Orientador: Prof. Dr. Maurício Firmino Silva Lima / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. / Este trabalho consiste na elaboração de um texto introdutório sobre o estudo das equações de recorrência e algumas aplicações nas aulas de Ensino Básico, especialmente voltadas para o Ensino Médio, que podem ser utilizadas, por professores como instrumento alternativo para resolução de problemas relacionados às sequências e padrões. Esse trabalho traz exemplos para a maioria dos tipos de equações apresentadas, exercícios resolvidos de variados níveis de dificuldade e um capítulo direcionado especificamente ao desenvolvimento de atividades em sala de aula. Também realizamos estudo qualitativo de equações de diferenças não lineares de primeira ordem, em torno de pontos fixos e órbitas periódicas. Concluímos com um estudo detalhado da sequência de Fibonacci e a sua relação com a razão áurea, bem como algumas aplicações e sugestões para utilização em atividades pedagógicas. / This work consists of an introductory text about recurrence equations and some of their applications in Basic Education classes, focused on Secondary School. These applications can be used by teachers as an alternative tool to solve problems concerning sequences and patterns. This work brings examples for most types of the presented equations, also exercises of varied levels of difficulty with their resolutions and still a chapter specifically directed at activities to be developed in classroom. Besides, a qualitative study on first order non-linear difference equations around fixed points and periodic orbits was performed. The work concludes with a detailed study of the Fibonacci sequence, as well as some of its applications and suggestions for its use in pedagogical activities.

Cette thèse traite les jeux différentiels stochastiques de somme non nulle (JDSNN) dans le cadre de Markovien et de leurs liens avec les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) multidimensionnelles. Nous étudions trois problèmes différents. Tout d'abord, nous considérons un JDSNN où le coefficient de dérive n'est pas borné, mais supposé uniquement à croissance linéaire. Ensuite certains cas particuliers de coefficients de diffusion non bornés sont aussi considérés. Nous montrons que le jeu admet un point d'équilibre de Nash via la preuve de l'existence de la solution de l'EDSR associée et lorsque la condition d'Isaacs généralisée est satisfaite. La nouveauté est que le générateur de l'EDSR, qui est multidimensionnelle, est de croissance linéaire stochastique par rapport au processus de volatilité. Le deuxième problème est aussi relatif au JDSNN mais les payoffs ont des fonctions d'utilité exponentielles. Les EDSRs associées à ce jeu sont de type multidimensionnelles et quadratiques en la volatilité. Nous montrons de nouveau l'existence d’un équilibre de Nash. Le dernier problème que nous traitons, est un jeu bang-bang qui conduit à des hamiltoniens discontinus. Dans ce cas, nous reformulons le théorème de vérification et nous montrons l’existence d’un équilibre de Nash qui est du type bang-bang, i.e., prenant ses valeurs sur le bord du domaine en fonction du signe de la dérivée de la fonction valeur ou du processus de volatilité. L'EDSR dans ce cas est un système multidimensionnel couplé, dont le générateur est discontinu par rapport au processus de volatilité. / This dissertation studies the multiple players nonzero-sum stochastic differential games (NZSDG) in the Markovian framework and their connections with multiple dimensional backward stochastic differential equations (BSDEs). There are three problems that we are focused on. Firstly, we consider a NZSDG where the drift coefficient is not bound but is of linear growth. Some particular cases of unbounded diffusion coefficient of the diffusion process are also considered. The existence of Nash equilibrium point is proved under the generalized Isaacs condition via the existence of the solution of the associated BSDE. The novelty is that the generator of the BSDE is multiple dimensional, continuous and of stochastic linear growth with respect to the volatility process. The second problem is of risk-sensitive type, i.e. the payoffs integrate utility exponential functions, and the drift of the diffusion is unbounded. The associated BSDE is of multi-dimension whose generator is quadratic on the volatility. Once again we show the existence of Nash equilibria via the solution of the BSDE. The last problem that we treat is a bang-bang game which leads to discontinuous Hamiltonians. We reformulate the verification theorem and we show the existence of a Nash point for the game which is of bang-bang type, i.e., it takes its values in the border of the domain according to the sign of the derivatives of the value function. The BSDE in this case is a coupled multi-dimensional system, whose generator is discontinuous on the volatility process.

