This thesis consists of two different parts, related to two different fields in mathematical physics: wave propagation and kinetic theory of gases. Various mathematical and computational problems for equations from these areas are treated.   The first part is devoted to high order finite difference methods for the Helmholtz equation and the wave equation. Compact schemes with high order accuracy are obtained from an investigation of the function derivatives in the truncation error. With the help of the equation itself, it is possible to transfer high order derivatives to lower order or to transfer time derivatives to space derivatives. For the Helmholtz equation, a compact scheme based on this principle is compared to standard schemes and to deferred correction schemes, and the characteristics of the errors for the different methods are demonstrated and discussed. For the wave equation, a finite difference scheme with fourth order accuracy in both space and time is constructed and applied to a problem in discontinuous media.   The second part addresses some problems related to kinetic equations. A direct simulation Monte-Carlo method is constructed for the Landau-Fokker-Planck equation, and numerical tests are performed to verify the accuracy of the algorithm. A formal derivation of the method from the Boltzmann equation with grazing collisions is performed. The linear and linearized Boltzmann collision operators for the hard sphere molecular model are studied using exact reduction of integral equations to ordinary differential equations. It is demonstrated how the eigenvalues of the operators are found from these equations, and numerical values are computed. A proof of existence of non-zero discrete eigenvalues is given. The ordinary diffential equations are also used for investigation of the Chapman-Enskog distribution function with respect to its asymptotic behavior.

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants concernant l'application de méthodes stochastiques à des problèmes issus de la dynamique moléculaire. Dans la première partie, nous présentons des travaux liés à l'interprétation probabiliste de l'équation de Poisson-Boltzmann qui intervient dans la description du potentiel électrostatique d'un système moléculaire. Après avoir introduit l'équation de Poisson-Boltzmann et les principaux outils mathématiques utilisés, nous nous intéressons à l'équation linéaire parabolique de Poisson-Boltzmann. Avant d’énoncer le résultat principal de la thèse, nous étendons des résultats d'existence et unicité des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous donnons ensuite une interprétation probabiliste de l'équation non-linéaire de Poisson-Boltzmann sous la forme de la solution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Enfin, dans une seconde partie prospective, nous commençons l'étude d'une méthode proposée par Paul Malliavin de détection des variables lentes et rapides d'une dynamique moléculaire. / This thesis presents two independent research topics. Both are related to the application of stochastic problems to molecular dynamics. In the first part, we present a work related to the probabilistic interpretation of the Poisson-Boltzmann equation. This equation describes the electrostatic potential of a molecular system. After an introduction to the Poisson-Boltzmann equation, we focus on the parabolic and linear equation. After extending an existence and uniqueness result for backward stochastic differential equations, we establish a probabilistic interpretation of the nonlinear Poisson-Boltzmann equation with backward stochastic differential equations. Finally, in a more prospective second part, we initiate a study of a slow and fast variables detection method due to Paul Malliavin.

