La première partie de cette thèse exploite et développe la relation entre approximation diophantienne homogène à une variable dans un corps de nombre et la dynamique du flot des chambres de Weyl dans la variété de Hilbert associée.<br />La deuxième partie s'intéresse au problème des cibles réctricissantes sur une variété hyperbolique.<br />Dans la troisième partie, on démontre des résultats de répartition des orbites de l'action de réseaux de groupes de Lie sur certains espaces homogènes, dans la veine de résultats antérieurs de Ledrappier.

Le but de cette thèse est l'établissement de formulations discontinues de Galerkin pour trois problèmes dérivant des équations de Maxwell.<br />En outre nous présentons de nouvelles inégalités de type Poincré Friedrichs et un couplage entre une méthode discontinue de Galerkin et une méthode intégrale de frontière.

In this thesis we study deformations of functions on singular varieties with a view toward Frobenius manifolds. <br /><br />Chapter 2 is mainly introductory. We prove standard results in deformation theory for which we do not know a suitable reference. We also give a construction of the miniversal deformation of a function on a singular space that to the best of our knowledge does not appear in this form in literature. <br /><br />In Chapter 3 we find a sufficient condition for the dimension of the base space of the miniversal deformation to be equal to the number of critical points into which the original singularity splits. We show that it holds for functions on smoothable and unobstructed curves and for function on isolated complete intersections singularities, unifying under the same argument previously known results. <br /><br />In Chapter 4 we use the previous results to construct a multiplicative structure known as F -manifold on the base space of the miniversal deformation. We relate our construction to the theory of Frobenius manifolds by means of an example: mirrors of weighted projective lines.<br /><br />The appendix is joint work with D. Mond. We study unfolding of composed functions under a suitable deformation category. It also yields an F-manifold structure on the base space, which we use to answer some questions raised by V. Goryunov and V. Zakalyukin on the discriminant on matrix deformations.

Les premiers travaux que je présente ici developpent des méthodes asymptotiques qui permettent d'étudier une “continuité du spectre” <br />pour l'opérateur de Laplace agissant sur les fonctions ou les formes différentielles d'une variété compacte:<br />– l'influence d'excision de petits voisinages tubulaires (avec diverses conditions au bord)<br />– l'influence d'ajout d'anses fines<br />Les résultats donnent aussi des asymptotiques des formes propres.<br />Il s'appliquent à l'étude du spectre continu sur des variétés périodiques.<br />Les travaux du second groupe concernent les opérateurs pseudo-différentiels et le calcul semi-classique :<br />– comparaison des spectres de Dirichlet et Neumann pour l'opérateur d'élasticité<br />– localisation semi-classique du spectre joint de plusieurs opérateurs pseudo-différentiels qui commutent.

Nous avons dans ce travail testé avec succès la méthode RBF sur le problème raide, le problème de la concentration d'un contaminant, le modèle Black-Scholes et le modèle du champ classique d'un méson. Notre contribution a été importante lors de la résolution de l'équation non linéaire de Klein-Gordon. La convergence et l'efficacité de la méthode a été montré grâce au RMSE entre la solution analytique et la solution numérique. L'introduction mise à part, cette thèse a été composé de quatre chapitres. Le premier exprime l'interpolant radial dans la base du sous-espace des interpolés. Le second estime l'erreur d'interpolation dans des cas particuliers de la fonction radiale de base et fournit les meilleures constantes dans les majorations de l'erreur. Le troisième consacré au problème de la quasi-interpolation a aussi permis d'établir l'existence et l'unicité de la solution du champ classique d'un méson grâce à la théorie des semi-groupes et au théorème du point fixe de Banach. Le quatrième a été consacré aux applications numériques. Une simulation numérique a été faite pour le problème de la concentration d'un contaminant. Nous avons terminé par une conclusion et perspectives en désignant les futurs lignes de recherche sur le sujet.

Cette thèse est un travail conjointement sur l'espace de modules $\mathscr<br />M$ des connexions plates du fibré principal $S\times G$ d'une sphère de<br />Riemann $S$ (ayant $n\geq 3$ bords), où $G=\GL{N,\C}$ et sur l'algèbre de<br />lacets $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$. <br /><br />Dans un premier temps, nous étudions une hiérarchie de bidérivations<br />quadratiques sur $\tilde\g$. En particulier, grâce au processus de fusion<br />introduit par Alekseev, Kosmann-Schwarzbach et Meinrenken en 2002, nous<br />extrayons parmi elles une structure $\PB^Q_1$ de quasi-Poisson sur<br />$\tilde\g$. Celle-ci se restreint au sous-espace<br />$\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$.<br /><br />Nous montrons ensuite un résultat de réduction dans un contexte de<br />bidérivation de quasi-Poisson. Il permet d'équipper le quotient $\mathscr<br />A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$ d'une structure de<br />Poisson induite par $\PB^Q_1$.<br /><br />En s'appuyant sur le système intégrable de Beauville sur<br />$\tilde\g_{n-2}/G$, nous montrons que la famille de fonctions $({\text{tr}}<br />X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitue un système intégrable sur $\mathscr<br />A/G$. Les fonctions que nous considérons sur l'espace de modules $\mathscr<br />M$ sont les tiré-en-arrière $(\mathscr<br />T^*{\text{tr}X^k(a)})_{k\in\N,a\in\C}$, où $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$<br />est un morphisme de quasi-Poisson et un difféomorphisme local. Nous<br />utilisons ces propriétés de $\mathscr T$ pour montrer que cette famille de<br />fonctions constitue un système intégrable sur $\mathscr M$.

