[pt] A análise das ressonâncias internas em sistemas estruturais contínuos é uma das principais áreas de pesquisa no campo da dinâmica não linear. A ressonância interna entre dois modos de vibração ocorre quando a proporção de suas frequências naturais é um número inteiro. De particular importância, devido à sua influência na resposta estrutural, é a ressonância interna 1:1, geralmente associada às simetrias do sistema, a ressonância interna 1:2, devida às não linearidades quadráticas e a ressonância 1:3 decorrente de não linearidades cúbicas. A ressonância interna permite a transferência de energia entre os modos de vibração relacionados, levando geralmente a novos fenômenos com profunda influência sobre a estabilidade da resposta dinâmica. As cascas de revolução geralmente exibem ressonâncias internas devido à inerente simetria circunferencial e um denso espectro de frequência em sua faixa de frequências mais baixas. Isso pode levar não apenas a ressonâncias internas do tipo m:n, mas a múltiplas ressonâncias internas. Nesta tese é realizada a análise de múltiplas ressonâncias internas em cascas cilíndricas delgadas, em particular as ressonâncias internas de 1:1:1:1 e 1:1:2:2 são investigadas em detalhes, um tópico pouco explorado na literatura técnica. A investigação de ressonâncias internas em sistemas contínuos geralmente é realizada usando modelos discretos de baixa dimensão. Embora alguns trabalhos anteriores tenham investigado ressonâncias internas do tipo m:n em cascas cilíndricas, muitos resultados não são consistentes, uma vez que os modelos discretos derivados não consideram os acoplamentos modais devido a não linearidades quadráticas e cúbicas. Aqui, usando um procedimento de perturbação, expansões modais consistentes são derivadas para um número arbitrário de modos de interação, levando a modelos de baixa dimensão confiáveis. A precisão desses modelos é corroborada usando o método Karhunen-Loève. Finalmente, é bem sabido que pequenas imperfeições geométricas da ordem da espessura da casca têm uma forte influência na sua resposta não linear. No entanto, sua influência nas ressonâncias internas, instabilidade dinâmica e transferência de energia é desconhecida. Assim, a influência de diferentes tipos de imperfeição modal é devidamente considerada na presente análise. Utilizando os modelos discretos aqui derivados, é apresentada uma análise detalhada das bifurcações, utilizando técnicas de continuação e o critério de estabilidade de Floquet, esclarecendo a importância das ressonâncias internas nas vibrações não lineares e instabilidades de cascas cilíndricas. Os resultados também confirmam que a forma e a magnitude das imperfeições geométricas iniciais têm uma influência profunda nos resultados, permitindo ou impedindo a transferência de energia entre os modos ressonantes considerados. / [en] The analysis of internal resonances in continuous structural systems is one of the main research areas in the field of nonlinear dynamics. Internal resonance between two vibration modes occur when the ratio of their natural frequencies in an integer number. Of particular importance, due to its influence on the structural response, is the 1:1 internal resonance, usually associated with system symmetries, the 1:2 internal resonance, due to quadratic nonlinearities, and the 1:3 resonance arising from cubic nonlinearities. The internal resonance enables the energy transfer between the related vibration modes, leading usually to new phenomena with profound influence on the stability of the dynamic response. Shells of revolution usually exhibit internal resonances due to the inherent circumferential symmetry and a dense frequency spectrum in their lower frequency range. This may lead not only to m:n internal resonances, but also multiple internal resonances. In this thesis, the analysis of multiple internal resonances in slender cylindrical shells is conducted, in particular 1:1:1:1 and 1:1:2:2 internal resonances are investigated in detail, a topic rarely found in the technical literature. The investigation of internal resonances in continuous systems is usually conducted using low dimensional discrete models. Although some previous works have investigated m:n internal resonances in cylindrical shells, many results are not consistent since the derived discrete models do not consider the modal couplings due to quadratic and cubic nonlinearities. Here, using a perturbation procedure, consistent modal expansions are derived for an arbitrary number of interacting modes, leading to reliable low dimensional models. The accuracy of these models is corroborated using the Karhunen-Loève method. Finally, it is well known that small geometric imperfections of the order of the shell thickness has a strong influence on the shell nonlinear response. However, their influence on internal resonances, dynamic instability and energy transfer is largely unknown. Thus, the influence of different types of modal imperfection is properly considered in the present analysis. Using the derived discrete models, a detail bifurcation analysis, using continuation techniques and Floquet stability criterion, is presented, clarifying the importance of internal resonances on the nonlinear vibrations and instabilities of cylindrical shells. The results also confirm that the form and magnitude of initial geometric imperfections has a profound influence on the results enabling or preventing the energy transfer among the considered resonant modes.

