Cette thèse porte sur l'obtention rigoureuse de limites de champ moyen pour la dynamique continue de grands réseaux de neurones hétérogènes. Nous considérons des neurones à taux de décharge, et sujets à un bruit Brownien additif. Le réseau est entièrement connecté, avec des poids de connections dont la variance décroît comme l'inverse du nombre de neurones conservant un effet non trivial dans la limite thermodynamique. Un second type d'hétérogénéité, interprété comme une position spatiale, est considéré au niveau de chaque cellule. Pour la pertinence biologique, nos modèles incluent ou bien des délais, ainsi que des moyennes et variances de connections, dépendants de la distance entre les cellules, ou bien des synapses dépendantes de l'état des deux neurones post- et présynaptique. Ce dernier cas s'applique au modèle de Kuramoto pour les oscillateurs couplés. Quand les poids synaptiques sont Gaussiens et indépendants, nous prouvons un principe de grandes déviations pour la mesure empirique de l'état des neurones. La bonne fonction de taux associée atteint son minimum en une unique mesure de probabilité, impliquant convergence et propagation du chaos sous la loi "averaged". Dans certains cas, des résultats "quenched" sont obtenus. La limite est solution d'une équation implicite, non Markovienne, dans laquelle le terme d'interactions est remplacé par un processus Gaussien qui dépend de la loi de la solution du réseau entier. Une universalité de cette limite est prouvée, dans le cas de poids synaptiques non-Gaussiens avec queues sous-Gaussiennes. Enfin, quelques résultats numérique sur les réseau aléatoires sont présentés, et des perspectives discutées. / This thesis addresses the rigorous derivation of mean-field results for the continuous time dynamics of heterogeneous large neural networks. In our models, we consider firing-rate neurons subject to additive noise. The network is fully connected, with highly random connectivity weights. Their variance scales as the inverse of the network size, and thus conserves a non-trivial role in the thermodynamic limit. Moreover, another heterogeneity is considered at the level of each neuron. It is interpreted as a spatial location. For biological relevance, a model considered includes delays, mean and variance of connections depending on the distance between cells. A second model considers interactions depending on the states of both neurons at play. This last case notably applies to Kuramoto's model of coupled oscillators. When the weights are independent Gaussian random variables, we show that the empirical measure of the neurons' states satisfies a large deviations principle, with a good rate function achieving its minimum at a unique probability measure, implying averaged convergence of the empirical measure and propagation of chaos. In certain cases, we also obtained quenched results. The limit is characterized through a complex non Markovian implicit equation in which the network interaction term is replaced by a non-local Gaussian process whose statistics depend on the solution over the whole neural field. We further demonstrate the universality of this limit, in the sense that neuronal networks with non-Gaussian interconnections but sub-Gaussian tails converge towards it. Moreover, we present a few numerical applications, and discuss possible perspectives.

Cette thèse concerne l’étude de grandes déviations précises pour deux statistiques de test:le coefficient de corrélation empirique de Pearson et la statistique de Moran.Les deux premiers chapitres sont consacrés à des rappels sur les grandes déviations précises et sur la méthode de Laplace qui seront utilisés par la suite. Par la suite, nous étudions les grandes déviations précises pour des coefficients de Pearson empiriques qui sont définis par:$r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)(Y_i-\bar Y_n)/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\bar X_n)^2 \sum_{i=1}(Y_i-\bar Y_n)^2}$ ou, quand les espérances sont connues, $\tilde r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb E(X))(Y_i-\mathbb E(Y))/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\mathbb E(X))^2 \sum_{i=1}(Y_i-\mathbb E(Y))^2} \, .$. Notre cadre est celui d’échantillons (Xi, Yi) ayant une distribution sphérique ou une distribution gaussienne. Dans chaque cas, le schéma de preuve suit celui de Bercu et al.Par la suite, nous considérons la statistique de Moran $T_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{X_i}{\bar X_n}+\gamma \, ,$o\`u $\gamma$, où γ est la constante d’ Euler. Enfin l’appendice est consacré aux preuves de résultats techniques. / This thesis focuses on the study of Sharp large deviations (SLD) for two test statistics:the Pearson’s empirical correlation coefficient and the Moran statistic.The two first chapters aim to recall general results on SLD principles and Laplace’s methodsused in the sequel. Then we study the SLD of empirical Pearson coefficients, name $r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)(Y_i-\bar Y_n)/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\bar X_n)^2 \sum_{i=1}(Y_i-\bar Y_n)^2}$ and when the meansare known,$\tilde r_n=\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb E(X))(Y_i-\mathbb E(Y))/\sqrt{\sum_{i=1}(X_i-\mathbb E(X))^2 \sum_{i=1}(Y_i-\mathbb E(Y))^2} \, .$ .Our framework takes place in two cases of random sample (Xi, Yi): spherical distributionand Gaussian distribution. In each case, we follow the scheme of Bercu et al. Next, westate SLD for the Moran statistic $T_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{X_i}{\bar X_n}+\gamma \, ,$o\`u $\gamma$ , where γ is the Euler constant.Finally the appendix is devoted to some technical results.

