[pt] Métodos da teoria de martingais tem sido amplamente utilizados em matemática nos últimos decênios. Mais recentemente, eles também vêm sendo usados em matemática atuarial. Nesta tese discutimos um exemplo de aplicação desta metodologia na demonstração do teorema clássico de Cramér-Lundberg para o problema da ruína. / [en] In the last decades martingale theory tools have been extensively in mathematical finance. More recently, they have also been used in actuarial mathematics. In this thesis we illustrate this methodology in the proof of the classical Lundberg-Crámer theorem for the ruin problem.

[pt] O trabalho tem como objetivo ser uma introdução ao estudo de mercados financeiros tratados em tempo discreto com horizonte finito, bem como a dinâmica dos ativos financeiros principais. Descrevemos os tipos de ativos negociados em nosso mercado, dando enfoque aos contratos. Elaboraremos a hipótese central do modelo, a ausência de arbitragem e assim mostraremos como poderemos encontrar um preço correto ou então apresentaremos um intervalo de preços para os contratos. Posteriormente, mostraremos resultados gerais relativos à correta precificação de contratos, usando para isso os instrumentos de processos estocásticos e martingais. Apresentaremos alguns exemplos a título de ilustração. / [en] The dissertation aims to be an introduction to the study of financial markets in discrete time with finite horizon, as well as the dynamics of the main financial assets. We describe the types of assets traded in the market, focusing on contracts. We will elaborate the central hypothesis of the model, the absence of arbitrage and thus show how we can find a correct price or, at least, a range of prices of the contracts. Subsequently, we will show general results regarding how to find correct prices for contracts, using the machinery of stochastic processes and martingales.As an illustration, we present some examples.

[pt] Na primeira parte dessa tese, estudamos o desvio no número de triângulos com respeito à média em ambos os modelos de grafos aleatórios G(n,m) e G(n, p). Focamos no caso em que o grafo aleatório é esparso, no qual a densidade de arestas vai para zero quando o número de vértices cresce para o infinito. Nosso foco também reside no caso de desvios moderados, i.e., aqueles cuja ordem está entre o desvio padrão e a média. Além disso, também derivamos o mesmo tipo de resultado para cerejas (caminhos de comprimento dois). Na segunda parte dessa tese, estudamos a desigualdade de Freedman. Essa desigualdade fornece limitantes para a probabilidade de desvio de um martingal limitado usando sua variância condicional. No nosso trabalho, obtemos uma versão mais forte da desigualdade de Freedman, impondo condições adicionais de simetria nos incrementos do processo martingal. / [en] In the first part of this thesis, we study the deviation of the number of triangles with respect to its mean in both the random graph models G(n,m) and G(n, p). We focus on the case where the random graph is sparse, in which the edge density goes to zero as the number of vertices increases to infinity. Also, our focus is in the case of moderate deviations, i.e., those of order in between the standard deviation and the mean. In addition, we derive the same kind of results for cherries (paths of length two). In the second part of this thesis, we study Freedman s inequality. This inequality gives bounds on the probability of the deviation of a bounded martingale using its conditional variance. In our work, we obtain a strengthening of Freedman s inequality, under additional symmetry conditions on the increments of the martingale process.

[pt] Nesta dissertação fazemos uma exposição do Teorema Fundamental do Apreçamento para modelos em tempo discreto, o qual afirma que, sob certas hipóteses, a ausência de oportunidades de arbitragem equivale a existência de uma medida de martingal equivalente. Discutimos inicialmente o resultado no caso de espaços amostrais finitos e posteriormente o caso geral, através da técnica da Transformada de Esscher. / [en] This dissertation is concerned with the Fundamental Asset Pricing Theorem for discrete-time models which asserts that, under suitable hypothesis, absence of arbitrage opportunities is equivalent to the existence of an equivalent martingale measure. We first discuss the case of finite sample spaces and then the general case, by the use of the Esscher Transform technique.

