Le comportement de l'acier est significativement différent à des températures élevées par rapport à la température ambiante. Avec l'augmentation de la température, la relation contrainte-déformation devient non linéaire et la résistance et la rigidité de l'acier diminuent. Les normes de conception au feu de l'acier existantes ne parviennent pas à prédire avec précision la résistance à des températures élevées en suivant les mêmes approches de conception à température ambiante avec de petites modifications. Cette recherche vise à proposer une approche de conception innovante des profilés creux en acier en situation d'incendie au moyen du Overall Interaction Concept (O.I.C.). Le Overall Interaction Concept (O.I.C.) est basé sur l'interaction résistance-instabilité en utilisant un rapport d'élancement généralisé et s'est avéré plus précis et cohérent que les normes actuelles. Un modèle d'éléments finis a été développé pour étudier le comportement des sections carrées et rectangulaires en acier à haute température. La précision du modèle a été confirmée par la validation avec des résultats expérimentaux. Le modèle validé a été utilisé pour effectuer des études paramétriques incluant différentes dimensions géométriques, températures et cas de charge. Les résultats des études paramétriques ont ensuite été utilisés pour identifier le paramètre de conception principal et proposer O.I.C. équations en situation d'incendie. Pour présenter un meilleur niveau de précision et de cohérence de l'O.I.C. propositions, leur performance a été comparée aux approches actuelles de conception anti-incendie, y compris les normes européennes, américaines et canadiennes. / The behavior of steel is significantly different at elevated temperatures compared to the ambient temperature. With increasing temperature, the stress-strain relationship gets nonlinear and the strength and stiffness of steel reduce. Existing steel fire design standards fail to accurately predict the resistance at high temperatures by following the same design approaches at room temperature with small modifications. This research is aimed to propose an innovative design approach for steel hollow sections in fire situations by means of the Overall Interaction Concept (O.I.C.). The Overall Interaction Concept (O.I.C.) is based on the resistance-instability interaction using a generalized slenderness ratio and has been proved to be more accurate and consistent than the current standards. A finite element (F.E.) model was developed to study the behavior of steel square and rectangular sections at high temperatures. The accuracy of the model was confirmed through validation with experimental results. The validated model was used to perform parametric studies including different geometrical dimensions, temperatures, and load cases. The results of the parametric studies were then used to identify the leading design parameter and propose O.I.C. equations in fire situations. To exhibit a better level of accuracy and consistency of the O.I.C. proposals, their performance was compared to the current fire design approaches including European, American, and Canadian Standards.

La réparation des structures en béton est en plein essor. Utilisées majoritairement pour pallier à des défaillances d'ordre esthétique et fonctionnel, les réparations peuvent compenser des dysfonctions structurales. Cependant, les connaissances sur la participation des réparations au comportement structural des ouvrages sont majoritairement empiriques. L'objectif principal de ce projet est de donner une base scientifique fiable permettant de choisir des matériaux et des techniques de réparation pour des éléments structuraux chargés axialement comme les colonnes. Plus spécifiquement, le projet est approché selon une utilisation combinée de la modélisation et de l'expérimentation. Le but est ainsi d'évaluer la distribution de la charge à l'intérieur de la colonne (substrat + réparation) en faisant varier les conditions aux limites (préchargement, géométrie de la réparation) pour analyser l'influence des propriétés de base des matériaux de réparation (rigidité) sur la répartition des contraintes. Ainsi, dans la première phase du projet, une analyse numérique a été réalisée pour examiner l'influence des principaux paramètres (taille de la réparation, type de béton, épaisseur de la réparation) et