Let $G$ be a second countable, locally compact group which is either compact or abelian, and let $\rho$ be a unitary representation of $G$ on a separable Hilbert space $\mathcal{H}_\rho$. We examine frames of the form $\{ \rho(x) f_j \colon x \in G, j \in I\}$ for families $\{f_j\}_{j \in I}$ in $\mathcal{H}_\rho$. In particular, we give necessary and sufficient conditions for the joint orbit of a family of vectors in $\mathcal{H}_\rho$ to form a continuous frame. We pay special attention to this problem in the setting of shift invariance. In other words, we fix a larger second countable locally compact group $\Gamma \supset G$ containing $G$ as a closed subgroup, and we let $\rho$ be the action of $G$ on $L^2(\Gamma)$ by left translation. In both the compact and the abelian settings, we introduce notions of Zak transforms on $L^2(\Gamma)$ which simplify the analysis of group frames. Meanwhile, we run a parallel program that uses the Zak transform to classify closed subspaces of $L^2(\Gamma)$ which are invariant under left translation by $G$. The two projects give compatible outcomes. This dissertation contains previously published material.

<p> In this thesis we mainly give a characterization of dual frames of Gabor subspace frames. We give necessary and sufficient conditions for the existence and the uniqueness of a function h (called window) in the closed linear span of a Gabor subspace frame {EmbTnak}m,n∈Z such that the Bessel collection {EmbTnah}m,n∈Z serves as the dual frame of the original frame {EmbTnag}m,n∈Z. We solve the problem for three cases, first ab = 1, second ab = p ∈ N, and third ab = p/q, gcd(p, q) = 1. In each case, we first find the conditions for upper frame bound (known as Bessel collection). Secondly, we characterize the functions which are orthogonal to {EmbTnag}m,n∈Z in terms of the Zak transform, and then obtain necessary and sufficient conditions for lower frame bound. Here we state obtained conditions for normalized tight frame as a corollary. Finally, using all this information we solve the duality problem.</p> / Thesis / Master of Science (MSc)

Le travail présenté dans ce manuscrit porte sur deux sujets distincts. Le premier concerne la réponse d'un diélectrique cristallin à un champ électrique uniforme ; il s'ancre sur la théorie moderne de la polarisation développée par King-Smith, Vanderbilt et Resta. En nous restreignant d'abord au cas unidimensionnel, nous décrivons de manière perturbative à faible champ électrique le spectre de Wannier-Stark d'un modèle de bande. Nous utilisons ensuite ce développement dans une approche thermodynamique que nous modifions pour palier aux problèmes posés par le caractère non-borné du spectre de Wannier-Stark : nous introduisons en particulier un potentiel chimique local assurant la neutralité électrique locale au sein du cristal. Cette approche permet d'accéder à la polarisation et à la susceptibilité électrique des cristaux diélectriques. Finalement, nous étendons le travail effectué au cas bidimensionnel où de nouvelles caractéristiques associé aux isolants topologiques apparaissent.Le deuxième sujet porte sur la synchronisation de spin dans les gaz d'atomes froids. Nous étudions la compétition entre le mécanisme d'écho de spin et le phénomène d'auto-synchronisation lié à l'effet de rotation des spins identiques (emph{ISRE}). La méthode de l'écho de spin permet de compenser certains déphasage apparaissant dans une gaz d'atomes ultra-froid piégé, et accroît ainsi le temps de cohérence de l'ensemble. L'emph{ISRE} apparaît dans les gaz denses via les collisions entre atomes et conduit également à un accroissement du temps de cohérence. Nous montrons que ces deux mécanismes ne sont pas systématiquement compatibles. En particulier, leur compatibilité est lié à la relation entre les échelles de temps propres à chacun des phénomènes. / The work exposed in this manuscript covers two distinct topics. The first is about the response of crystalline dielectrics to an external static electric field; it is based on King-Smith, Vanderbilt and Resta modern theory of polarisation. Restricting ourselves to the 1D case, we first describe the Wannier-Stark ladder of a band model with a low-field perturbative approach. We then use this development to derive the thermodynamical response of the band model. We have to modify the usual thermodynamics to account for the unboundedness of the Wannier-Stark spectrum, through the introduction of a local chemical potentiel which ensures local electric neutrality in the crystal. In a last step, we extend our approch to the 2D cas, where new characteristics related to the topic of topological insulators appear.The second topic tackles synchronization and spin-echo in cold atom gases. We study the competition between the spin-echo mechanism and the self-synchronization mechanism which emerges from the identical spin rotation effet (emph{ISRE}). The spin-echo thechnique was built to compensate for some the of dephasing that appears in trapped ultra-cold gases, leading to an increased coherence time for the ensemble. The emph{ISRE} appears in dense atomic clouds where collisions also lead to an increased coherence time. We show that these two mechanism are not always compatible, in particular, their compatibility is based on the relation between the time scales associated to both phenomena.