Sistemas cujos componentes interagem por meio de forças de longo alcance não-blindadas por exemplo, sistemas estelares e plasmas não-neutros têm algumas características anô- malas em relação a sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Além de apresentarem características termodinâmicas peculiares como calor especí co negativo e inequivalência de ensembles, sua dinâmica é predominantemente não-colisional e leva à estados quasiestacion ários fora de equilíbrio. Esses estados são notoriamente difíceis de prever dada uma condição inicial qualquer, e ainda não existe uma teoria uni cada para tratá-los. O equilíbrio termodinâmico é atingido somente após tempos longos que escalam com o tamanho do sistema, muitas vezes excedendo o tempo de vida do universo. A relaxação para o equilíbrio, portanto, tem duas escalas de tempo: uma, curta, que leva a estados quasi-estacionários fora de equilíbrio, e a segunda, longa, que leva ao equilíbrio termodinâmico. Nesta tese de doutorado, examinamos esses fenômenos aplicando modelos teóricos e simulação numérica para diferentes sistemas de interação de longo-alcance, incluindo um modelo de spins clássicos tipo XY com longo alcance, e o sistema auto-gravitante em três dimensões. Em uma segunda etapa, estudamos a relaxação para o equilíbrio termodinâmico, a relaxação colisional, através de equações cinéticas e simulação numérica. Desta forma, buscamos esclarecer os mecanismos por trás dos estados quasi-estacionários e da relaxação colisional. / Systems whose components interact by unscreened long-range forces for example, stellar systems and non-neutral plasmas have characteristics that are anomalous with respect to systems with shielded or short-range forces. Besides presenting unique thermodynamic properties such as negative speci c heat and inequivalence of ensembles, their dynamics is predominantly collisionless and leads to out-of-equilibrium quasi-stationary states. These states are notoriously di cult to predict given an arbitrary initial condition, and there is still no uni ed theory to treat them. Thermodynamic equilibrium is reached only after long timescales that increase with the system size and often exceed the lifetime of the universe. Relaxation to equilibrium, therefore, has two timescales: one short, leading to outof- equilibrium quasi-stationary states, and a second, longer, which leads to thermodynamic equilibrium. In this thesis, we examine these phenomena by applying theoretical models and numerical simulation for di erent long-range interacting systems, including a model of classical XY-type spins with long-range interactions, and the self-gravitating system in three dimensions. In a second stage we study the collisional relaxation to thermodynamic equilibrium through kinetic equations and numerical simulation. We thus seek to clarify the mechanisms behind the quasi-stationary states and collisional relaxation.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:54Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-09-21Bitstream added on 2014-06-13T18:06:56Z : No. of bitstreams: 1 pazianotto_raa_me_sjrp.pdf: 946780 bytes, checksum: d9dd8103ed5cc8d44a4385ab65ab3dfa (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / No presente trabalho, foram avaliados modelos teóricos para a descrição da autodissociação de poliácido fraco, e para a formação de complexos entre polieletrólitos de cargas opostas. Os modelos descritos utilizam simetria cilíndrica e o modelo celular para representar a solução polieletrolítica. A equação de Poisson-Boltzmann, com condições de contorno que levam em conta a regulação carga-potencial, é utilizada nos modelos teóricos para descrever as interações eletrostáticas. Para auto-dissociação de poliácidos fracos, foram obtidos valores teóricos de pH, calculados em função da concentração de polímeros e de sal, os quais estão em boa concordância com resultados experimentais da diluição do ácido poligalacturônico e alginato. Na formação de complexos, a energia livre eletrostática e energia livre de mistura de Flory-Huggins foram combinadas para obter diagramas de estabilidade teóricos, em diferentes condições, para analisar alguns parâmetros críticos. Estes diagramas apresentam boa concordância quando comparados com resultados experimentais da complexação entre: goma arábica e gelatina, alginato e quitosana, DNA e quitosana, poli-L-lisina e sulfato de condroitina. / In the present work, theoretical models for the weak polyacid self-dissociation and polyelectrolyte complexation were evaluated. The models described use cylindrical symmetry and the polyelectrolyte solution is represented by the cell model. The Poisson-Boltzmann equation with boundary conditions which take into account the charge-potential regulation were used to describe the electrostatic interactions. For weak polyacid self-dissociation, theoretical values of pH, calculated as a function of polymer and salt concentrations, were obtained, and are in good agreement with experimental data of dilution of polygalacturonic acid and alginate. In the complex formation the electrostatic and the Flory- Huggins mixture free energies were combined to obtain stability diagrams in different conditions in order to analyze some critical parameters. The theoretical diagrams have shown good agreement when compared with experimental data for the complexation of: arabic gum/gelatin, alginate/chitosan, DNA/chitosan, poly-L-lysine/chondroitin sulfate.

Made available in DSpace on 2014-10-09T12:26:15Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Made available in DSpace on 2014-10-09T14:09:38Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Dissertacao (Mestrado) / IPEN/D / Instituto de Pesquisas Energeticas e Nucleares - IPEN-CNEN/SP

Orientador: João Ruggiero Neto / Banca: Sergio Paulo Campana Filho / Banca: Márcio José Tiera / Resumo: No presente trabalho, foram avaliados modelos teóricos para a descrição da autodissociação de poliácido fraco, e para a formação de complexos entre polieletrólitos de cargas opostas. Os modelos descritos utilizam simetria cilíndrica e o modelo celular para representar a solução polieletrolítica. A equação de Poisson-Boltzmann, com condições de contorno que levam em conta a regulação carga-potencial, é utilizada nos modelos teóricos para descrever as interações eletrostáticas. Para auto-dissociação de poliácidos fracos, foram obtidos valores teóricos de pH, calculados em função da concentração de polímeros e de sal, os quais estão em boa concordância com resultados experimentais da diluição do ácido poligalacturônico e alginato. Na formação de complexos, a energia livre eletrostática e energia livre de mistura de Flory-Huggins foram combinadas para obter diagramas de estabilidade teóricos, em diferentes condições, para analisar alguns parâmetros críticos. Estes diagramas apresentam boa concordância quando comparados com resultados experimentais da complexação entre: goma arábica e gelatina, alginato e quitosana, DNA e quitosana, poli-L-lisina e sulfato de condroitina. / Abstract: In the present work, theoretical models for the weak polyacid self-dissociation and polyelectrolyte complexation were evaluated. The models described use cylindrical symmetry and the polyelectrolyte solution is represented by the cell model. The Poisson-Boltzmann equation with boundary conditions which take into account the charge-potential regulation were used to describe the electrostatic interactions. For weak polyacid self-dissociation, theoretical values of pH, calculated as a function of polymer and salt concentrations, were obtained, and are in good agreement with experimental data of dilution of polygalacturonic acid and alginate. In the complex formation the electrostatic and the Flory- Huggins mixture free energies were combined to obtain stability diagrams in different conditions in order to analyze some critical parameters. The theoretical diagrams have shown good agreement when compared with experimental data for the complexation of: arabic gum/gelatin, alginate/chitosan, DNA/chitosan, poly-L-lysine/chondroitin sulfate. / Mestre