[pt] Esta dissertação é dedicada ao estudo das taxas de convergência no Teorema Central do Limite para Martingais. Começamos a primeira parte da tese apresentando a Teoria de Martingais, introduzindo o conceito de esperança condicional e suas propriedades. Desta forma poderemos descrever o que é um Martingal, mostraremos alguns exemplos, e exporemos alguns dos seus principais teoremas. Na segunda parte da tese vamos analisar o Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias, apresentando os conceitos de função característica e convergência em distribuição, que serão utilizados nas provas de diferentes versões do Teorema Central do Limite. Demonstraremos três formas do Teorema Central do Limite, para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, a de Lindeberg-Feller e para uma Poisson. Após, apresentaremos o Teorema Central do Limite para Martingais, demonstrando uma forma mais geral e depois enunciaremos uma forma mais específica a qual focaremos o resto da tese. Por fim iremos discutir as taxas de convergência no Teorema Central do Limite, com foco nas taxas de convergência no Teorema Central do Limite para Martingais. Em particular, exporemos o resultado de [4], o qual determina, até uma constante multiplicativa, a dependência ótima da taxa de um certo parâmetro do martingal. / [en] This dissertation is devoted to the study of the rates of convergence in the Martingale Central Limit Theorem. We begin the first part presenting the Martingale Theory, introducing the concept of conditional expectation and its properties. In this way we can describe what a martingale is, present examples of martingales, and state some of the principal theorems and results about them. In the second part we will analyze the Central Limit Theorem for random variables, presenting the concepts of characteristic function and the convergence in distribution, which will be used in the proof of various versions of the Central Limit Theorem. We will demonstrate three different forms of the Central Limit Theorem, for independent and identically distributed random variables, Lindeberg-Feller and for a Poisson distribution. After that we can introduce the Martingale Central Limit Theorem, demonstrating a more general form and then stating a more specific form on which we shall focus. Lastly, we will discuss rates of convergence in the Central Limit Theorems, with a focus on the rates of convergence in the Martingale Central Limit Theorem. In particular, we state results of [4], which determine, up to a multiplicative constant, the optimal dependence of the rate on a certain parameter of the martingale.

[pt] Nesta tese de Doutorado, nós estudamos cotas para as probabilidades de desvio de uma variável aleatória X que conta o número de arestas de um hipergrafo induzido por um subconjunto aleatório de m elementos do seu conjunto de vértices. Nós consideramos dois contextos: o primeiro corresponde a hipergrafos que possuem certo tipo de regularidade, ao passo que o segundo lida com hipergrafos que são, em algum sentido, longe de serem regulares. É possível aplicar estes resultados a estruturas discretas, como o conjunto de progressões aritméticas de tamanho k no grupo aditivo de inteiros módulo um primo e também no conjunto dos N primeiros inteiros positivos. Além disso, também deduzimos resultados para o caso em que o subconjunto aleatório é gerado incluindo cada vértice do hipergrafo independentemente com probabilidade p. / [en] In this Ph.D. thesis, we study bounds for the deviation probabilities of a random variable X that counts the number of edges of a hypergraph induced by a random m–element subset of its vertex set. We consider two contexts: the first corresponds to hypergraphs with some kind of regularity, whereas the second addresses hypergraphs that are in some sense far from being regular. It is possible to apply these results to discrete structures such as the set of k–term arithmetic progressions in the additive group of integers modulo a prime and in the set of the first N positive integers. Furthermore, we also deduce results for the case when the random subset is generated by including each vertex of the hypergraph independently with probability p.

[pt] Nessa dissertação vamos introduzir, elaborar e combinar ideias da Teoria de martingais, a Teoria de grafos aleatórios e o Teorema Central do Limite. Em particular, veremos como martingais podem ser usados para representar desvios de contagem de subgrafos. Usando esta representação e o Teorema Central do Limite para martingais, conseguiremos demonstrar um Teorema Central do Limite para a contagem de subgrafos livres de triângulos no grafo aleatório Erdos-Rényi G(n,m) . Além disso, nossa demonstração também nos trará informação sobre a taxa de convergência, mostrando que a distribuição dos desvios converge rapidamente para a distribuição normal. / [en] In this dissertation we shall introduce, elaborate and combine ideas from martingale Theory, random graph Theory and the Central Limit Theorem. In particular, we will see how martingales can be used to represent deviations of subgraph counts. Using this representation and the Central Limit Theorem for martingales, we will be able to demonstrate a Central Limit Theorem for the triangle-free subgraph count in the Erdos-Rényi G(n,m) random graph. Furthermore, our proof also gives us information about the rate of convergence, showing that the distribution of deviations converges rapidly to the normal distribution.

