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Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiquesmultiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction $f$ mesurable bornée sur un système ergodique, la suite $(f(T^n x))$ est universellement bonne pour presque tout $x$. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kra

Ce travail est une contribution à l'étude du comportement de certains matériaux composites. Nous formalisons les observations expérimentales du point de vue mathématique, et menons une étude " critique " des différents modèles utilisés pour proposer des techniques génériques d'identification de paramètres dans ce contexte. Le manuscrit se divise en trois chapitres. Le chapitre 1 rappelle les principes élémentaires et le contexte mécanique de cette étude. On y présentera les hypothèses simplificatrices faites par la suite et les modèles de lois de comportement utilisés et testés. Le chapitre 2 est consacré à la modélisation du problème inverse avec utilisation du modèle de Grosberg et à son étude théorique et numérique. Le chapitre 3 reprend la démarche du chapitre précédent avec le modèle de Dahl. Outre la méthode numérique utilisée précédemment, nous utilisons une approche contrôle optimal et présentons des résultats plus rigoureux obtenus avec AMPL.

La majeure partie de cette thèse est consacrée à l'inégalité de Blaschke-Santaló, qui s'énonce ainsi : parmi les ensembles symétriques, la boule euclidienne maximise le produit vol(K) vol(K°), K° désignant le polaire de K. Il existe des versions fonctionnelles de cette inégalité, découvertes par plusieurs auteurs (Ball, Artstein, Klartag, Milman, Fradelizi, Meyer. . .), mais elles sont toutes dérivées de l'inégalité ensembliste. L'objet de cette thèse est de proposer des démonstrations directes de ces inégalités fonctionnelles. On obtient ainsi de nouvelles preuves de l'inégalité de Santaló, parfois très simples. La dernière partie est un peu à part et concerne le chaos gaussien : on démontre une majoration précise des moments du chaos gaussien due à Lataªa par des arguments de chaînage à la Talagrand

Dans les années quatre-vingts dix du siècle dernier, R. W. Thomason a démontréun théorème de concentration pour la K-théorie équivariante algébrique sur lesschémas munis d'une action d'un groupe algébrique G diagonalisable. Comme d'habitude,un tel théorème entraîne une formule des points fixes de type Lefschetz qui permetde calculer la caractéristique d'Euler-Poincaré équivariante d'un G-faisceau cohérent surun G-schéma propre en termes d'une caractéristique sur le sous-schéma des points fixes.Le but de cette thèse est de généraliser les résultats de R.W. Thomason dans le contextede la géométrie d'Arakelov. Dans ce travail, nous considérons les schémas arithmétiquesau sens de Gillet-Soulé et nous tout d'abord démontrons un analogue arithmétiquedu théorème de concentration pour les schémas arithmétiques munis d'une action duschéma en groupe diagonalisable associé à Z/nZ. La démonstration résulte du théorèmede concentration algébrique joint à des arguments analytiques. Dans le dernier chapitre,nous formulons et démontrons deux types de formules de Lefschetz arithmétiques. Cesdeux formules donnent une réponse positive à deux conjectures énoncées par K. Köhler,V. Maillot et D. Rössler.

We study in this thesis a particular machine learning approach to represent signals that that consists of modelling data as linear combinations of a few elements from a learned dictionary. It can be viewed as an extension of the classical wavelet framework, whose goal is to design such dictionaries (often orthonormal basis) that are adapted to natural signals. An important success of dictionary learning methods has been their ability to model natural image patches and the performance of image denoising algorithms that it has yielded. We address several open questions related to this framework: How to efficiently optimize the dictionary? How can the model be enriched by adding a structure to the dictionary? Can current image processing tools based on this method be further improved? How should one learn the dictionary when it is used for a different task than signal reconstruction? How can it be used for solving computer vision problems? We answer these questions with a multidisciplinarity approach, using tools from statistical machine learning, convex and stochastic optimization, image and signal processing, computer vision, but also optimization on graphs.