[pt] Em décadas recentes, renovou-se o interesse no campo da estabilidade estrutural em função das novas aplicações envolvendo estruturas inteligentes e ajustáveis, micro e nano componentes e a mecânica dos metamateriais. Em muito destas estruturas deseja-se um comportamento multiestável, que pode ser obtido por materiais tradicionais ou novos materiais capazes de sofrer grandes deformações elásticas. Neste trabalho o comportamento não linear, estabilidade e vibrações de uma treliça neo-Hookeana que exibe comportamento multiestável é investigada. Neste caso, a teoria de grandes deformações é essencial para modelar as barras da treliça. Muitos trabalhos na literatura investigam a estabilidade de treliças, porém são restritos ao comportamento linear dos materiais. No presente trabalho uma análise paramétrica detalhada de treliças abatidas e não abatidas submetidas à carga estática vertical ou horizontal é realizada, considerando a elasticidade em seu domínio não linear completo para derivar as equações não lineares de equilíbrio e movimento. Imperfeições de carga e geométricas são consideradas. Assim, os caminhos de equilíbrio são obtidos, sua estabilidade é investigada utilizando o princípio da energia potencial mínima, frequências naturais e conceito de bacias de atração. Os resultados demonstram que a presença simultânea da não linearidade do material e geométrica dá origem a novos caminhos de equilíbrio que não são esperados para os materiais elásticos lineares, resultando em várias soluções estáveis e instáveis coexistentes e em uma complexa superfície de energia potencial, esclarecendo a influência do modelo neo-Hookeano nos resultados. Os presentes resultados poderão ajudar no desenvolvimento de novas aplicações na engenharia onde a multiestabilidade é desejada. / [en] Recent decades have seen a renewed interest in the field of structural stability due to new applications involving smart and deployable structures, micro- and nanocomponents and mechanical metamaterials, among others. In many of these structures multistable behaviour is desirable, which can be accomplished by traditional and new materials capable of undergoing large elastic deformations. In this paper the nonlinear behaviour, stability and vibrations of a hyperelastic neo-Hookean truss exhibiting multistable behaviour is investigated. In such case, the large deformation theory is essential to model the truss members. Most papers in the literature dealing with this problem is however restricted to linear material behaviour. In the present work a detailed parametric analysis of shallow and steep trusses under horizontal or vertical loads, considering elasticity in the fully non-linear range is employed to derive the nonlinear equilibrium and motion equations. Then, all equilibrium paths are obtained and their stability is investigated using the minimum energy principle, natural frequencies and the basins of attraction concept. Load and geometric imperfections are considered. The results show that the simultaneous presence of geometric and materials nonlinearities lead to new equilibrium paths which are not expected for linear elastic materials, resulting in several coexisting stable and unstable solutions and a complex potential energy landscape, clarifying the influence of the constitutive hyperelastic model on the results. The present results may help the development of new engineering applications where multistability is wanted.

[pt] Nesta dissertação estuda-se a flambagem e o comportamento pós-crítico inicial de pórticos planos através da formulação de elementos finitos com graus de liberdade adicionais para posterior implementação no programa de análise FTOOL. Realizaram-se análises linearizadas para a determinação das cargas críticas clássicas e modos de flambagem de colunas com diferentes condições de contorno. Em um segundo momento, realizaram-se testes numéricos no sentido de prever a estabilidade do caminho pós-crítico (sensibilidade a imperfeições) de algumas estruturas cujos resultados analíticos são conhecidos. Finalmente, criaram- se alguns exemplos no FTOOL para comprovar a sua eficácia na obtenção de cargas críticas e avaliação do comportamento pós-crítico inicial de pórticos planos. Utilizou-se o pórtico de Roorda como exemplo para a detecção da sensibilidade a imperfeições, devido à sua simplicidade e ao conhecimento dos seus resultados analíticos. / [en] The buckling and post-buckling behavior of portal frames are studied by the formulation of finite elements with additional degrees of freedom in order to implement a new routine for obtaining critical loads in FTOOL, a structural analysis educational interactive system. Linearized analyses were performed in order to obtain critical loads and buckling modes for columns with different boundary conditions. Later, numerical tests were done in order to predict the stability of the post- critical path (sensitivity to imperfections) of some structures which analytical results are known. Finally, some examples were modeled in FTOOL to verify its accuracy in obtaining critical loads of portal frames. Roorda s frame was used as an example for the detection of the sensitivity to imperfections, based on its simplicity and knowledge of its analytical results.