Nous nous intéressons dans ce travail à la dynamique des opérateurs de Schrödinger unidimensionnels, discrets, associés à un potentiel sturmien quasi-périodique. Le résultat principal de cette thèse est une borne supérieure pour les exposants de transport qui mesurent la vitesse de propagation du système. Cette borne, valide pour presque tous les potentiels sturmiens, est sous balistique pour une force de couplage suffisante. La validité de la borne est couplée à une condition diophantienne liée au nombre irrationnel qui définit le potentiel. Cette condition est vraie presque sûrement. Nous exhibons par ailleurs un exemple d'irrationnel pour lequel une borne supérieure sous balistique est impossible indépendamment de la force de couplage. Nous faisons l'étude de la dimension fractale du spectre de l'opérateur qui minore sous certaines conditions les exposants de transport. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure pour la dimension de boîte du spectre grâce aux propriétés connues sur la forme du pseudo spectre. Les restrictions pour obtenir une borne dynamique à partir de notre résultat sont d'avoir une condition initiale cyclique standard et que le potentiel soit associé à un irrationnel à densité bornée. Enfin dans la dernière partie de ce travail, nous démontrons que le spectre de l'opérateur associé au nombre d'argent ß = [2, 2, . . . ] possède une structure hyperbolique. L'expression du pseudo spectre peut être vu comme un système dynamique. Nous conjuguons ledit système à une dynamique symbolique abstraite selon la méthode dite des partitions de Markov. Le système se comporte comme un fer à cheval de Smale. Nous dérivons de l'hyperbolicité des propriétés pour les dimensions fractales du spectre. Dimensions dont l'attrait dynamique a été rappelé dans la partie précédente. Nous déduisons notamment l'égalité des dimensions de Hausdorff et de boîte pour cet opérateur.

Suivant les applications considérées et le nombre de degrés de liberté à envisager, il est étudié deux grandes classes de systèmes. La première classe de systèmes est décrite par des équations non-linéaires aux dérivées ordinaires. Les contrôles correspondants ont été envisagés avec une dynamique mixte discrète/continue, dites hybrides. Ils permettent de stabiliser des systèmes non-linéaires avec une robustesse, et une certaine optimalité. La seconde classe de systèmes concerne ceux à paramètres distribués. Des résultats ont concerné plus particulièrement le contrôle ou la stabilisation de structures flexibles, ainsi que la stabilisation robuste de l'écoulement de l'eau dans un réseau de canaux.

Ce manuscrit présente une synthèse de mes travaux de recherche effectués au sein de l'IRMAR depuis mon arrivée à l'université de Rennes 1 en 2004. Il tente de dégager les idées directrices qui sous-tendent cette recherche, portant sur l'étude des singularités des germes de fonctions réelles à travers des relations d'équivalence après résolution des singularités, tout en se permettant à l'occasion de rentrer dans quelques détails en vue d'illustrer les méthodes utilisées.

Engendrer en temps-réel des déformations visuellement réalistes d'objets 3D, comme par exemple le corps et les vêtements de personnages, est un point crucial en animation, que ce pour des applications au jeu vidéo ou à la production cinématographique. Les méthodes de déformations géométriques actuelles rapides telles que le "skinning" ou l'animation physique à basse résolution ne capturent cependant pas certains comportements naturels essentiels. En particulier les déformations à volume constant du corps, le gonflement des muscles pour un personnage, ou la génération de plis sur ses vêtements dus au fait que leurs surfaces doivent rester développable. Cette thèse présente une série de méthodes rendant les modèles géométriques "actifs", c'est à dire capables de maintenir un certain nombre de contraintes intrinsèques de la surface portant sur le volume englobé ou sur le caractère développable de celle-ci. Nous étudions trois exemples: - l'ajout de contraintes locales de volumes lors de l'animation d'une créature virtuelle par skinning. - l'ajout de plis de vêtements modélisant une surface quasi-inextensible à partir d'une animation à basse résolution donnée en entrée. - la génération d'une surface de type papier froissé, basée sur la préservation de l'isométrie vis-à-vis d'un patron planaire. Dans tous ces modèles, notre approche est procédurale. Elle se base sur la déformation progressive et, potentiellement, le raffinement dynamique de la géométrie juste avant l'étape de rendu.