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Neste trabalho, a partição iônica e o potencial de membrana em um eritrócito são analisados via equação de Poisson-Boltzmann modificada, considerando as interações não eletrostáticas presentes entre os íons e macromoléculas, assim como, o potencial β. Este potencial é atribuído à diferença de potencial químico de referência entre os meios intracelular e extracelular e ao transporte ativo de íons. O potencial de Gibbs-Donnan via equação de Poisson-Boltzmann na presença de carga fixa em um sistema contendo uma membrana semipermeável também é estudado. O método de aproximação paraboloide em elementos finitos em um sistema estacionário e unidimensionalé aplicado para resolver a equação de Poisson-Boltzmann em coordenadas cartesianas e esféricas. O parâmetro de dispersão relativo às interações não eletrostáticas écalculado via teoria de Lifshitz. Os resultados em relação ao potencial de Gibbs-Donnan mostram-se adequados, podendo ser calculado pela equação de Poisson-Boltzmann. No sistema contendo um eritrócito, quando o potencial β é considerado igual a zero, não se verifica a diferença iônica observada experimentalmente entre os meios intracelular e extracelular. Dessa forma, os potenciais não eletrostáticos calculados via teoria de Lifshitz têm apenas uma pequena influência no que se refere à alta concentração de íon K+ no meio intracelular em relação ao íon Na+ / In this work, the ionic partition and the membrane potential in an erythrocyte are analyzed by modified Poisson-Boltzmann equation, considering non-electrostatic interactions between ions and macromolecules as well as the β potential. This potential is attributed to the difference in chemical potential reference states between intracellular and extracellular environment and the active transport of ions. The Gibbs-Donnan potential is also studied usingthe Poisson-Boltzmann equation with fixed chargeon a system containing a semipermeable membrane. The second order spline finite elements methodin a steady one-dimensional system is applied to solve the Poisson-Boltzmann equation in Cartesian and spherical coordinates.The dispersion parameter of the non-electrostatic interactions is calculated by Lifshitztheory. The results regarding the Gibbs-Donnan potential are adequate and can be calculated by the Poisson-Boltzmann equation. In a system containing an erythrocyte, when the β potential is considered equal to zero, it doesnt check the ionic difference observed experimentally between the intracellular and extracellular environment. Thus, non-electrostatic interactions calculated by Lifshitz theory have only a small influence in the high K+level inside cells while keeping Na+ outside

