Markov processes have a long history of being used to model safety critical systems. However, with the development of autonomous vehicles and their increased complexity, Markov processes have been shown to not be sufficiently precise for reliability calculations. Therefore there has been the need to consider a more general stochastic process, namely the Semi-Markov process (SMP). SMPs allow for transitions with general distributions between different states and can be used to precisely model complex systems. This comes at the cost of increased complexity when calculating the reliability of systems. As such, methods to increase the interpretability of the system and allow for appropriate approximations have been considered and researched. In this thesis, a novel classification approach for transitions in SMP has been defined and complemented with different conjectures and properties. A transition is classified as good or bad by comparing the reliability of the original system with the reliability of any perturbed system, for which the studied transition is more likely to occur. Cases are presented to illustrate the use of this classification technique. Multiple suggestions and conjectures for future work are also presented and discussed. / Markovprocesser har länge använts för att modellera säkerhetskritiska system. Med utvecklingen av autonoma fordon och deras ökade komplexitet, har dock markovprocesser visat sig vara otillräckliga exakta för tillförlitlighetsberäkningar. Därför har det funnits ett behov för en mer allmän stokastisk process, nämligen semi-markovprocessen (SMP). SMP tillåter generella fördelningar mellan tillstånd och kan användas för att modellera komplexa system med hög noggrannhet. Detta innebär dock en ökad komplexitet vid beräkningen av systemens tillförlitlighet. Metoder för att öka systemets tolkningsbarhet och möjliggöra lämpliga approximationer har därför övervägts och undersökts. I den här masteruppsatsen har en ny klassificeringsmetod för övergångar i SMP definierats och kompletteras med olika antaganden och egenskaper. En övergång klassificeras som antingen bra eller dålig genom en jämförelse av tillförlitligheten i det ursprungliga systemets och ett ändrat system, där den studerade övergången har högre sannolikhet att inträffa. Fallstudier presenteras för att exemplifiera användningen av denna klassificeringsteknik. Flera förslag och antaganden för framtida arbete presenteras och diskuteras också.

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機率過程（Stochastic Process）是統計學應用的一個領域，而等候系統模型是機率 過程的一個特例。舉凡能適切劃分顧客及服務者的問題，都可用恰當的等候模型尋求 效益上最佳平衡。 對於M/G/r，GI/M/r及GI/G/r 模型，在分析上不易，且現實生活中，穩定（Stationa ry）及獨立（Independence）的假設均難完全符合，因此在這些假設下所導出的確切 模型（Explicit Model），應算是現實狀況的「概略」模型。對於既複雜又無確切結 果的上述模型，利用運作方便的近似值模型來替代，是本篇論文的主要目的。 全文共六章。第一章緒論；第二章等候理論的幾個基本觀念；第三章確切等候系統模 型，討論M/G/I及GI/M/1 模型，及所遭遇的困難；第四章近似值等候系統模型，討論 GI/G/I模型及由此發展出的近似值與上下界（Bound ）；第五章模擬印證；第六章結 論。

The performance modelling of large-scale systems using discrete-state approaches is fundamentally hampered by the well-known problem of state-space explosion, which causes exponential growth of the reachable state space as a function of the number of the components which constitute the model. Because they are mapped onto continuous-time Markov chains (CTMCs), models described in the stochastic process algebra PEPA are no exception. This thesis presents a deterministic continuous-state semantics of PEPA which employs ordinary differential equations (ODEs) as the underlying mathematics for the performance evaluation. This is suitable for models consisting of large numbers of replicated components, as the ODE problem size is insensitive to the actual population levels of the system under study. Furthermore, the ODE is given an interpretation as the fluid limit of a properly defined CTMC model when the initial population levels go to infinity. This framework allows the use of existing results which give error bounds to assess the quality of the differential approximation. The computation of performance indices such as throughput, utilisation, and average response time are interpreted deterministically as functions of the ODE solution and are related to corresponding reward structures in the Markovian setting. The differential interpretation of PEPA provides a framework that is conceptually analogous to established approximation methods in queueing networks based on meanvalue analysis, as both approaches aim at reducing the computational cost of the analysis by providing estimates for the expected values of the performance metrics of interest. The relationship between these two techniques is examined in more detail in a comparison between PEPA and the Layered Queueing Network (LQN) model. General patterns of translation of LQN elements into corresponding PEPA components are applied to a substantial case study of a distributed computer system. This model is analysed using stochastic simulation to gauge the soundness of the translation. Furthermore, it is subjected to a series of numerical tests to compare execution runtimes and accuracy of the PEPA differential analysis against the LQN mean-value approximation method. Finally, this thesis discusses the major elements concerning the development of a software toolkit, the PEPA Eclipse Plug-in, which offers a comprehensive modelling environment for PEPA, including modules for static analysis, explicit state-space exploration, numerical solution of the steady-state equilibrium of the Markov chain, stochastic simulation, the differential analysis approach herein presented, and a graphical framework for model editing and visualisation of performance evaluation results.