Il existe plusieurs théories du contrôle moteur, chacune présumant qu’une différente variable du mouvement est réglée par le cortex moteur. On trouve parmi elles la théorie du modèle interne qui a émis l’hypothèse que le cortex moteur programme la trajectoire du mouvement et l’activité électromyographique (EMG) d’une action motrice. Une autre, appelée l’hypothèse du point d’équilibre, suggère que le cortex moteur établisse et rétablisse des seuils spatiaux; les positions des segments du corps auxquelles les muscles et les réflexes commencent à s’activer. Selon ce dernier, les paramètres du mouvement sont dérivés sans pré-programmation, en fonction de la différence entre la position actuelle et la position seuil des segments du corps. Pour examiner de plus près ces deux théories, nous avons examiné l’effet d’un changement volontaire de l’angle du coude sur les influences cortico-spinales chez des sujets sains en employant la stimulation magnétique transcrânienne (TMS) par-dessus le site du cortex moteur projetant aux motoneurones des muscles du coude. L’état de cette aire du cerveau a été évalué à un angle de flexion du coude activement établi par les sujets, ainsi qu’à un angle d’extension, représentant un déplacement dans le plan horizontal de 100°. L’EMG de deux fléchisseurs du coude (le biceps et le muscle brachio-radial) et de deux extenseurs (les chefs médial et latéral du triceps) a été enregistrée. L’état d’excitabilité des motoneurones peut influer sur les amplitudes des potentiels évoqués moteurs (MEPs) élicitées par la TMS. Deux techniques ont été entreprises dans le but de réduire l’effet de cette variable. La première était une perturbation mécanique qui raccourcissait les muscles à l'étude, produisant ainsi une période de silence EMG. La TMS a été envoyée avec un retard après la perturbation qui entraînait la production du MEP pendant la période de silence. La deuxième technique avait également le but d’équilibrer l’EMG des muscles aux deux angles du coude. Des forces assistantes ont été appliquées au bras par un moteur externe afin de compenser les forces produites par les muscles lorsqu’ils étaient actifs comme agonistes d’un mouvement. Les résultats des deux séries étaient analogues. Un muscle était facilité quand il prenait le rôle d’agoniste d’un mouvement, de manière à ce que les MEPs observés dans le biceps fussent de plus grandes amplitudes quand le coude était à la position de flexion, et ceux obtenus des deux extenseurs étaient plus grands à l’angle d’extension. Les MEPs examinés dans le muscle brachio-radial n'étaient pas significativement différents aux deux emplacements de l’articulation. Ces résultats démontrent que les influences cortico-spinales et l’activité EMG peuvent être dissociées, ce qui permet de conclure que la voie cortico-spinale ne programme pas l’EMG à être générée par les muscles. Ils suggèrent aussi que le système cortico-spinal établit les seuils spatiaux d’activation des muscles lorsqu’un segment se déplace d’une position à une autre. Cette idée suggère que des déficiences dans le contrôle des seuils spatiaux soient à la base de certains troubles moteurs d’origines neurologiques tels que l’hypotonie et la spasticité. / According to a dominant theory, the motor cortex is directly involved in pre-programming motor outcome in terms of movement trajectories and electromyographic (EMG) patterns. In contrast, the equilibrium point theory suggests that the motor cortex sets and resets the spatial thresholds, i.e., the positions of body segments at which muscles and reflexes begin to act. Movement parameters thereby emerge without pre-programming, depending on the difference between the actual and the threshold position of the body segments. To choose between these two theories of motor control, we investigated corticospinal influences associated with voluntary changes in elbow joint angle in healthy individuals using transcranial magnetic stimulation (TMS) of the brain site projecting to motoneurons of the elbow muscles. In order to minimize the influence of motoneuronal excitability on the evaluation of corticospinal influences, motor evoked potentials (MEPs) elicited by TMS were obtained during the EMG silent period produced by a brief muscle shortening prior to the TMS pulse. MEPs were obtained at a flexion and an extension elbow angle actively established by subjects. MEPs were recorded from 2 elbow flexors (biceps and brachioradialis) and 2 extensors (medial and lateral heads of triceps). Flexor MEP amplitude was bigger at the elbow flexion position in the case of the biceps and extensor MEPs were bigger at the extension position in both extensors studied (reciprocal pattern). MEPs observed in the brachioradialis did not differ at the two elbow orientations. A similar difference in corticospinal influences at the two elbow positions was often preserved when the tonic activity of elbow muscles was equalized by compensating the passive muscle forces at the two positions with a torque motor. Thus, corticospinal influences and EMG activity were de-correlated and it can be concluded that the corticospinal system is not involved in pre-determining the magnitude of motor commands to muscles. Results suggest that the corticospinal system resets the spatial thresholds for muscle activation when segments move from one position to another. This implies that deficits in spatial threshold control may underlie different neurological motor problems (e.g., hypotonia and spasticity).