pour guider le plan expérimental. Dans la seconde phase du projet, 36 colonnes ont été fabriquées en laboratoire et réparées par la suite avec cinq différents matériaux de réparation choisis principalement pour leur rigidité. Une fois instrumentées, les colonnes ont été testées sur une presse asservie hydrauliquement. L'analyse qui s'ensuit révèle une concordance des résultats numériques et expérimentaux. Les conclusions principales de l'étude montrent que le type de transfert de charge vers la réparation influence le comportement mécanique du système réparé. En effet, la rigidité de la réparation semble être un paramètre influent pour les réparations en contact uniquement par l'adhérence avec le support. Pour ce type de réparation, les réparations rigides et épaisses sont défavorables sur le comportement mécanique du système global. Mots clés : Béton, capacité structurale, colonne, compression, MEF, propriétés mécaniques, réparation

Ce travail présente une modélisation rapide d’ordre élévé capable de modéliser une configuration rotorique en cage complète ou en grille, de reproduire les courants de barre et tenir compte des harmoniques d’espace. Le modèle utilise une approche combinée d’éléments finis avec les circuits-couplés. En effet, le calcul des inductances est réalisé avec les éléments finis, ce qui confère une précision avancée au modèle. Cette méthode offre un gain important en temps de calcul sur les éléments finis pour des simulations transitoires. Deux outils de simulation sont développés, un dans le domaine du temps pour des résolutions dynamiques et un autre dans le domaine des phaseurs dont une application sur des tests de réponse en fréquence à l’arrêt (SSFR) est également présentée. La méthode de construction du modèle est décrite en détail de même que la procédure de modélisation de la cage du rotor. Le modèle est validé par l’étude de machines synchrones: une machine de laboratoire de 5.4 KVA et un grand alternateur de 109 MVA dont les mesures expérimentales sont comparées aux résultats de simulation du modèle pour des essais tels que des tests à vide, des courts-circuits triphasés, biphasés et un test en charge. / This work presents a fast high-order model able to model a rotor configuration in full cage or grid, reproduce bar currents and consider the space harmonics. The model is based on a Combination of Finite Element method and Coupled Circuits. Indeed, the calculation of inductances is performed with magnetostatic finite element resolutions which gives to the model an advanced accuracy.This method offers a significant gain in computing time on finite element for transient simulations. Two simulation tools are developed, one in time domain for dynamic resolutions and another in phasor domain whose application on StandStill Frequency response (SSFR) is also presented. The model construction method is described in detail as well as the modeling procedure of the rotor circuit. The model is validated by the study of synchronous machines: a laboratory machine of 5.4 KVA and a large hydrogenerator of 109 MVA whose experimental measurements are compared to the model simulation results for tests such as no-load, three-phase and two-phase short circuit and also a load test.

À l’heure actuelle, les écoulements à deux fluides non miscibles jouent un rôle très important dans plusieurs domaines, que ça soit en science ou en ingénierie. Leur complexité est tellement élevée que les modèles actuels ne permettent de résoudre que des cas particuliers ou simplifiés avec un degré de précision qui demeurent souvent plutôt modeste. Une nouvelle approche numérique parait être une nécessité pour capturer la complexité physique du phénomène. Pour ce faire nous avons besoin d’outils robustes. Au niveau de l’interface de séparation entre les deux fluides non miscibles, les variables physiques sont discontinues, ce qui pose un défi majeur dans la description des variables et des conditions aux limites à l’interface. Le fait que les densités et les viscosités de chaque fluide soient différentes de part et d’autre de l’interface donne naissance à des défauts et des impuretés dans le champ des vitesses, ce qu’on appelle une discontinuité faible. Pour sa part, l’existence de la force de tension superficielle au niveau de l’interface crée une discontinuité sur le champ de pression, ce qu’on