[pt] O objetivo da presente dissertação é capturar o valor da flexibilidade que uma planta XTL oferece na entrada do sistema produtivo, onde podem ser utilizados diversos tipos de insumos como matéria-prima. A saída do sistema produtivo também permite que diferentes produtos sejam produzidos. Desta forma, o autor considera que a metodologia das opções reais é a mais indicada para se avaliar tais flexibilidades, sendo o objeto principal deste estudo a análise da opção de conversão (Input/Output Switch option) através da utilização do processo estocástico de reversão à média com saltos. Os resultados desta dissertação podem auxiliar a tomada de decisão dos gestores da área de petróleo e energia, onde outros projetos já foram avaliados através dessa mesma metodologia, no entanto, não existe qualquer interesse em comprovar a eficiência da teoria das opções reais frente às metodologias de avaliação financeira usuais. / [en] The objective of this dissertation is to value the operational flexibility that a GTL plant can offer at the entrance of the productive process where multiples inputs can be used as row material. Different products also can be produced. The real options theory is considered by the author as the most indicated financial methodology to value theses flexibilities and the main goal of the present study is to value the Input/Output switch option and the mean reversion with jumps stochastic process. The aim of this study is also to support manager´s investment decision from oil and energy field, where others projects has been already valuated with real options theory so the proof of the theory efficiency against traditional valuation methodologies is not object from this study.

[pt] O objetivos desta dissertação é fazer uma análise de investimentos usando a teoria das Opções Reais de uma planta GTL. Está análise é a mais indicada, pois se verificam várias flexibilidades nesta planta em relação aos inputs (pode ser usado mais de um produto como matéria- prima) e em relação aos outputs (existem várias combinações possíveis de produção). Torna-se de grande importância neste caso saber calcular o valor destas opções e verificar se vale a pena ou não a construção de uma planta que possa usar como matéria prima mais de um produto e/ou que possa produzir mais de uma possível combinação de produção. A construção de uma planta que possua a possibilidade de trocar de insumo e/ou trocar a combinação de produção só será viável caso o valor criado pela flexibilidade seja maior do que o custo necessário para implementá-la (investimento adicional e custos operacionais extras). Sendo assim, o objetivo desta dissertação é calcular até quanto a Petrobras estaria disposta a pagar para ter uma planta que possua a opção de swicth use dos inputs e/ou outputs, o valor que ela teria que investir para usufruir desta flexibilidade, e através da diferença entre estes valores verificar se vale a pena ou não a construção da planta com flexibilidade de input e/ou output. / [en] The objective of this dissertation is to do a analysis of investiment using the real option theory for the plant GTL. This analysis is the best because there are many flexibilities in this plant in relation the inputs (the plant can operate with several inputs) and in relation the outputs (there are many possible combination of production). In this case is very important to know how to calculate the value of these options and to verify if it is worthwhile or not the construction of a plant that could use two inputs and/or is able to procuce several possible combinations of production. The construction of the plant that change the input abd /or can changer the production combination is viable if the value created by flexibility is large than the necessary cost to implement its (additional investiment and extra operational costs). So, the objective of this dissertation is to calculate until hen Petrobras would be avaible to pay in order to have a plant that has the option of swicth use of inputs and/or outputs, the value it would have to invest to use this flexibility, and through the difference between these values verify if is worthwhile or not the construction of the plant with the flexibility of input and/or output.

