The thesis gives a further step in the generalizations of the theorem of Lie, which have been already generalized by Saint-Donat, Griffíths, Henkin and Passare. He also gives applications of this theorem to characterization of complete intersection families, and goes further in the case of plane curves with the study of linear systems. He concludes with an application of the Abel's theorem to the construction of a domain with Levi-flat boundary on some "strongly singular" projective variety, which intersects every projective variety of complementary dimension.

Cette thèse est consacrée à l'étude des grands clusters en percolation et se compose de quatre articles distincts. Les différents modèles étudiés sont la percolation Bernoulli, la percolation FK et la percolation orientée. Les idées clés sont la renormalisation, les grandes déviations, les inégalités FKG et BK, les proprietés de mélange. Nous prouvons un principe de grandes déviations pour les clusters en régime sous-critique de la percolation Bernoulli. Nous utilisons l'inégalité FKG pour démontrer la borne inférieure du PGD. La borne supérieure est obtenue à l'aide de l'inégalité BK combinée avec des squelettes, les squelettes étant des sortes de lignes brisées approximant les clusters. Concernant la FK percolation en régime sur-critique, nous établissons des estimés d'ordre surfacique pour la densité du cluster maximal dans une boîte en dimension deux. Nous utilisons la renormalisation et comparons un processus sur des blocs avec un processus de percolation par site dont le paramètre de rétention est proche de un. Pour toutes les dimensions, nous prouvons que les grands clusters finis de la percolation FK sont distribués dans l'espace comme un processus de Poisson. La preuve repose sur la méthode Chen-Stein et fait appel à des propriétés de mélange comme la ratio weak mixing property. Nous établissons un principe de grandes déviations surfaciques dans le régime sur-critique du modèle orienté. Le schéma de la preuve est similaire à celui du cas non-orienté, mais des difficultés surgissent malgré l'aspect Markovien du réseau orienté. De nouveaux estimés blocs sont donnés, qui décrivent le comportement du processus orienté. Nous obtenons également la décroissance exponentielle des connectivités en dehors du cône de percolation, qui représente la forme typique d'un cluster infini.

Le cadre de cette thèse est la théorie des surfaces minimales. En 2001, C. Cosin et A. Ros démontrent que, si un polygone borde un disque immergé, ce polygone est le polygone de flux d'un r-noide Alexandrov-plongé symétrique de genre 0. Leur démonstration se fonde sur l'étude de l'espace de ces surfaces minimales. Notre travail présente une démonstration plus constructive de leur résultat. Notre méthode repose sur la résolution du problème de Dirichlet pour l'équation des surfaces minimales. A cette fin, nous étudions la convergence de suites de solutions de cette équation. Nous définissons la notion de lignes de divergence de la suite qui sont les points ou la suite des gradients est non-bornées. L'étude de ces lignes permet de conclure sur la convergence d'une suite. Les r-noides sont alors construits comme les surfaces conjuguées aux graphes de solutions du problème de Dirichlet sur des domaines fixés par les polygones. Dans une seconde partie, nous montrons que, sous l'hypothèse de border un disque immergé, un polygone est aussi le polygone de flux d'un r-noide Alexandrov-plongé symétrique de genre $1$. La démonstration repose sur une amélioration des idées de celle du premier résultat, elle nécessite entre autre la résolution d'un problème de période. Cette résolution passe par l'étude du comportement limite de certaines suites de surfaces minimales.

Ce travail est consacré à la recherche de surfaces de Riemann (\it compactes) extrê\-mes (i.e. maxima locaux) pour la systole, ou tout au moins parfaites. En genre 4, on donne une nouvelle surface extrême et deux surfaces parfaites non extrêmes (ce sont les premiers exemples de telles surfaces en genre $\leq 10$). La méthode consiste à réaliser géométriquement les groupes d'automorphismes à 4 points de branchements. En effet, le lieu des points fixes dans l'espace de Teichmüller $T_g$ d'un tel groupe, dépend d'un paramètre complexe qu'on peut alors ajuster pour maximiser la systole. On étudie ensuite les propriétés variationnelles dans $T_g$ des surfaces obtenues. Par extension de cette méthode, on trouve également une nouvelle surface extrême en genre 6, ainsi qu'une suite infinie de surfaces parfaites non extrêmes de genre $g>3$. En outre, on retrouve, de manière unifiée, les surfaces déjà connues en genre $\leq 5$. La méthode employée pour la recherche de surfaces parfaites, permet de trouver parallèlement un certain nombre de surfaces eutactiques, qui sont intéressantes à classifier en elles-mêmes puisque ce sont les points critiques de la fonction systole. Enfin, le dernier chapitre, développant une toute autre approche, concerne une méthode purement algébrique qui permet de redémontrer l'extrémalité des surfaces respectivement de Bolza et de Klein.