L'acquisition d'une structure spatiale au cours du développement d'un embryon implique la différentiation de cellules, souvent suivant des informations positionnelles. La complexité des réseaux moléculaires régulant la différentiation et des mécanismes générant l'information positionnelle rend nécessaire leur modélisation mathématique. Les embryons de vertébrés acquièrent une structure segmentée lors de la somitogénèse; ce processus nécessite des variations spatiales et temporelles d'expression de gènes, que la modélisation mathématique peut également aider à comprendre.<br /><br />Un mécanisme moléculaire pour l'horloge de la somitogénèse est proposé, qui prend en compte la synchronisation inter-cellulaire, et qui est basé sur un système de rétrocontrôle positif, bien qu'il soit aussi compatible avec toutes les données expérimentales interprétées comme prouvant que l'horloge est basée sur un système de rétrocontrôle négatif. Des expériences proposées pour tester ce modèle comprennent des rapporteurs en temps réel de l'horloge, ainsi que des systemes inductibles, pour induire des perturbations contrôlées spatialement.<br /><br />Des résultats théoriques et expérimentaux ont mené à des idées contradictoires sur la manière dont de l'information positionnelle utile peut être établie. En particulier, il a été souligné que certains modèles de diffusion extracellulaire de morphogène donnent lieu à une saturation des récepteurs, qui est inadéquate à l'établissement d'information positionnelle. Deux modèles alternatifs (mais non mutellement exclusifs) sont proposés, qui sont basés sur des résultats expérimentaux récents mettant en valeur les rôles de glycoprotéines extracellulaires et de l'oligomérisation de morphogènes.<br /><br />La lecture de l'information positionnelle se traduit par l'établissement d'un ensemble discret de patrons d'expressions génétiques. De manière intriguante, il a été observé que, dans de nombreux contextes, des gènes régulant la différentiation sont initalement co-exprimés dans des progéniteurs malgré leur antagonisme. Nous caractérisons les conditions sous lesquelles trois classes de réseaux de régulation peuvent se conduire comme un "multi-switch", dirigeant la différentiation d'une maniére tout-ou-rien vers un type de cellule spécifique, choisi parmi plus de 2 possibles. Les réseaux de dimérisation bHLH peuvent facilement maintenir l'expression de plusieurs facteurs antagonistes quand la compétition est basse. La prise de décision peut être forcée par une augmentation de la compétition, qui pourrait correspondre à des observations expérimentales inexpliquées, liées aux protéines Id.

Nous étudions les propriétés stochastiques de systèmes dynamiques quasi-hyperboliques.

Ce travail concerne l'application des fonctions de Lyapunov et Lyapunov-Krasovskii dépendantes de paramètres à quelques problèmes sélectionnés dans le contexte de la commande robuste, à savoir : la D-stabilité robuste de polytopes de matrices, la D-stabilité robuste de polytopes de polynômes de matrices, la stabilité robuste de systèmes neutres avec des retards variables dans le temps et la commande robuste H de systèmes à temps discret et à états retardés. On utilise la représentation pour les incertitudes des systèmes étudiés. On obtient des formulations convexes, sous la forme d'inégalités matricielles linéaires, suffisantes pour la solution des problèmes sélectionnés. Ces conditions peuvent être résolues numériquement de manière efficace grâce à l'utilisation d'algorithmes spécialisés basés sur la méthode des points intérieurs. Les résultats obtenus sont moins conservatifs que ceux trouvés dans la littérature, basés, en général, sur la stabilité quadratique, c'est-à-dire, considérant des matrices des fonctionnelles fixes et indépendantes de l'incertitude.