Neste trabalho estudamos um modelo estocástico com simetria Ising e dois estados absorventes em três dimensões com uma rede cúbica e em duas dimensões através de uma rede triangular. O estudo levou em conta cálculos de aproximação de campo médio e simulações de Monte Carlo. Os resultados mostraram que o modelo tem transição de segunda ordem de uma fase paramagnética para uma fase ferromagnética, uma transição da fase ferromagnética para uma fase absorvente, também de segunda ordem, e ainda uma transição de primeira ordem da fase paramagnética para a fase absorvente. No espaço de parâmetros as três linhas de transição se encontram no diagrama de fases em um ponto onde o modelo se comporta como o modelo do votante. / In this work we studied a stochastic model with ising symmetry and two simmetric absorbing configurations in a three-dimensional cubic lattice and in two dimensions using a triangular lattice. The study took into account simple mean-field approximations and Monte Carlo simulations. The results showed that the model has a second-order transition from a paramagnetic phase to a ferromagnetic phase and second-order transition from ferromagnetic phase to the absorbing one. A first-order phase transition from the paramagnetic phase to the absorbing phase is observed too. In the phase diagram the two second-order transition lines aproaches to the point where the model behaves like the voter model.

A presente pesquisa se refere à aplicação dos métodos estocásticos para estudar fenômenos críticos em modelos de sistemas classificados como desordenados que apresentam transição de fase do tipo-ordem desordem. Essa pesquisa é definida tanto no quadro teórico da Mecânica Estatística dos fenômenos críticos e transição de fase de equilíbrio e fora de equilibrio, com os recursos associados à análise de escala de tamanho finito quanto no quadro dos recursos aos processos estocásticos markovianos, descritos pela equação-mestra e associados a técnicas essencialmente numéricas como o método estocástico computacional de Monte Carlo. Na primeira etapa desta pesquisa, os modelos estudados são da classe denominada de votante majoritário. Eles são indexados pelo número z de vizinhos mais próximos com spin central, tem dois estados e são construidos em redes quadradas. A evolução dinâmica é dada pela regra da maioria junto com regradfe desempate. Eles não satisfazem a propriedade do principio do balanceamento detalhado, portanto, são classificados como descrevendo fenômenos fora do equilíbrio. Contudo, eles satisfazem a propriedade de simetria de inversão de sinal, o que os coloca teoricamente na classe de universalidade do modelo de Ising. Desta forma, a evolução dinâmica desses modelos é estudada com os recursos da equação mestra ou equação de evolução. No entanto, essa abordagem teórica é feita apenas na aproximação de campo médio, a qual fornece, na solução estacionária, os valores clássicos para os parametros relevantes. Em contrapartida, os valores numéricos exatos para os valores do ponto crítico e dos expoentes críticos, que são não clássicos, é dada por meio do recurso ao método de simulação computacional e à análise de escala de tamanho finito. Esses valores confirmam o resultado teórico quanto à classe de universalidade para cada modelo específico. Na sequência, estudam-se as propriedades dos modelos resultantes da combinação convexa do votante majoritário. Os resultados são semelhantes aos anteriores. Um resultado extra permitido por essas combinações convexa éa construção de uma relação contínua entre o valor crítico indutor da transição de fase e o número de vizinhos. Neste contexto foi apresentada uma solução para o problema do modelo mais simples desta classe de modelos. Com o modelo mais simples ilustram-se as condições universais de transição de fase, em particular o papel da dimensão do sistema. Na segunda etapa da pesquisa, cvonstrí-se, então, outra classe de modelos do votante que, por analogia com o modelo de Ising, tem como estado fundamental a fasse antiferromagnética: a classe dos modelos do votante minoritário. Essa classe de modelos possue as mesmas propriedades da classe de modelos do votante majoritário e por isso obtem-se os mesmos resultados. A analogia com o modelo de Ising é levada um pouco mais longe com a construção de um análogo aos modelo +-J: a construção da combinação convexa do votante majoritário com o minoritário. Para esse novo modelo constrói-se tanto o diagrama com as três fases, ferromagnética, paramagnética e antiferromagnética quanto as concentrações críticas que as distinguem. Não se obtém uma possível fase de vidro de spin. Uma vez que os modelos do votante são originalmente tidos como sistemas desordenados, comparam-se, para um mesmo modelo, resultados obtidos pela aplicação de dois diferentes