Many laser devices acquire directly 3D objects and reconstruct their surface. Nevertheless, the final reconstructed surface is usually smoothed out as a result of the scanner internal de-noising process and the offsets between different scans. This thesis, working on results from high precision scans, adopts the somewhat extreme conservative position, not to loose or alter any raw sample throughout the whole processing pipeline, and to attempt to visualize them. Indeed, it is the only way to discover all surface imperfections (holes, offsets). Furthermore, since high precision data can capture the slightest surface variation, any smoothing and any sub-sampling can incur in the loss of textural detail.The thesis attempts to prove that one can triangulate the raw point cloud with almost no sample loss. It solves the exact visualization problem on large data sets of up to 35 million points made of 300 different scan sweeps and more. Two major problems are addressed. The first one is the orientation of the complete raw point set, an the building of a high precision mesh. The second one is the correction of the tiny scan misalignments which can cause strong high frequency aliasing and hamper completely a direct visualization.The second development of the thesis is a general low-high frequency decomposition algorithm for any point cloud. Thus classic image analysis tools, the level set tree and the MSER representations, are extended to meshes, yielding an intrinsic mesh segmentation method.The underlying mathematical development focuses on an analysis of a half dozen discrete differential operators acting on raw point clouds which have been proposed in the literature. By considering the asymptotic behavior of these operators on a smooth surface, a classification by their underlying curvature operators is obtained.This analysis leads to the development of a discrete operator consistent with the mean curvature motion (the intrinsic heat equation) defining a remarkably simple and robust numerical scale space. By this scale space all of the above mentioned problems (point set orientation, raw point set triangulation, scan merging, segmentation), usually addressed by separated techniques, are solved in a unified framework.

Dans une première partie, on donne une condition nécessaire et suffisante à ce qu'un opérateur de Schrödinger sur une variété complète non-compacte ait un nombre fini de valeurs propres négatives. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la transformée de Riesz sur une classe de variétés complètes non-compactes vérifiant une inégalité de Sobolev. On montre d'abord une estimée gaussienne pour le noyau de la chaleur d'opérateurs de Schrödinger généralisés, comme par exemple le Laplacien de Hodge agissant sur les formes différentielles, puis on utilise ceci pour montrer que la transformée de Riesz est bornée sur les espaces $L^p$ si $p$ est compris entre $1$ et la dimension de Sobolev. Enfin, on montre un résultat de perturbation pour la transformée de Riesz.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à l'étude asymptotique d'objets combinatoires aléatoires. Deux thèmes ont particulièrement retenu notre attention : les cartes planaires aléatoires et les modèles combinatoires liés à la théorie des fragmentations. La théorie mathématique des cartes planaires aléatoires est née à l'aube de notre millénaire avec les travaux pionniers de Benjamini & Schramm, Angel & Schramm et Chassaing & Schaeffer. Elle a ensuite beaucoup progressé, mais à l'heure où ces lignes sont écrites, de nombreux problèmes fondamentaux restent ouverts. Résumons en quelques mots clés nos principales contributions dans le domaine : l'introduction et l'étude du cactus brownien (avec J.F. Le Gall et G. Miermont), l'étude de la quadrangulation infinie uniforme vue de l'infini (avec L. Ménard et G. Miermont), ainsi que des travaux plus théoriques sur les graphes aléatoires stationnaires d'une part et les graphes empilables dans $\R^d$ d'autre part (avec I. Benjamini). La théorie des fragmentations est beaucoup plus ancienne et remonte à des travaux de Kolmogorov (1941) et de Filippov (1961). Elle est maintenant bien développée (voir par exemple l'excellent livre de J. Bertoin), et nous ne nous sommes pas focalisés sur cette théorie mais plutôt sur ses applications à des modèles combinatoires. Elle s'avère en effet très utile pour étudier différents modèles de triangulations récursives du disque (travail effectué avec J.F. Le Gall) et les recherches partielles dans les quadtrees (travail effectué avec A. Joseph).

Cette thèse s'intéresse au problème du contrôle actif des vibrations structurelles d'une aile d'avion induites par le ballottement du carburant dans les réservoirs qu'elle contient. L'étude proposée ici est concentrée sur l'analyse d'un dispositif expérimental composé d'une longue plaque rectangulaire en aluminium équipée d'actionneurs et de capteurs piézoélectriques et d'un réservoir cylindrique. La difficulté principale réside dans le couplage complexe entre les modes de vibration de l'aile et les modes de ballottement du liquide. Un modèle de ce dispositif à l'aide d'équations aux dérivées partielles est tout d'abord construit. Ce modèle de dimension infinie couple une équation des plaques avec l'équation de Bernoulli pour le mouvement du fluide dans le réservoir. En analysant la contribution énergétique des modes, une approximation en dimension finie, de type espace d'état est alors construite. Après une méthode de recalage fréquentiel du modèle, un contrôle est réalisé en utilisant dans un premier temps une méthode par placement de pôle et dans un deuxième temps, la théorie de la commande robuste H-infini. La dimension du modèle et les performances demandées imposent le calcul d'un contrôleur H-infini d'ordre réduit, conçu en utilisant la librairie HIFOO 2.0 et testé sur le dispositif expérimental pour différents niveaux de remplissage. Finalement, le problème de la correction simultanée avec un correcteur HIFOO d'ordre réduit est aussi analysé.