Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier et de traiter conjointement plusieurs problèmes phares en traitement d'images incluant le recalage d'images qui vise à apparier deux images via une transformation, la segmentation d'images dont le but est de délimiter les contours des objets présents au sein d'une image, et la décomposition d'images intimement liée au débruitage, partitionnant une image en une version plus régulière de celle-ci et sa partie complémentaire oscillante appelée texture, par des approches variationnelles locales et non locales. Les relations étroites existant entre ces différents problèmes motivent l'introduction de modèles conjoints dans lesquels chaque tâche aide les autres, surmontant ainsi certaines difficultés inhérentes au problème isolé. Le premier modèle proposé aborde la problématique de recalage d'images guidé par des résultats intermédiaires de segmentation préservant la topologie, dans un cadre variationnel. Un second modèle de segmentation et de recalage conjoint est introduit, étudié théoriquement et numériquement puis mis à l'épreuve à travers plusieurs simulations numériques. Le dernier modèle présenté tente de répondre à un besoin précis du CEREMA (Centre d'Études et d'Expertise sur les Risques, l'Environnement, la Mobilité et l'Aménagement) à savoir la détection automatique de fissures sur des images d'enrobés bitumineux. De part la complexité des images à traiter, une méthode conjointe de décomposition et de segmentation de structures fines est mise en place, puis justifiée théoriquement et numériquement, et enfin validée sur les images fournies. / In this thesis, we study and jointly address several important image processing problems including registration that aims at aligning images through a deformation, image segmentation whose goal consists in finding the edges delineating the objects inside an image, and image decomposition closely related to image denoising, and attempting to partition an image into a smoother version of it named cartoon and its complementary oscillatory part called texture, with both local and nonlocal variational approaches. The first proposed model addresses the topology-preserving segmentation-guided registration problem in a variational framework. A second joint segmentation and registration model is introduced, theoretically and numerically studied, then tested on various numerical simulations. The last model presented in this work tries to answer a more specific need expressed by the CEREMA (Centre of analysis and expertise on risks, environment, mobility and planning), namely automatic crack recovery detection on bituminous surface images. Due to the image complexity, a joint fine structure decomposition and segmentation model is proposed to deal with this problem. It is then theoretically and numerically justified and validated on the provided images.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Coarse-Graining (dt. ``Vergröberung", ``Zusammenfassung von Zuständen") für Gradientensysteme und Markov-Prozesse. Coarse-Graining ist ein etabliertes Verfahren in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und hat das Ziel, die Komplexität eines physikalischen Systems zu reduzieren und effektive Modelle herzuleiten. Die mathematischen Probleme in dieser Arbeit stammen aus der Theorie der Systeme interagierender Teilchen. Hierbei werden zwei Ziele verfolgt: Erstens, Coarse-Graining mathematisch rigoros zu beweisen, zweitens, mathematisch äquivalente Beschreibungen für die effektiven Modelle zu formulieren. Die ersten drei Teile der Arbeit befassen sich mit dem Grenzwert schneller Reaktionen für Reaktionssysteme und Reaktions-Diffusions-Systeme. Um effektive Modelle herzuleiten, werden nicht nur die zugehörigen Reaktionsratengleichungen betrachtet, sondern auch die zugrunde liegende Gradientenstruktur. Für Gradientensysteme wurde in den letzten Jahren eine strukturelle Konvergenz, die sogenannte ``EDP-Konvergenz", entwickelt. Dieses Coarse-Graining-Verfahren wird in der vorliegenden Arbeit auf folgende Systeme mit langsamen und schnellen Reaktionen angewandt: lineare Reaktionssysteme (bzw. Markov-Prozesse auf endlichem Zustandsraum), nichtlineare Reaktionssysteme, die das Massenwirkungsgesetz erfüllen, und lineare Reaktions-Diffusions-Systeme. Für den Grenzwert schneller Reaktionen wird eine mathematisch rigorose und strukturerhaltende Vergröberung auf dem Level des Gradientensystems inform von EDP-Konvergenz bewiesen. Im vierten Teil wird der Zusammenhang zwischen Gleichungen mit Gedächtnis und Markov-Prozessen untersucht. Für Gleichungen mit Gedächtnisintegralen wird explizit ein größer Markov-Prozess konstruiert, der die Gleichung mit Gedächtnis als Teilsystem enthält. Der letzte Teil beschäftigt sich mit verschieden Diskretisierungen für den Fokker-Planck-Operator. Dazu werden numerische und analytische Eigenschaften untersucht. / This thesis deals with coarse-graining for gradient systems and Markov processes. Coarse-graining is a well-established tool in mathematical and natural sciences for reducing the complexity of a physical system and for deriving effective models. The mathematical problems in this work originate from interacting particle systems. The aim is twofold: first, providing mathematically rigorous results for physical coarse-graining, and secondly, formulating mathematically equivalent descriptions for the effective models. The first three parts of the thesis deal with fast-reaction limits for reaction systems and reaction-diffusion systems. Instead of deriving effective models by solely investigating the associated reaction-rate equation, we derive effective models using the underlying gradient structure of the evolution equation. For gradient systems a structural convergence, the so-called ``EDP-convergence", has been derived in recent years. In this thesis, this coarse-graining procedure has been applied to the following systems with slow and fast reactions: linear reaction systems (or Markov process on finite state space), nonlinear reaction systems of mass-action type, and linear reaction-diffusion systems. For the fast-reaction limit, we perform rigorous and structural coarse-graining on the level of the gradient system by proving EDP-convergence. In the fourth part, the connection between memory equations and Markov processes is investigated. Considering linear memory equations, which can be motivated from spatial homogenization, we explicitly construct a larger Markov process that includes the memory equation as a subsystem. The last part deals with different discretization schemes for the Fokker–Planck operator and investigates their analytical and numerical properties.