In der betriebswirtschaftlichen Realität werden riskante Entscheidungen meistens nach vorherigen Gewinn- oder Verlusterfahrungen getroffen und empirische Beobachtungen legen nahe, dass vorherige derartige Erfahrungen das aktuelle Risikoverhalten beeinflussen. Da dieser Umstand in den existierenden Ansätzen der normativen und deskriptiven Spieltheorie bisher jedoch nicht abgebildet wird, beschäftigt sich diese Arbeit zunächst mit der Erarbeitung der theoretischen Grundlagen für das Verhalten nach entsprechenden Erfahrungen in riskanten Entscheidungssituationen mit und ohne strategische Interaktion. Dabei wird für Einpersonenspiele das gesamte Framework der Kumulativen Prospekttheorie um einen "Aggregationsaxiom" erweitert und es werden anreizkompatible Mechanismen abgeleitet, die in zwei experimentellen Studien überprüft werden. Die Aggregationshypothese konnte dabei bestätigt werden, wenn auch die Risikowahrnehmung eher im Einklang mit normativen Ansätzen und nicht mit der Kumulativen Prospekttheorie zu stehen scheint. Für Mehrpersonenspiele wurde der klassische Ansatz um den Aggregationsaspekt, eine Auszahlungstransformation gemäß der Kumulativen Prospekttheorie und um die Annahme der Sozialen Projektion erweitert. Die Verhaltensprognosen für zwei einfache Koordinationsspiele resultieren dann insbesondere aus den beiden Verfeinerungskriterien "Risikodominanz" und "Perfektheit" der allgemeinen Gleichgewichtsauswahltheorie von Harsanyi und Selten. Die gemachten Vorhersagen konnten für die Teilnehmer (wenn auch mit überraschenden geschlechtspezifischen Unterschieden) in zwei Experimenten bestätigt werden. / In the real world, risky decisions are typically made after previous experiences, which include prior gains and losses. Although there are empirical findings suggesting an influence of such prior experiences on the subsequent behavior, normative as well as descriptive decision and game theory have not provided yet a thorough theoretical treatment of these effects. Therefore, this thesis develops first a theoretical fundament. It is based on the Cumulative Prospect Theory, which is extended by an "aggregation axiom". For single-person-games an incentive compatible mechanism to elicit true evaluations of risks is developed and finally tested in two laboratory experiments. The relevance of the aggregation axiom gets full support whereas a risk perception according to the Cumulative Prospect Theory has to be rejected. In multi-person-games the additional assumption of Social Projection has to be incooperated. Equilibrium selection according to "perfectness" and "risk dominance" are used to derive predictions, which are empirically validated in two experiments. Furthermore, gender-specific differences are observed.