appelle une discontinuité forte. Un autre grand problème se pose au niveau de l’étude numérique du problème, où les méthodes numériques classiques ont une précision assez limitée dans ce genre de situation. L’objectif de ce travail est de fournir une étude complète de la dynamique de l’interface entre deux fluides non miscibles à l’aide d’outils mathématiques, physiques et numériques robustes. D’abord, une étude analytique du problème a été faite où l’équation de Navier-Stokes et les conditions de saut sur les variables physiques au niveau de l’interface de séparation entre les fluides ont été prouvées en détail. Pour traiter les discontinuités, nous avons discrétisé nos variables à l’aide de la méthode XFEM. Dû aux larges distorsions rencontrées dans ce genre d’écoulement, nous avons utilisé l’approche Eulérienne, pour corriger les oscillations des solutions dues aux choix du système de coordonnées nous avons utilisé les techniques de stabilisation SUPG/PSPG. Le traitement de la courbure des interfaces K été fait à l’aide de l’opérateur Laplace Beltrami et le suivi d’interface à l’aide de la méthode ¨Level-set¨. Pour le traitement des conditions de saut au niveau de l’interface la méthode Nitsche est développée dans différents contextes. Après avoir développé un modèle physique et mathématique dans les premières parties de notre travail, nous avons fait une étude numérique à l’aide de la plateforme de calcul FEniCS, qui est une plateforme de développement en langage C++ avec une interface Python. Un code de calcul a été développé dans le cas des écoulements de deux fluides non miscibles avec les modèles physiques et les outils mathématiques développés dans les sections précédentes. / The two-phase flow problems have an important role in the multitude of domains in science and engineering. Their complexity is so high that the actual models can solve only particular or simplified cases with a certain degree of precision. A new approach is a necessity to understand the evolution of new ideas and the physical complexity in this kind of flow, to contribute to the study of this field. A good study requires solid and robust tools to have performing results and a maximum of efficacy. At the interface of separation between the two immiscible fluids, the physical parameters are discontinuous, which gives us difficulties for the description of the physical variables at the interface and boundary conditions. The fact that the density and the viscosity are discontinuous at the interface creates kinks in the velocity, which represent a weak discontinuity. The existence of the surface tension at the interface create a discontinuity for the pressure field, it represents a strong discontinuity. The main objective of this work is to make a complete study based on strong and robust physical, mathematical and numerical tools. A strong combination, capable of capturing the physical aspect of the interface between the two fluids with a very good precision. Building such a robust, cost effective and accurate numerical model is challenging and requires lots of efforts and a multidisciplinary knowledge in mathematics, physics and computer science. First, an analytical study was made where the one fluid model of the Navier-Stokes equation was proved from Newton’s laws and jump conditions at the interface was proved and detailed analytically. To treat the problem of discontinuity, we used the XFEM method to discretize our discontinuous variables. Due to the large distortion encountered in this kind of fluid mechanic problems, we are going to use the Eulerian approach, and to correct the oscillation of solutions we will use the SUPG/PSPG stabilization technic. The treatment of the interface curvature k was done with the Laplace Beltrami operator and the interface tracking with the Level-set method. To treat the jump conditions with a very sharp precision we used the Nitsche’s method, developed in different cases. After building a strong mathematical and physical model in the first parts of our work, we did a numerical study using the FEniCS computational platform, which is a platform of computational development based on C++ with a Python interface. A numerical code was developed in this study, in the case of two-phase flow problem, based on the previous mathematical and physical models detailed in previous sections.