Motivée par des applications en géophysique et ingénierie sismique, cette thèse cherche à contribuer à l'étude de phénomènes de propagation d'ondes en milieux élastiques non bornés. Nous développons des techniques mathématiques et numériques pour résoudre des problèmes de diffraction en régime harmonique, dans des domaines infinis extérieurs et demi-infinis localement perturbés. En plus, nous introduisons une nouvelle condition aux limites du type impédance en élasticité, laquelle généralise la condition de frontière libre utilisée d'habitude pour décrire la surface de la terre en problèmes géophysiques. Les ondes de surface qui apparaissent avec cette condition aux limites sont étudiées. Nous montrons l'existence de l'onde de Rayleigh et comment elle dépend de l'impédance. En plus, nous prouvons qu'il apparaît une onde de surface additionnelle dans un cas particulière. Pour traiter numériquement les domaines non bornés, nous considérons des approches basées sur des conditions aux limites exactes et des méthodes d'équations intégrales de frontière. Les premières s'appliquent à des domaines extérieurs, pendant que les deuxièmes s'emploient pour les deux types de domaine. Un accent particulier est mis sur les équations intégrales et les méthodes d'éléments de frontière pour résoudre des problèmes de diffraction dans des demi-plans localement perturbés. Nous calculons de manière efficace et précise la fonction de Green d'un demi-plan élastique avec des conditions aux limites d'impédance, à l'aide d'une méthode de calcul qui combine de façon appropriée des techniques analytiques et numériques. Nous proposons aussi une méthode d'équations intégrales de frontière basée sur la fonction de Green calculée. Finalement, les procédures numériques sont validées en utilisant des problèmes benchmark appropriés.

The study of rogue waves is a booming topic mainly in oceanography but also in other fields. In this thesis I construct via Darboux transform a multi-parametric family of smooth quasi-rational solutions of the nonlinear Schödinger equation that present a behavior of rogue waves. For a general choice of parameters the second-order solutions give a model of "three sisters" (three higher than expected waves in a row) while for a particular choice of parameters we obtain the solutions given by Akhmediev et al. in a serie of articles in 2009. Then these solutions allow me to construct rational solutions of the KP-I equation that describe waves in shallow water.

A l'aide de quelques exemples illustratifs, des pistes sont évoquées pour combiner les méthodes polynomiales (algèbre, géométrie algébrique) et l'optimisation convexe (inégalités matricielles linéaires, LMI) dans le but de développer des outils numériques de résolution de problèmes basiques en automatique, et en particulier pour la commande robuste des systèmes linéaires. Dans le chapitre 2, nous évoquons les liens étroits entre ensembles semi-algébriques convexes et LMI,ainsi que la notion sous-jacente de convexité cachée remettant en question la traditionnelle dichomotime entre convexité et non-convexité. Dans le chapitre 3, nous décrivons les méthodes classiques permettant d'approcher les problèmes de commande linéaire robuste à l'aide des polynômes, en insistant sur l'interaction entre algèbre et géométrie. Le chapitre 4 mentionne les différents outils logiciels développés dans ce cadre. Finalement le chapitre 5 contient quelques suggestions d'axes de recherche cohérents avec ces développements.

On appelle diffusion en milieu aléatoire la solution de l'équation différentielle stochastique suivante : dX(t) = dB(t) − 1/2 W'(X(t))dt où B est un mouvement brownien standard et W, le milieu, est un processus càd-làg qui n'est pas nécessairement dérivable (l'EDS précédente n'a alors qu'un sens formel). Schumacher [69] et Brox [17] ont montré que dans le cas où W est un mouvement brownien, la diffusion X a un comportement sous-diffusif et se localise au voisinage de certains points du milieu. Cette thèse est principalement consacrée à l'étude du comportement asymptotique du processus des temps locaux de X. Ce processus LX(t, x) représente le temps passé par X au point x avant le temps t. C'est donc un outil bien adapté pour étudier la localisation de la diffusion. On décrit ici la loi limite du temps local lorsque le milieu est un mouvement brownien standard ou plus généralement un processus de Lévy stable. On s'intéresse également au temps passé par la diffusion au voisinage des points les plus visités et au comportement asymptotique presque sûr du maximum du temps local. Dans la dernière partie de la thèse, on utilise le temps local d'une version discrète du modèle, pour obtenir des informations sur le milieu. Le but étant d'appliquer ce modèle au séquençage de l'ADN.