Il existe plusieurs théories du contrôle moteur, chacune présumant qu’une différente variable du mouvement est réglée par le cortex moteur. On trouve parmi elles la théorie du modèle interne qui a émis l’hypothèse que le cortex moteur programme la trajectoire du mouvement et l’activité électromyographique (EMG) d’une action motrice. Une autre, appelée l’hypothèse du point d’équilibre, suggère que le cortex moteur établisse et rétablisse des seuils spatiaux; les positions des segments du corps auxquelles les muscles et les réflexes commencent à s’activer. Selon ce dernier, les paramètres du mouvement sont dérivés sans pré-programmation, en fonction de la différence entre la position actuelle et la position seuil des segments du corps. Pour examiner de plus près ces deux théories, nous avons examiné l’effet d’un changement volontaire de l’angle du coude sur les influences cortico-spinales chez des sujets sains en employant la stimulation magnétique transcrânienne (TMS) par-dessus le site du cortex moteur projetant aux motoneurones des muscles du coude. L’état de cette aire du cerveau a été évalué à un angle de flexion du coude activement établi par les sujets, ainsi qu’à un angle d’extension, représentant un déplacement dans le plan horizontal de 100°. L’EMG de deux fléchisseurs du coude (le biceps et le muscle brachio-radial) et de deux extenseurs (les chefs médial et latéral du triceps) a été enregistrée. L’état d’excitabilité des motoneurones peut influer sur les amplitudes des potentiels évoqués moteurs (MEPs) élicitées par la TMS. Deux techniques ont été entreprises dans le but de réduire l’effet de cette variable. La première était une perturbation mécanique qui raccourcissait les muscles à l'étude, produisant ainsi une période de silence EMG. La TMS a été envoyée avec un retard après la perturbation qui entraînait la production du MEP pendant la période de silence. La deuxième technique avait également le but d’équilibrer l’EMG des muscles aux deux angles du coude. Des forces assistantes ont été appliquées au bras par un moteur externe afin de compenser les forces produites par les muscles lorsqu’ils étaient actifs comme agonistes d’un mouvement. Les résultats des deux séries étaient analogues. Un muscle était facilité quand il prenait le rôle d’agoniste d’un mouvement, de manière à ce que les MEPs observés dans le biceps fussent de plus grandes amplitudes quand le coude était à la position de flexion, et ceux obtenus des deux extenseurs étaient plus grands à l’angle d’extension. Les MEPs examinés dans le muscle brachio-radial n'étaient pas significativement différents aux deux emplacements de l’articulation. Ces résultats démontrent que les influences cortico-spinales et l’activité EMG peuvent être dissociées, ce qui permet de conclure que la voie cortico-spinale ne programme pas l’EMG à être générée par les muscles. Ils suggèrent aussi que le système cortico-spinal établit les seuils spatiaux d’activation des muscles lorsqu’un segment se déplace d’une position à une autre. Cette idée suggère que des déficiences dans le contrôle des seuils spatiaux soient à la base de certains troubles moteurs d’origines neurologiques tels que l’hypotonie et la spasticité. / According to a dominant theory, the motor cortex is directly involved in pre-programming motor outcome in terms of movement trajectories and electromyographic (EMG) patterns. In contrast, the equilibrium point theory suggests that the motor cortex sets and resets the spatial thresholds, i.e., the positions of body segments at which muscles and reflexes begin to act. Movement parameters thereby emerge without pre-programming, depending on the difference between the actual and the threshold position of the body segments. To choose between these two theories of motor control, we investigated corticospinal influences associated with voluntary changes in elbow joint angle in healthy individuals using transcranial magnetic stimulation (TMS) of the brain site projecting to motoneurons of the elbow muscles. In order to minimize the influence of motoneuronal excitability on the evaluation of corticospinal influences, motor evoked potentials (MEPs) elicited by TMS were obtained during the EMG silent period produced by a brief muscle shortening prior to the TMS pulse. MEPs were obtained at a flexion and an extension elbow angle actively established by subjects. MEPs were recorded from 2 elbow flexors (biceps and brachioradialis) and 2 extensors (medial and lateral heads of triceps). Flexor MEP amplitude was bigger at the elbow flexion position in the case of the biceps and extensor MEPs were bigger at the extension position in both extensors studied (reciprocal pattern). MEPs observed in the brachioradialis did not differ at the two elbow orientations. A similar difference in corticospinal influences at the two elbow positions was often preserved when the tonic activity of elbow muscles was equalized by compensating the passive muscle forces at the two positions with a torque motor. Thus, corticospinal influences and EMG activity were de-correlated and it can be concluded that the corticospinal system is not involved in pre-determining the magnitude of motor commands to muscles. Results suggest that the corticospinal system resets the spatial thresholds for muscle activation when segments move from one position to another. This implies that deficits in spatial threshold control may underlie different neurological motor problems (e.g., hypotonia and spasticity).