Les contrôleurs à réinitialisation sont une classe de systèmes hybrides dont la valeur de tout ou partie des états peut être instantannément modifiée sous certaines conditions algébriques. Cette interaction entre dynamique temps-continu et temps-discret de ces contrôleurs permet souvent de dépasser les limites des contrôleurs temps- continu. Dans cette thèse, nous proposons des conditions constructives (sous forme d'Inégalités Matricielles Linéaires) pour analyser la stabilité et les performances de boucle de commande incluant un contrôleur à réinitialisation. En particulier, nous prenons en compte la présence de saturation en amplitude des actionneurs du système. Ces non- linéarités sont souvent source d'une dégradation des performances voir d'instabilité. Les résultats proposés permettent d'estimer le domaine de stabilité et un niveau de performance pour ces systèmes, en s'appuyant sur des fonctions de Lyapunov quadratiques ou quadratiques par morceaux. Au delà de l'aspect analyse, nous exposons deux approches pour améliorer la région de stabilité (nouvelle loi de réinitialisation et stratégie "anti- windup").

Les récents développements en programmation semi-définie positive et en optimisation globale ont montré que les échanges entre les communautés de la théorie de la commande et de l'optimisation sont souvent à l'origine d'avancées significatives dans l'une ou l'autre des communautés. Originellement défini en théorie de la commande robuste, le formalisme lié aux inégalités matricielles linéaires a rapidement permis de développer le champ original de recherche en théorie de l'optimisation connu sous le terme de programmation semi-définie positive. En retour, les nombreux progrès théoriques (théorie de la dualité, méthodes de barrière...) et numériques (méthodes de points intérieurs, optimisation non différentiable...) ont fourni un support rigoureux à la majeure partie des développements algorithmiques produit en théorie de la commande robuste. Pour tous les formalismes actuellement utilisés en analyse et synthèse robustes allant de la théorie du mu (analyse et synthèse) au cadre de travail défini par les contraintes intégrales quadratiques, en passant par la théorie de la séparation des graphes, il est nécessaire de disposer d'une théorie de l'optimisation adéquate ainsi que des outils numériques efficaces associés. Au delà des liens habituels unissant les deux communautés, il nous a semblé qu'une relation plus subtile les liait. Outre le fait que les notions de performance et de robustesse conduisent naturellement à celle d'optimisation, les recherches entreprises et les résultats obtenus en théorie de la commande montrent souvent une parenté étroite avec le corpus issu de la théorie de l'optimisation. Une formalisation possible de ce lien organique entre les deux champs scientifiques est constituée par la théorie de Lyapunov. Nous nous attachons donc à illustrer les différents aspects que peut recouvrir la relation entre optimisation et théorie de la commande robuste. L'accent est particulièrement placé sur la théorie de Lyapunov, même si celle-ci n'en épuise pas t outes les facettes. Ainsi, après avoir présenté le contexte général de l'analyse et de la synthèse robustes et les problèmes d'optimisation particuliers qui leur sont liés, nous montrons comment de nombreux résultats obtenus dans le cadre de la théorie de Lyapunov peuvent être interprétés en terme de relaxations.

La fonction détection, reconnaissance et identification de cibles (DRI) impose l'intégration de connaissances hétérogènes en grande quantité. Ceci nous conduit vers des architectures distribuant la connaissance et permettant d'effectuer des traitements en parallèle et en concurrence. Nous proposons une approche multi-agent basée sur la mise en oeuvre d'agents spécialisés répondant aux principes d'incrémentalité, de distribution, de coopération, de focalisation et d'adaptation. L'architecture utilisée est de type multi-thread. Elle est dotée d'un administrateur et spécifie les moyens de communication entre les agents. Ceux-ci sont définis par leur rôle, leurs comportements et les informations qu'ils manipulent et qu'ils produisent. À un instant donné, différents agents coexistent dans l'image. Chacun dispose d'une autonomie pour accéder aux données et élaborer sa propre stratégie en fonction des informations disponibles. La planification est prise en charge localement au niveau de l'agent. Les connaissances nécessaires sont spécifiées dans une base de connaissances partagée par tous les agents. Les informations acquises sont stockées dans un modèle du monde. Le système se construit et vient s'enrichir au cours du temps, ceci impose une stratégie incrémentale dans la mise à jour des hypothèses. Cette modélisation est faite sous forme de réseaux bayésiens.