Sistemas cujos componentes interagem por meio de forças de longo alcance não-blindadas por exemplo, sistemas estelares e plasmas não-neutros têm algumas características anô- malas em relação a sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Além de apresentarem características termodinâmicas peculiares como calor especí co negativo e inequivalência de ensembles, sua dinâmica é predominantemente não-colisional e leva à estados quasiestacion ários fora de equilíbrio. Esses estados são notoriamente difíceis de prever dada uma condição inicial qualquer, e ainda não existe uma teoria uni cada para tratá-los. O equilíbrio termodinâmico é atingido somente após tempos longos que escalam com o tamanho do sistema, muitas vezes excedendo o tempo de vida do universo. A relaxação para o equilíbrio, portanto, tem duas escalas de tempo: uma, curta, que leva a estados quasi-estacionários fora de equilíbrio, e a segunda, longa, que leva ao equilíbrio termodinâmico. Nesta tese de doutorado, examinamos esses fenômenos aplicando modelos teóricos e simulação numérica para diferentes sistemas de interação de longo-alcance, incluindo um modelo de spins clássicos tipo XY com longo alcance, e o sistema auto-gravitante em três dimensões. Em uma segunda etapa, estudamos a relaxação para o equilíbrio termodinâmico, a relaxação colisional, através de equações cinéticas e simulação numérica. Desta forma, buscamos esclarecer os mecanismos por trás dos estados quasi-estacionários e da relaxação colisional. / Systems whose components interact by unscreened long-range forces for example, stellar systems and non-neutral plasmas have characteristics that are anomalous with respect to systems with shielded or short-range forces. Besides presenting unique thermodynamic properties such as negative speci c heat and inequivalence of ensembles, their dynamics is predominantly collisionless and leads to out-of-equilibrium quasi-stationary states. These states are notoriously di cult to predict given an arbitrary initial condition, and there is still no uni ed theory to treat them. Thermodynamic equilibrium is reached only after long timescales that increase with the system size and often exceed the lifetime of the universe. Relaxation to equilibrium, therefore, has two timescales: one short, leading to outof- equilibrium quasi-stationary states, and a second, longer, which leads to thermodynamic equilibrium. In this thesis, we examine these phenomena by applying theoretical models and numerical simulation for di erent long-range interacting systems, including a model of classical XY-type spins with long-range interactions, and the self-gravitating system in three dimensions. In a second stage we study the collisional relaxation to thermodynamic equilibrium through kinetic equations and numerical simulation. We thus seek to clarify the mechanisms behind the quasi-stationary states and collisional relaxation.

Made available in DSpace on 2014-10-09T12:26:15Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Made available in DSpace on 2014-10-09T14:09:38Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Este trabalho apresenta um estudo da Física dos Sistemas dirigidos por Fontes Externas (ADS). É apresentada a definição de alguns parâmetros estáticos e cinéticos da Física do reator que são importantes na avaliação e definição destes sistemas. O objetivo é demonstrar que há diferenças nestes parâmetros quando o sistema está no nível crítico ou subcrítico. Além disso, o trabalho mostra as diferenças observadas nos parâmetros para diferentes modelos de cálculo. São mostradas nesta dissertação duas metodologias de cálculo: Gandini&Salvatores e Dulla e são calculados alguns destes parâmetros utilizando as duas metodologias. O código determinístico de transporte ANISN é utilizado no cálculo destes parâmetros. Numa configuração subcrítica do Reator IPEN/MB-01 dirigido por uma fonte externa de nêutrons são calculados alguns parâmetros físicos. No final do trabalho são apresentadas as conclusões obtidas através destes cálculos. / Dissertacao (Mestrado) / IPEN/D / Instituto de Pesquisas Energeticas e Nucleares - IPEN-CNEN/SP

Abstract The problem of describing a system of many interacting particles is one of the most fundamental questions in physics. One of the central theories used in condensed matter physics to address the problem is the Fermi liquid theory developed by L. D. Landau in the 1956. The theory describes interacting fermions, and can be used to explain transport phenomena of electrons in metals and dynamics of helium three. Even when the theory is not directly applicable, it forms a basis against which other, more sophisticated theories can be compared. this thesis the Fermi liquid theory is applied to 3He-4He-mixtures at temperatures where the bosonic 4He part is superfluid, and the mechanical properties of the system are largely determined by the 3He component, treated as a degenerate normal Fermi liquid. The dynamics of strongly interacting liquid 3He can be described as a collection of quasiparticles, elementary excitations of the system, which interact only weakly. In 3He-4He mixtures the interactions can be continuously tuned by changing the temperature and the concentration of the mixture. The scattering time of quasiparticles depends on temperature, and thus the transition from the hydrodynamic limit of continuous collisions at higher temperatures to the collisionless ballistic limit at low temperatures can be studied. This gives invaluable information on the role of the interactions in the dynamics of the system. In this work, by using the Fermi liquid theory and Boltzmann transport equation, the dynamics of helium mixture disturbed by a mechanical oscillator is described in the full temperature range. The solution necessarily is numeric, but new analytical results in the low temperature limit are obtained as well. The numerical approach enables one to study various boundary conditions thoroughly, and allows application of the theory to a specic geometry. It is shown that in order to explain the experimental observations, it is necessary to take into account the reflection of quasiparticles from the walls of the container. For suitable choice of oscillator frequency and container size, second sound resonances are observed at higher temperatures, while in the ballistic limit quasiparticle interference can be seen. The numerical results are in quantitative agreement with experiments, thus attesting the accuracy of Fermi liquid theory. In particular, the previously observed decrease of inertia of a mechanical oscillator immersed in helium at low temperatures is reproduced in the calculations, and is explained by elasticity of the fluid due to Fermi liquid interactions.