O Tiro com Arco é uma modalidade olímpica na qual os atletas exibem diversas estratégias de coordenação muscular na preparação do disparo da flecha, principalmente no período da liberação do clicker, tornando dificultosa a interpretação da coordenação de arqueiros no que tange à sua pontuação. Deste modo, algumas técnicas, como a Análise de Vetor Codificado e co-ativação/inibição recíproca, provenientes de abordagens de Controle Motor, podem ajudar-nos a desvendar quais parâmetros em comum que estes arqueiros utilizam quando atiram e sua relação com seu desempenho obtido durante o disparo sequencial de flechas. O objetivo do trabalho foi o de avaliar a coordenação muscular utilizada por arqueiros da seleção brasileira durante uma simulação qualificatória olímpica, através da técnica eletromiográfica. Participaram 11 arqueiros da seleção brasileira; idade: 25,2±4,9 anos, altura: 1,72±0,12m, peso: 68,6±11,8 kg, FITA score: 1258±43 pontos, Qualificação: 632±20 pontos, Flecha média: 8,7±0,3 pontos. A análise EMG foi dividida em 0,5s antes e 0,15s após a liberação do clicker. Foi utilizado o valor RMS deste sinal de doze músculos: no lado que traciona a corda (dominante) - FSD (Flexor Superficial dos dedos); ED (Extensor dos dedos); BBL (Bíceps Braquial); TBL (Tríceps Braquial Cabeça longa); GD (Grande Dorsal) PMC (Peitoral Maior Clavicular); TS (Trapézio Superior); SAD (Serrátil Anterior); RA (Reto Abdominal) e ML (Multífido Lombar). Lado não dominante (nD) DPnD (Deltóide Posterior); SAnD (Serrátil Anterior), no qual foram criados em 14 pares de análise (agonista-antagonista: FSD-ED; BBL-TBL; GD-PMC; TS-SAD; RA-ML; distal-proximal: FSD-BBL; FSD-TBL; ED-BBL; ED-TBL; e mistos: PMC-SAD; GD-TS; SAD-SAnD; SAnD-DPnD; GD-DPnD), para a análise dentro das técnicas de Co-ativação/Inibição Reciproca e Análise de Vetor Codificado. Nos resultados; oito pares (FSD-ED; BBL-TBL; TS-SAD; FSD-BBL; FSD-TBL; ED-TBL; SAD-SAnD; SAnD-DPnD) co-ativaram diferentemente na transição de blocos (p<0.05); e 12 (FSD-ED; BBL-TBL; GD-PMC; TS-SAD; FSD-BBL; FSD-TBL; ED-BBL; ED-TBL; PMC-SAD; SAD-SAnD; SAnD-DPnD; GD-DPnD) co-ativaram diferentemente na comparação do escore obtido (p<0.05). Em nove pares, os arqueiros, evidenciaram diferentes estratégias de inibição recíproca na transição de blocos (FSD-ED; BBL-TBL; TS-SAD; FSD-BBL; FSD-TBL; ED-BBL; ED-TBL; SAD-SAnD; SAnD-DPnD) (p<0.05); um (TS-SAD) na análise de flechas (p<0.05); e nove (FSD-ED; BBL-TBL; FSD-BBL; FSD-TBL; ED-BBL; ED-TBL; SAD-SAnD; SAnD-DPnD; GD-DPnD) na análise do escore. A análise de Vetor Codificado apresentou que, no total de flechas disparadas nove pares (FSD-ED; GD-PMC; FSD-BBL; FSD-TBL; ED-BBL; ED-TBL; PMC-SAD; SAD-SAnD; SAnD-DPnD) mudaram a moda de fase de coordenação na transição de ajustes posturais, enquanto no desempenho 11 pares (FSD-ED; BBL-TBL; GD-PMC; TS-SAD; FSD-BBL; FSD-TBL; ED-BBL; ED-TBL; PMC-SAD; SAD-SAnD; SAnD-DPnD) evidenciaram tais mudanças. As técnicas apresentadas no presente estudo revelaram parâmetros em comum associados com as sequências temporais de disparo de flechas e com os escores obtidos por arqueiros de elite, isto corrobora com a complexidade