Un théorème dû à Zak montre un lien pour le moins mystérieux entre des objets algébriques, les algèbres de Jordan, et des objets apparaissant naturellement dans le cadre de la géométrie projective complexe, les variétés de Scorza. La première partie de cette thèse essaie d'expliquer ce lien. Tout d'abord, la variété des éléments de rang de Jordan 1 dans une algèbre de Jordan est définie puis étudiée en détail: c'est une variété de Scorza et elle est l'image d'une généralisation de l'application de Veronese de degré deux. Ensuite, je donne des variantes de la preuve du théorème de Zak qui expliquent directement le lien avec les algèbres de Jordan, mais aussi l'homogénéité des variétés de Scorza et le rapport avec les espaces préhomogènes symétriques. Une technique omniprésente pour cette étude consiste à définir une algèbre par des constructions de géométrie projective: celle-ci permet de définir l'algèbre de Jordan dans laquelle vivent toutes les variétés de Scorza, mais s'applique plus généralement à un grand nombre d'autres algèbres. Par exemple, je donne une définition géométrique des algèbres de matrices, des algèbres de Lie et des algèbres de composition. De nombreux résultats de nature algébrique peuvent ainsi être retrouvés par des raisonnements géométriques particulièrement simples. J'étudie ainsi le groupe d'automorphismes d'une algèbre de Jordan et prouve une description des groupes spinoriels d'ordre pair. L'autre partie de cette thèse montre des théorèmes d'annulation pour les fibrés vectoriels amples. Je propose une généralisation d'un théorème dû à Laytimi et Nahm pour les puissances de Schur d'un fibré vectoriel correspondant à un produit tensoriel de crochets. Je démontre aussi des résultats pour les fibrés vectoriels de petit rang: ceux-ci impliquent une petite partie de la conjecture de Fulton et Lazarsfeld concernant la connexité de lieux de dégénérescence d'un morphisme de fibrés vectoriels. Par ailleurs, j'obtiens aussi des résultats plus forts dans le cas où le fibré est muni d'une forme quadratique non dégénérée ou symplectique à valeurs dans un fibré en droites. Ces résultats sont conséquence de théorèmes sur la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites homogènes sur les grassmanniennes, isotropes ou non. Je donne plusieurs résultats nouveaux concernant cette cohomologie.

This thesis consists of two parts. In the first chapter, we give some results on modulation spaces. First the relationship between the classical spaces and the modulation spaces is established. It is proved that certain modulation spaces defined on R² lie in the BMO space. Another result is that the Zak transform, a discrete time-frequency transform, maps a modulation space into a higher dimensional modulation space. And by using these results, an uncertainty principle for Gabor frames via modulation spaces is obtained. In the second part, we deal with optimization of an increasing positively homogeneous functions on the unit simplex. The class of increasing positively homogeneous functions is one of the function classes obtained via min-type functions in the context of abstract convexity. The cutting angle method is used for the minimization of this type functions. The most important step of this method is the minimization of a function which is the maximum of a number of min-type functions on the unit simplex. We propose a numerical algorithm for the minimization of such functions on the unit simplex and we mathematically prove that this algorithm finds the exact solution of the minimization problem. Some experiments have been carried out and the results of the experiments have been presented.

Cette thèse en physique constitue une étude théorique des états de bord dans des cristaux bidimensionnels qui exhibent deux cônes de Dirac (dégénérés en spin) dans leur relation de dispersion. Les deux systèmes considérés sont le graphène d'une part, et le réseau carré traversé d'un demi quantum de flux magnétique d'autre part. L'accent est mis sur la description analytique des niveaux d'énergie dispersifs sous fort champ magnétique (régime de l'effet Hall quantique), à l'approche du bord. Selon la géométrie du réseau cristallin et la forme du bord considéré, différents types de couplage sont induits sur les composantes de la fonction d'onde, donnant lieu à des structures d'états de bord différentes mais qui peuvent néanmoins être décrites de façon communes. En l'absence de champ magnétique, des états de bord peuvent également exister dans ces systèmes, mais ceux-ci ont une origine différente et leur existence même dépend de la nature des bords. Dans le cas du graphène, on montre comment comprendre l'existence de tels états en terme d'une phase de Berry particulière, appelée phase de Zak. Cette approche permet entre autre de comprendre comment manipuler ces états de bord en induisant une transition topologique de la phase de Zak à partir des paramètres de volume. Un autre type de transition topologique est également étudié. Il s'agit de la fusion des cônes de Dirac dans le réseau carré à demi flux. On montre que le mécanisme donnant lieu à ce phénomène est totalement différent de celui connu dans le graphène, et que le voisinage de la transition peut toutefois être décrit avec le même Hamiltonien effectif. Une partie plus courte traite de la localisation faible sur un cylindre désordonné en présence d'interactions électroniques. Le but de cette étude est d'illustrer le rôle de la géométrie sur les mécanismes de décohérence dus aux interactions électron-électron dans les systèmes diffusifs. Les harmoniques de la correction de localisation faible alors calculées mettent en évidence différents régimes qui permettent de sonder les différentes échelles de longueur caractérisant la décohérence. Ces longueurs révèlent la sensibilité des processus cohérents à la géométrie, et sont caractérisées par des lois de puissance en température spécifiques.