La modélisation de la cryolite, utilisée dans la fabrication de l’aluminium, implique plusieurs défis, notament la présence de discontinuités dans la solution et l’inclusion de la difference de densité entre les phases solide et liquide. Pour surmonter ces défis, plusieurs éléments novateurs ont été développés dans cette thèse. En premier lieu, le problème du changement de phase, communément appelé problème de Stefan, a été résolu en deux dimensions en utilisant la méthode des éléments finis étendue. Une formulation utilisant un multiplicateur de Lagrange stable spécialement développée et une interpolation enrichie a été utilisée pour imposer la température de fusion à l’interface. La vitesse de l’interface est déterminée par le saut dans le flux de chaleur à travers l’interface et a été calculée en utilisant la solution du multiplicateur de Lagrange. En second lieu, les effets convectifs ont été inclus par la résolution des équations de Stokes dans la phase liquide en utilisant la méthode des éléments finis étendue aussi. Troisièmement, le changement de densité entre les phases solide et liquide, généralement négligé dans la littérature, a été pris en compte par l’ajout d’une condition aux limites de vitesse non nulle à l’interface solide-liquide pour respecter la conservation de la masse dans le système. Des problèmes analytiques et numériques ont été résolus pour valider les divers composants du modèle et le système d’équations couplés. Les solutions aux problèmes numériques ont été comparées aux solutions obtenues avec l’algorithme de déplacement de maillage de Comsol. Ces comparaisons démontrent que le modèle par éléments finis étendue reproduit correctement le problème de changement phase avec densités variables. / The modelling of the cryolite bath, used in the smelting of aluminum, offers multiple challenges, particularly the presence of discontinuities in the solution and a difference in density between the solid and liquid phases. To over come these challenges, several novel elements were developed in this thesis. First of all, the phase change problem, commonly named the Stefan problem, was solved in two dimensions using the extended finite element method. A specially designed Lagrange multiplier formulation, using an enriched Lagrange multiplier solution, was implemented to impose the melting temperature on the interface. The interface velocity is determined by the jump in the heat flux across the interface and was calculated using the Lagrange multiplier values. Secondly, convection was included by solving the Stokes equations in the liquid phase using the extended finite element method as well. Thirdly, the density change between solid and liquid phases, usually neglected in the literature, was taken into account by the addition of a non-zero velocity boundary condition at the solid-liquid interface to maintain mass conservation in the system. Benchmark analytical and numerical problems were solved to validated the various components of the model and the coupled system of equations. The solutions to the numerical problems were compared to the solutions obtained using Comsol’s moving mesh algorithm. Theses comparisons show that the extended finite element method correctly solves the phase change problem with non-constant densities.

La géométrie et la flexibilité d'un canyon sont les paramètres qui affectent grandement la valeur des périodes naturelles dans les barrages en terre. Le canyon entourant des barrages peut être considéré comme un domaine illimité. Pour prendre en compte ces deux effets, le canyon a été modélisé par SBFEM et le barrage en terre, à géométrie limitée, par FEM. La technique hybride SBFEM-FEM pour l'analyse tridimensionnelle dynamique de l'interaction sol-barrage a été validée avec les résultats disponibles dans la littérature. Comme la matrice de rigidité dynamique du domaine non borné est complexe et dépendante de la fréquence, la méthode classique de superposition de modes n'est pas simple pour le système d'interaction sol-structure. Ainsi, pour obtenir la fréquence propre fondamentale, le barrage a été excité en direction amont-aval. Les périodes naturelles du barrage de terre pour des canyons de formes géométriques et de coefficient de impédance différents ont été obtenues. Ils se sont avérés avoir des effets significatifs sur la période naturelle. Les résultats ont été comparés aux données enregistrées réelles. Il a été constaté que les graphiques proposés dans cette étude peuvent être utilisés par des concepteurs de barrages pour l'estimation des périodes naturelles des barrages en terre dans des canyons de formes et de propriétés matérielles différentes. Plusieurs fonctions d'amplification correspondant à différentes conditions de canyon ont été obtenues en appliquant un déplacement uniforme à la limite du canyon. Une étude approfondie a été réalisée pour examiner les effets de la géométrie et de la flexibilité du canyon sur la réponse en régime permanent du barrage. Ces deux effets ont influencé de manière importante les