We consider p independent Brownian motions in ℝd. We assume that p ≥ 2 and p(d- 2) < d. Let ℓt denote the intersection measure of the p paths by time t, i.e., the random measure on ℝd that assigns to any measurable set A ⊂ ℝd the amount of intersection local time of the motions spent in A by time t. Earlier results of Chen derived the logarithmic asymptotics of the upper tails of the total mass ℓt(ℝd) as t →∞. In this paper, we derive a large-deviation principle for the normalised intersection measure t-pℓt on the set of positive measures on some open bounded set B ⊂ ℝd as t →∞ before exiting B. The rate function is explicit and gives some rigorous meaning, in this asymptotic regime, to the understanding that the intersection measure is the pointwise product of the densities of the normalised occupation times measures of the p motions. Our proof makes the classical Donsker-Varadhan principle for the latter applicable to the intersection measure. A second version of our principle is proved for the motions observed until the individual exit times from B, conditional on a large total mass in some compact set U ⊂ B. This extends earlier studies on the intersection measure by König and Mörters.

An important task in brain modeling is that of estimating model parameters and quantifying their uncertainty. In this thesis we tackle this problem from a Bayesian perspective: we use experimental data to update the prior information about model parameters, in order to obtain their posterior distribution. Uncertainty quantification via a direct computation of the posterior has a prohibitive computational cost in high dimensions. An alternative to a direct computation is offered by Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods. The aim of this project is to analyse some of the methods within this class and improve their convergence. In this thesis we describe the following MCMC methods: Metropolis-Hastings (MH) algorithm, Metropolis adjusted Langevin algorithm (MALA), simplified manifold MALA (smMALA) and Approximate Bayesian Computation MCMC (ABCMCMC). SmMALA is further analysed in Paper A, where we propose an algorithm to approximate a key component of this algorithm (the Fisher Information) when applied to ODE models, with the purpose of reducing the computational cost of the method. A theoretical analysis of MCMC methods is carried out in Paper B and relies on tools from the theory of large deviations. In particular, we analyse the convergence of the MH algorithm by stating and proving a large deviation principle (LDP) for the empirical measures produced by the algorithm. Some of the methods analysed in this thesis are implemented in an R package, available on GitHub as “icpm-kth/uqsa” and presented in Paper C, and are applied to subcellular pathway models within neurons in the context of uncertainty quantification of the model parameters. / En viktig uppgift inom hjärnmodellering är att uppskatta parametrar i modellen och kvantifiera deras osäkerhet. I denna avhandling hanterar vi detta problem från ett Bayesianskt perspektiv: vi använder experimentell data för att uppdatera a priori kunskap av modellparametrar, för att erhålla deras posteriori-fördelning. Osäkerhetskvantifiering (UQ) via direkt beräkning av posteriorfördelningen har en hög beräkningskostnad vid höga dimensioner. Ett alternativ till direkt beräkning ges av Markov chain Monte Carlo (MCMC) metoder. Syftet med det här projektet är att analysera några MCMC metoder och förbättra deras konvergens. I denna avhandling beskriver vi följande MCMC algoritmer: “Metropolis-Hastings” (MH), “Metropolis adjusted Langevin” (MALA), “Simplified Manifold MALA” (smMALA) och “Approximate Bayesian Computation MCMC” (ABCMCMC). SmMALA analyseras i artikel A. Där presenterar vi en algoritm för att approximera en nyckelkomponent av denna algoritm (Fisher informationen) när den tillämpas på ODE modeller i syfte att minska metodens beräkningskostnad. En teoretisk analys av MCMC metoder behandlas i artikel B och bygger på verktyg från teorin av stora avvikelser. Mer specifikt, vi analyserar MH algoritmens konvergens genom att formulera och bevisa en stora avvikelser princip (LDP) för de empiriska mått som produceras av algoritmen. Några av metoderna analyserade i den här avhandlingen har implementerats i ett R paket som finns på GitHub som “icpm-kth/uqsa” och presenteras i artikel C. Metoderna tillämpas på subcellulära vägmodeller inom neuroner i sammanhanget av osäkerhetskvantifieringen av modellparametrar. / <p>QC 2023-08-21</p>