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes. Le premier est de savoir si une limite d'une suite de courbes analytiques est une lamination dans un sens faible. On montre que cela se produit quand on a un contrôle du genre des courbes analytiques par leur aire. Le second concerne la dynamique holomorphe dans le plan projectif complexe. On cherche à voir si le genre des préimages d'une droite projective par un endomorphisme holomorphe se concentre dans des zones dynamiquement intéressantes. Pour un endomorphisme générique, on montre qu'il y a concentration de genre sur le support de la mesure de Green.

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Dans cette thèse, je relie la théorie, plutôt arithmétique, des modules de cycles de M.Rost à la théorie plus géométrique des faisceaux avec transferts invariants par homotopie de V.Voevodsky. Je montre précisément que cette dernière catégorie est une localisation de la catégorie des modules de cycles. De plus, en s'inspirant de la construction des spectres de la topologie algébrique, j'introduit la notion de module homotopique avec transferts à partir des faisceaux invariants par homotopie avec transferts. La catégorie formée par ces modules est équivalente à la catégorie des modules de cycles, prolongeant ainsi l'affirmation concernant les faisceaux homotopiques. Ceci me permet de redémontrer à l'aide des résultats de M.Rost que les faisceaux invariants par homotopie avec transferts ont une cohomologie invariante par homotopie, résultat déjà obtenu par V.Voevodsky. Par ailleurs, j'en déduis que la catégorie des modules de cycles est abélienne de Grothendieck, et munie d'une structure monoïdale telle que la K-théorie de Milnor est l'élément neutre. Par ailleurs, nous montrons comment les techniques employées se prolongent à la catégorie des motifs, obtenant ainsi des formules qui mettent en jeu les triangles de Gysin. On donne ainsi un lemme qui permet d'interpréter géométriquement la ramification au sens des anneaux de valuations discrètes d'égales caractéristiques. Le travail s'achève sur la définition de certains pro-motifs baptisés motifs génériques. Ce sont des pro-objets de la catégorie dérivée des motifs mixtes, associés à des extensions de type fini du corps de base (supposé parfait). On considère aussi que ces motifs peuvent être "twistés" par le motif Z(1)[1] ou une de ses puissances par un entier relatif n quelconque. De manière surprenante, chacune des données des pré-modules de cycles a en fait son analogue en tant que morphisme de motifs génériques. Et par ailleurs, les relations structurales sur les données des pré-modules de cycles sont vraies dans la catégorie des motifs génériques, réalisant ainsi l'incarnation géométrique des axiomes plutôt arithmétiques des pré-modules de cycles.

\medskip\noindent{\it Résumé.~} En utilisant une méthode due à L. Schwartz, nous établissons une conjecture due à N. Kuhn qui affirme que l'action de l'algèbre de Steenrod sur la cohomologie d'un espace topologique à coefficients dans le corps premier $\mathbb{F} _2$ est soit localement finie, soit non polynômiale. Pour cela, nous construisons une suite spectrale d'Eilenberg-Moore dans le cadre de la théorie homotopique des espaces profinis de F. Morel (cette partie du travail est une collaboration avec F.-X. Dehon). \smallskip\noindent Nous démontrons pour cette suite spectrale, qui converge toujours au sens naïf, un théorème de convergence forte, dans l'esprit de celui de W. G. Dwyer. Nos preuves sont simplifiées par la propreté du calcul homotopique des espaces profinis, que nous établissons. \smallskip\noindent Nous montrons également qu'une algèbre instable connexe dont l'idéal d'augmentation n'est pas localement nilpotent admet une série de Loewy infinie 'aux nilpotents près'. \smallskip\noindent Enfin, nous donnons quelques exemples de modules instables non réalisables en utilisant des méthodes élémentaires.

On s'intéresse aux propriétés remarquables des structures de contact sur les variétés de dimension 3

L'apprentissage par renforcement est la réponse du domaine de l'apprentissage numérique au problème du contrôle optimal. Dans ce paradigme, un agent informatique apprend à contrôler un environnement en interagissant avec ce dernier. Il reçoit régulièrement une information locale de la qualité du contrôle effectué sous la forme d'une récompense numérique (ou signal de renforcement), et son objectif est de maximiser une fonction cumulante de ces récompenses sur le long terme, généralement modélisée par une fonction dite de valeur. Le choix des actions appliquées à l'environnement en fonction de sa configuration est appelé une politique, et la fonction de valeur quantifie donc la qualité de cette politique. Ce parangon est très général, et permet de s'intéresser à un grand nombre d'applications, comme la gestion des flux de gaz dans un complexe sidérurgique, que nous abordons dans ce manuscrit. Cependant, sa mise en application pratique peut être difficile. Notamment, lorsque la description de l'environnement à contrôler est trop grande, une représentation exacte de la fonction de valeur (ou de la politique) n'est pas possible. Dans ce cas se pose le problème de la généralisation (ou de l'approximation de fonction de valeur) : il faut d'une part concevoir des algorithmes dont la complexité algorithmique ne soit pas trop grande, et d'autre part être capable d'inférer le comportement à suivre pour une configuration de l'environnement inconnue lorsque des situations proches ont déjà été expérimentées. C'est le problème principal que nous traitons dans ce manuscrit, en proposant une approche inspirée du filtrage de Kalman.