[pt] O objetivo desta dissertação foi o de analisar as três demonstrações da existência de Deus nas Meditações Metafísicas de René Descartes. Ela contém três capítulos. No primeiro, tratamos de forma geral do método de Descartes, tendo a intenção de mostrar que este mesmo método será aplicado às Meditações Metafísicas influenciando em grande medida as provas da existência de Deus. No segundo capítulo, já no interior das Meditações Metafísicas, nos detemos na análise da dúvida metódica e do cogito. Estes dois temas são os antecedentes fundamentais para as provas da existência de Deus, na medida em que, através da dúvida, é vedado o recurso ao conhecimento dos seres materiais e à própria Natureza e, através do cogito, é descoberta a única via possível para se chegar a Deus. No terceiro e último capítulo, apresentamos a primeira, a segunda e a terceira prova da existência de Deus. Em todas essas três provas o nó da questão foi a aplicação do principio de causalidade especificado na forma da causalidade eficiente. Na primeira prova, Deus é inferido como causa eficiente de sua idéia presente no intelecto humano. Na segunda, Deus é provado como causa do próprio intelecto que tem sua idéia. Por fim, na última prova, Deus é concebido como causa formal e eficiente de si mesmo. / [en] The objective of this dissertation was to analyze three demonstrations of the existence of God in the Metaphysical Meditations of René Descartes. It contains three chapters. In the first one, we deal with general form of the method of Descartes, having the intention to show that this method will be applied to the Metaphysical Meditations influencing significantly on the tests of the existence of God. In the second chapter, where we are already talking about the Metaphysical Meditations, we withhold them in the analysis of the methodical doubt and cogitation. These two subjects are the basic antecedents for the tests of the existence of God, while through the doubt the resource to the knowledge of material beings and to the proper Nature is forbidden, and through the cogitation is discovered the only possible way to reach the God. In the third and last chapter, we present the first one, the second and third test of the existence of God. In all these three tests the main question was the application of beginning of specified cause to the form of the efficient cause. In the first test, God is inferred as the efficient cause of its present idea in the human intellect. In second, God is proven as a cause of the proper intellect that has its idea. Finally, in the last test, God is conceived as a formal and efficient cause of itself.

[pt] Esta dissertação tem o objetivo de aplicar os conceitos e ferramentas da Análise Real e Álgebra Linear num estudo sobre a teoria de existência, unicidade e estabilidade de soluções de sistemas de equações diferenciais ordinárias, considerando sistemas gerais parametrizados, lineares e não-lineares. / [en] This dissertation aims to apply the concepts and tools of Real Analysis and Linear Algebra to the theory of existence, uniquiness and stability of solutions of ordinary differential equations systems, considering general parametric, linear and non-linear systems.

[pt] Neste trabalho examinamos equações completamente não-lineares em dois contextos distintos. A princípio, estudamos jogos de campo médio completamente não-lineares. Aqui, examinamos ganhos de regularidade para as soluções do problema, existência de soluções, resultados de relaxação e aspectos particulares de um example explícito. A segunda metade da tese dedica-se à regularidade ótima das soluções de um modelo completamente não-linear que degenera-se com respeito ao gradiente das soluções. A pergunta fundamental subjacente a ambos os tópicos diz respeito aos efeitos da elipticidade sobre propriedades intrínsecas das soluções de equações não-lineares. Mais precisamente, no caso dos jogos de campo médio, a elipticidade parece magnificada pelos efeitos do acoplamento, enquanto no caso dos problemas degenerados, esta quantidade colapsa em sub-regiões do domínio, dando origem a delicados fenômenos. Nossa análise inclui um breve contexto da inserção do trabalho. / [en] In this thesis, we examine fully nonlinear problems in two distinct contexts. The first part of our work focuses on fully nonlinear mean-field games. In this context, we examine gains of regularity, the existence of solutions, relaxation results, and particular aspects of a one-dimensional problem. The second half of the thesis concerns a (sharp) regularity theory for fully nonlinear equations degenerating with respect to the gradient of the solutions. The fundamental question underlying both topics regards the effects of ellipticity on the intrinsic properties of solutions to nonlinear equations. To be more precise, in the case of mean-field game systems, ellipticity seems to be magnified through the coupling structure. On the other hand, in the degenerate setting, ellipticity collapses, giving rise to intricate regularity phenomena. Our analysis is preceded by some context on both topics.

[pt] Estudamos duas classes de equações diferenciais parciais, nomeadamente: uma equação de transferência radiativa e uma equação do calor duplamente não-linear. O primeiro modelo envolve uma equação não-local, na presença de um operador de espalhamento. Estuda-se a boa colocação do problema no semi-plano, no regime peaked. Prova-se um lema de averaging, que produz regularidade interior para o problema, além de regularização fracionária para as derivadas temporais da solução. O segundo conjunto de resultados da tese trata de uma equação de Trudinger com graus de não-linearidade distintos. Aproxima-se este problema pela p-equação do calor e importa-se regularidade da última para a primeira. Como consequência, mostra-se um resultado de regularidade melhorada no contexto não homogêneo. / [en] We consider two classes of partial differential equations. Namely: the radiative transfer equation and a doubly nonlinear model. The former concerns a nonlocal problema, driven by a scattering operator. We study the well-posedness of solutions in the peaked regime, for the half-space. A new averaging lemma yields interior regularity for the solutions and improved fractional regularization for the time derivatives. The second model we examine is a Trudinger equation with distinct nonlinearities degrees. Inspired by ideas launched by L. Caffarelli, we resort to approximation methods and prove improved regularity results for the solutions. The strategy is to relate our equation with p-caloric functions.

[pt] Esta tese tem o intuito do estudo da existência, não existência e estimativas a priori de soluções não negativas de alguns tipos de problemas elípticos degenerados coercivos e não coercivos com um termo adicional dependendo do gradiente. Dentre outras coisas, obtemos condições integrais generalizadas tipo Keller-Osserman para a existência e não existência de soluções. Também mostramos que condições adicionais e diferentes são necessárias quando p é maior ou igual à 2 ou p é menor ou igual à 2, devido ao caráter degenerado do operador. As estimativas a priori são obtidas para super-soluções e soluções de EDPs elípticas superlineares o sistemas de tais tipos de equações em forma divergente com diferentes operadores e não linearidades. Além do mais, obtemos extensões até a fronteira de algumas desigualdades de Harnack fracas e lemas quantitativos de Hopf para operadores elípticos como o p-Laplaciano. / [en] This thesis concerns the study of existence, nonexistence and a priori estimates of nonnegative solutions of some types of degenerate coercive and non coercive elliptic problems involving an additional term which depends on the gradient. Among other things, we obtain generalized integral conditions of Keller-Osserman type for the existence and nonexistence of solutions. Also, we show that different conditions are needed when p is higher or equal to 2 or p is less than or equal to 2, due to the degeneracy of the operator. The uniform a priori estimates are obtained for supersolutions and solutions of superlinear elliptic PDE or systems of such PDE in divergence form that can contain different operators and nonlinearities. We also give full boundary extensions to some half Harnack inequalities and quantitative Hopf lemmas, for degenerate elliptic operators like the p-Laplacian.