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1. / The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$. The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations. In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities. The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet. / This thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.

Dans cette thèse on s'intéresse au temps local d'auto-intersections de marches aléatoires. Cette quantité est définie comme la norme-p à la puissance p du temps local de la marche. Elle regarde dans quelle mesure la trajectoire de la marche aléatoire s'intersecte. Le temps local d'auto-intersections est lié à différents modèles physiques comme les modèles de polymères ou les problèmes d'écoulements de flux en milieux stratifiés mais aussi au modèle mathématiques des marches aléatoires en paysages aléatoires. Nous nous sommes pour notre part intéressés en particulier aux grandes déviations du temps local d'auto-intersections, c'est à dire que nous regardons la probabilité que la quantité d'intersections de la marche aléatoire soit plus grande que sa moyenne. Cette question qui a été très étudiée au cours des années 2000 fait apparaitre trois cas distincts, le cas sous-critique, le cas critique et le cas sur-critique. Nous améliorons la connaissance sur cette question au travers de deux résultats complets et d'un résultat partiel. D'abord nous prouvons un principe de grandes déviations dans les cas critique et sur-critique des marches alpha-stables, puis nous améliorons les échelles de déviations au cas sous-critique tout entier de la marche simple, enfin nous sommes en train d'étendre ce dernier résultat aux marches alpha-stables. Par ailleurs les trois preuves sont basées sur l'utilisation d'une version due à Eisenbaum d'un théorème d'isomorphisme de Dynkin. Cette méthode d'abord introduite par Castell dans le cas critique est donc ici étendue aux autres cas. Nous avons donc réussi à unifier les différentes méthodes de preuves au travers ce théorème d'isomorphisme. / In this thesis we are interested in the self-intersection local times of random walks. This quantity is defined as the p-norm to the power of p of the local times of the random walk. It measures how much the trajectory of the random walk intersects itself. The self-intersection local times is connected with various physical models as polymer models or problems of anomalous dispersion in layered random flows, but it is also linked with the mathematical model of random walks in random sceneries. More precisely, we are interested in the large deviations of the self-intersection local times, i.e. we work on the probability for the intersections to be larger than expected. This question that has been studied a lot during the 2000's is divided in three cases, the subcritical one, the critical one and the super critical one. We improve the knowledge about this question by two complete results and a partial one. First, we have proved a large deviation principle in the critical and super critical cases of alpha-stable random walks, then we have improved the deviations' scales to the entire subcritical case of simple random walk, finally we are extending this last result to the alpha-stable random walks. The three proofs are based on a version due to Eisenbaum of a Dynkin isomorphism theorem. This method which has been first introduced by Castell in the critical case, is extended here to the others cases. Thus, we have succeeded to unify the methods of proof by this isomorphism theorem.

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).

We consider a simple one-dimensional random dynamical system with two driving vector fields and random switchings between them. We show that this system satisfies a one force - one solution principle and compute its unique invariant density explicitly. We study the limiting behavior of the invariant density as the switching rate approaches zero and infinity and derive analogues of classical probabilistic results such as the central limit theorem and large deviations principle.