie pétrolière, en discrétisant sur un même maillage, typiquement non-conforme car à l'image de la lithologie, la mécanique et l'écoulement. La nouveauté consiste donc à traiter la mécanique par une méthode d'approximation non-conforme sur maillages généraux. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle d'élasticité linéaire. Les difficultés inhérentes à son approximation non-conforme sont son manque de coercivité (se traduisant par la nécessité de satisfaire une inégalité de Korn sur un espace discret discontinu), ainsi que le phénomène de verrouillage numérique lorsque le matériau tend à devenir incompressible. Dans une première partie, nous construisons un espace d'approximation sur maillages généraux, s'apparentant à une extension de l'espace de Crouzeix-Raviart. Nous explicitons ses propriétés d'approximation et de conformité, et montrons que ce dernier est adapté à une discrétisation primale coercive et robuste au locking du modèle d'élasticité sur maillages généraux. La méthode proposée est moins coûteuse que son équivalent éléments finis (en termes de propriétés) P2. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l'approximation non-conforme d'un modèle couplé de poroélasticité. Nous étudions la convergence d'une famille de schémas numériques dont la discrétisation en espace utilise le formalisme des schémas Gradient, auquel appartient la méthode développée pour la mécanique. Nous prouvons la convergence de telles approximations vers la solution de régularité minimale du problème continu, indépendamment des paramètres physiques du système / This manuscript focuses on the conception of nonconforming discretization methods for a poromechanical model. The aim of this work is to ease the coupling between the geomechanics and the multiphase compositional Darcy flow in porous media by discretizing mechanics and flow on the same mesh, typically nonconforming as it represents the lithology. Hence, the novelty hinges on a nonconforming treatment of mechanics on general meshes. In this work, we focus on a linear elasticity model. The nonconforming approximation of such a model is not straightforward owing to its lack of coercivity (meaning that a discrete Korn's inequality must hold on a discontinuous discrete space) and to the numerical locking phenomenon occurring as the material becomes incompressible. In a first part, we design an approximation space on general meshes, which can be viewed as an extension of the so-called Crouzeix-Raviart space. We study its approximation and conformity properties, and prove that this latter is well-adapted to the design of a primal, coercive, and locking-free discretization of the elasticity model on general meshes. The proposed method is less costly than its finite element equivalent (in terms of properties) P2. In a second part, we tackle the nonconforming approximation of a coupled poroelasticity model. We study the convergence of a family of numerical schemes whose space discretization relies on the Gradient schemes framework, to which belongs the method developed for mechanics. We prove the convergence of such approximations toward the minimal regularity solution of the continuous problem, and independently of the choice of physical parameters

Les nappes en matériau flexible renforcées par des câbles apparaissent dans de nombreux systèmes industriels. Le rôle essentiel des renforts fibrés est d'apporter à la structure une rigidité plus importante en extension et en flexion. Mais il peut arriver qu'ils subissent une compression axiale importante, éventuellement couplée à de la flexion, conduisant à des instabilités de type flambement dans le plan de nappe. La thèse introduit une modélisation mécanique et numérique originale de ces nappes permettant de décrire ces instabilités afin de mieux les comprendre, d'en contrôler les effets et de dimensionner ce type de structures par calcul. Il prend en compte la flexion globale des fibres, ainsi la gestion des effets locaux induits dans la matrice. La modélisation a été développée à deux échelles : - une échelle macroscopique, introduisant une cinématique enrichie de milieu continu, reposant sur une densité surfacique de poutres résistant aux flexions (dans le plan et hors plan). Un modèle d'éléments finis spécifique a été développé. On vérifie que ce modèle de structure mince n'est pas sujet au phénomène de verrouillage numérique grâce à une analyse théorique ainsi qu'à une série de tests numériques ; - une échelle microscopique décrit par un modèle de cellule local construit et justifié par analyse asymptotique, et résolu par éléments finis. La modélisation a été analysée sous trois aspects - l'aptitude à prendre en compte l'incompressibilité de la matrice sans verrouillage numérique. - l'étude de flambement sous compression par analyse de stabilité multi-échelles calculant la charge critique et le mode de flambement attendu, - la pertinence numérique des résultats obtenus par rapport aux simulations expérimentales disponibles.