da análise do desempenho em atletas de alto rendimento, contudo também colocam a disposição técnicas que ajudam na filtragem e verificação desses parâmetros outrora divergentes / Archery is an Olympic sport in which the athletes exhibit several muscular coordination patterns in the arrow shooting, mainly in the clicker falls tempo, making difficult the interpretation of the coordination of archers in what concerns to their score. Thus, some techniques, such as Vector Coding and co-activation/reciprocal inhibition, from Motor Control approaches, can help us to discover what common patterns these archers use when firing and their relation to their obtained performance during the sequential firing of arrows. Aim: evaluate the muscular coordination used by archers of the Brazilian team during an Olympic qualifying simulation, using the electromyographic technique. Eleven archers of the Brazilian team participated; age: 25.2 ± 4.9 years, height: 1.72 ± 0.12m, weight: 68.6 ± 11.8 kg, FITA score: 1258 ± 43 points, Qualification: 632 ± 20 points, Mean arrow: 8.7 ± 0.3 points. The EMG analysis was divided in 0.5s before and 0.15s after the release of the clicker. The RMS value of this twelve-muscle signal was used: drawning arm (dominant side) - FDS (Flexor Digitorum Superficilis); ED (Extensor Digitorum); BB (Biceps Brachii); TBL (Triceps Brachii - Long Head); LD (Latissimus Dorsi) PMC (Pectoralis Major Clavicular Head); UT (Upper Trapezius); ASD (Anterior Serratus); RA (Rectus Abdominis) and LM (Lumbar Multifidus). Non-dominant side (nD) DPnD (Posterior deltoid) and ASnD (Anterior Serratus non-dominant side); pairs created (Agonist-Antagonist: FDS-ED, BBL-TBL, LD-PMC, UT-ASD, RA-LM; Distal-Proximal: FDS-BBL, FDS-TBL, ED-BBL, ED-TBL and the pairs glenohumeral-scapular: PMC-SAD, GD-TS, SAD-SAnD, SAnD-DPnD, GD-DPnD) for analysis of co-activation/reciprocal inhibition and Vector Coding. Results; eight pairs (FDS-ED, BB-TBL, UT-ASD, FDS-BB, FDS-TBL, ED-TBL, ASD-ASnD, ASnD-DPnD) coactivated differently in blocks transition (p<0.05); and 12 (FDS-ED, BB-TBL, LD-PMC, UT-ASD, FDS-BB, FDS-TBL, ED-BB, ED-TBL, PMC-ASD, ASD-ASnD, ASnD-DPnD, LD-DPnD) co-activated differently in the score comparison (p<0.05). Also, the archers displayed different strategies of reciprocal inhibition in the blocks transition (FDS-ED, BB-TBL, UT-ASD, FDS-BB, FDS-TBL, ED-BBL, ED-TBL, ASD-ASnD; ASnD-DPnD) (p<0.05); one (UT-ASD) in the arrow analysis (p<0.05); and nine (FDS-ED, BB-TBL, FDS-BBL, FDS-TBL, ED-BBL, ED-TBL, ASD-ASnD, ASnD-DPnD, LD-DPnD) in the score analysis. Nine Vector Coding pairs (FDS-BB, FDS-TBL, ED-BB, ED-TBL, PMC-ASD, ASD-ASnD, ASnD- DPnD) changed the coordination phase mode in postural adjustments transition, while 11 pairs (FDS-ED; BB-TBL; LD-PMC; UT-ASD; FDS-BB; FDS-TBL; ED-BB; ED-TBL, PMC-ASD, ASD-ASnD, ASnD-DPnD) showed such changes in score analysis. The techniques presented in the present study revealed common parameters associated with temporal shoot-out and scores obtained by elite archers, dispite the complexity of performance analysis in high-performance athletes

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