métodos de tratar os modelos de sistemas desordenados: o método temperado-\"quenched\" - e o método recozido - \"annealed\". Na terceira etapa desta pesquisa e na mesma linha dos modelos estocásticos irreversíveis tratados anteriormente, estuda-se ainda outro modelo, classificado como jogo espacial nos sítios de uma rede quadrada. Simulações mostram que além de dois estados absorventes ha\'também a presença de um estado ativo definido por uma densidade finita de cooperadores e não cooperadores e que esse modelo se encontra na classe de universalidade do modelo de percolação direcionada. Nesta mesma etapa, mas, agora, no contexto da Mecânica sStatística de Equilíbrio, aborda-se o modelo de Ising quântico unidimensional com campo transverso por meio de simulação de Monte Carlo.Com o uso do método estiocástico e por meio da curva do colapso calculam-se os valores do ponto crítico e dos expoentes críticos desse modelo. / This research refers to the applications of the stochastic methods to the study of the critical phenomena in models of systems classified as disordered that undergo phase transition of the order-disorder kind. This research is defined as in the theoretical framework of the Statistical mechanics of the equilibrium and non-equilibrium of the critical phenomena and phase transition with the resources associated to the analysis of finite-size scale, as in the frame of the resources of markovian stochastic process described by the master equation associated with essentially numerical techniques such as stochastic computational method of Monte Carlo.l In this first stage of this research, the studied models belong to the class of the majority voter. They are described by a lattice with spins in each site with two states. The dynamic of these models is described by the majority rule together with a rule for solving problems of indecision. These models do not obey the principle of microscopic reversibility therefore they are classified as describing phenomena of non-equilibrium. However, they satisfy the property of \"up-down\" symmetry which make theoretically belong to the universality class of the Ising model. The mean field approach to the master equation is done and the exact value is pursued by the use of the method of the computational simulation with theuse of the analysis of finite-size scale. The results obtained for the critical exponents support the hypothesis of universality class of these models. There are constructions of the convex combination of these models. A question is raised about the simplest model and a possible solution is presented. There is a search for another kind of majority voter, but with an antiferromagnetic ground state, which leads to the minority voter. It is also to be classified in the same universality class. A natural unfold of this research is making the convex combination of the minority and majority voter models by analogy with the Ising model +- J and ask for the phase diagram class.Some results are also obtained by comparing the quenched and annealed approach to a same majority voter model. Finally, there are two more applications of these methods for obtaining critical point and critical exponents. The first refers to a model with absorbing state which is classified in the universality class of direct percolation. The second refers to a quantum model with transverse field.

Neste trabalho propomos o uso de um método Bayesiano para estimar o parâmetro de memória de um processo estocástico com memória longa quando sua função de verossimilhança é intratável ou não está disponível. Esta abordagem fornece uma aproximação para a distribuição a posteriori sobre a memória e outros parâmetros e é baseada numa aplicação simples do método conhecido como computação Bayesiana aproximada (ABC). Alguns estimadores populares para o parâmetro de memória serão revisados e comparados com esta abordagem. O emprego de nossa proposta viabiliza a solução de problemas complexos sob o ponto de vista Bayesiano e, embora aproximativa, possui um desempenho muito satisfatório quando comparada com métodos clássicos. / In this work we propose the use of a Bayesian method for estimating the memory parameter of a stochastic process with long-memory when its likelihood function is intractable or unavailable. Such approach provides an approximation for the posterior distribution on the memory and other parameters and it is based on a simple application of the so-called approximate Bayesian computation (ABC). Some popular existing estimators for the memory parameter are reviewed and compared to this method. The use of our proposal allows for the solution of complex problems under a Bayesian point of view and this proposal, although approximative, has a satisfactory performance when compared to classical methods.