[pt] Nesta dissertação, discutiremos o método de equações diferenciais de Wormald, que possui muitas aplicações recentes em Combinatória. Esse método explora a interação entre a matemática discreta e contínua e pode ser usado para provar concentração em uma grande quantidade de processos aleatórios discretos. Em particular, estudaremos o processo livre de H e o algoritmo guloso aleatório para gerar conjuntos independentes em hipergrafos. Esses processos tem sido amplamente estudados nos últimos anos, culminando com o recente grande avanço de Tom Bohman e Patrick Bennett em 2016, que obtiveram uma cota inferior para hipergrafos com certas condições de densidade. Nós não só reproduzimos sua demonstração mas também obtemos um resultado mais forte (expandindo seu resultado para hipergrafos mais esparsos) e analisamos o caso de hipergrafos lineares, com o intuito de progredir rumo a uma conjectura de Johnson e Pinto sobre o processo livre de Q2 no hipercubo Qd. / [en] In this dissertation, we will discuss Wormald s differential equations method, which has recently had many intriguing applications in Combinatorics. This method explores the interplay between discrete and continuous mathematics and it can be used to prove concentration in a number of discrete random processes. In particular, we will discuss the H-free process and the random greedy algorithm to obtain independent sets in hypergraphs. These processes had been extensively studied through the past few years, culminating in the recent breakthrough of Tom Bohman and Patrick Bennett in 2016, who obtained a lower bound for hypergraphs with certain density conditions. We not only reproduce the proof given by them but also obtain a stronger result (expanding their result to sparser hypergraphs) and we analyze the case of linear hypergraphs, in order to make progress towards a conjecture by Johnson and Pinto concerning the Q2-free process in the hypercube Qd.

[pt] O estudo de desvios, e em particular grandes desvios, tem uma história longa na teoria de probabilidade. Nas últimas décadas muitos artigos consideraram essas questões no contexto de subgrafos de grafos aleatórios G(n, p) e G(n, m). Esta dissertação considera a cauda inferior para o número de triângulos no grafo aleatório G(n, m). Duas abordagens estão consideradas: Martingales, a partir artigo de Christina Goldschmidt, Simon Griffiths e Alex Scott; e Teoria Espectral de Grafos, a partir do artigo de Joe Neeman, Charles Radin e Lorenzo Sadun. Essas duas abordagens conseguem encontrar o comportamento da cauda em dois regimes diferentes. Na dissertação discutiremos a visão geral do artigo de Goldschmidt, Griffiths e Scott, e discutiremos em detalhes o artigo de Neeman, Radin e Sadun. Em particular, exploraremos a conexão entre a cauda inferior do número de triângulos e o comportamento dos autovalores mais negativos da matriz de adjacência. Veremos que a contagem tende a depender, essencialmente, do autovalor mais negativo. / [en] The study of deviations, and in particular large deviations, has a long history in Probability Theory. In recent decades many articles have considered these questions in the context of subgraphs of the random graphs G(n, p) and G(n, m). This dissertation considers the lower tail for the number of triangles in the random graph G(n, m). Two approaches are considered: Martingales, based on the article of Christina Goldschmidt, Simon Griffiths and Alex Scott; and Spectral Graph Theory, based on the article of Joe Neeman, Charles Radin and Lorenzo Sadun. These two approaches manage to find the behavior of the tail in two different regimes. In this dissertation we give an overview of the article of Goldschmidt, Griffiths and Scott, discuss in detail the article of artigo Neeman, Radin and Sadun. In particular, we shall explore the connection between the lower tail of the number of triangles and the behavior of the most negative eigenvalues of the adjacency matrix. We shall see that the triangle count tends to especially depend on the most negative eigenvalue.