fonctions d'amplification. Alors que la flexibilité du canyon affecte de manière significative la valeur de la fonction d'amplification maximale, cette valeur ne change pas pour les barrages en terre dans lesquels les canyons ont des formes différentes et la même longueur. De plus, la réponse latérale du barrage de terre dans le domaine temporel a été calculée pour analyser les effets susmentionnés lors d'un tremblement de terre réel. Les fonctions d'amplification proposées ont été utilisées pour comparer les spectres de réponse enregistrés du barrage d'El Infiernillo lors des tremblements de terre de 1966 avec la fonction d'amplification calculée. Un accord raisonnable a été observé entre eux. La méthode linéaire équivalente (EQL) a été implémentée dans le FEM. La technique FEMSBFEM a été étendue pour prendre en compte l'effet du comportement non linéaire des barrages en terre. Il a été observé que le comportement non linéaire affecte grandement la fréquence naturelle, la fonction d'amplification et l'accélération de crête maximale du barrage de terre situé dans les canyons. Les effets de la géométrie et de la flexibilité du canyon sur le comportement non linéaire ont été examinés, et on a vu qu'en augmentant la flexibilité du canyon, l'effet de la non-linéarité était diminué. Le barrage d'El Infiernillo a été modélisé par FEM-SBFEM non linéaire 3D, et une comparaison de la fonction d'amplification de crête obtenue par la méthode proposée avec les données enregistrées montre la précision du FEM-SBFEM non linéaire. / The canyon surrounding a dam can be assumed as an unbounded domain, and the geometry and flexibility of a canyon are parameters that greatly affect the values of natural periods in earth dams. In this thesis, in order to take into account these two effects, canyons are modeled by SBFEM, and earth dams, which have limited geometries, are modeled by FEM. The hybrid FEM-SBFEM technique used for the dynamic three-dimensional analysis of soil-earth dam interactions is validated with results available in the literature. Because the dynamic-stiffness matrix of the unbounded domain is complex and frequency-dependent, the classical mode-superposition method is not straightforward for a soil-structure interaction system, and thus, to obtain their fundamental natural frequencies, the modeled dams were excited in the upstream-downstream direction. The natural periods of earth dams in canyons with different geometries shapes and impedance ratios are obtained, and are found to have significant effects on the dams' natural periods. The results are compared with actual recorded data, and it is found that the graphs put forward in this study may be used by practical engineers for the estimation of natural periods of earth dams in canyons with different shapes and material properties. Several amplification functions corresponding to different canyon conditions are obtained by applying a uniform displacement at the canyons' boundaries. A comprehensive study is performed to examine the effects of canyon geometry and flexibility on the steady-state responses of the dams, and it is found that these two effects significantly influence the amplification functions. While the flexibility of the canyon does affect the maximum amplification function value, this value does not change for earth dams in canyons that have different shapes but the same length. In addition, the lateral responses of earth dams in the time domain are computed in order to analyze the aforementioned effects under an actual earthquake. The proposed amplification functions are used to compare the recorded response spectra of the El Infiernillo dam under the two 1966 earthquakes with the calculated amplification function, and a reasonable agreement is observed between them. The equivalent linear method (EQL) is implemented into the FEM, and the FEM-SBFEM technique is extended in order to take into consideration the effect of earth dams' nonlinear behavior. It is observed that such nonlinear behavior greatly affects the natural frequency, the amplification function, and peak crest acceleration of earth dams located in canyons. The effects of canyon geometry and flexibility on the nonlinear behavior are examined, and it is found that by increasing canyon flexibility, the effect of nonlinearity is decreased. The El Infiernillo dam is modeled by the 3D nonlinear FEM-SBFEM, and comparison of the crest amplification function obtained by the proposed method with the recorded data shows the accuracy of the nonlinear FEM-SBFEM.

Ce travail est consacré à l'étude du couplage des équations de Navier-Stokes et de la chaleur posées dans un domaine polygonal non convexe. Après avoir analysé le comportement singulier des solutions de ces équations près des coins du domaine considéré, nous présentons une formulation mixte duale de ces équations basée sur l'introduction de deux nouvelles inconnues : a qui est le tenseur gradient de la vitesse et le champ vectoriel ^ qui désigne le gradient de la température. Ensuite, en considérant une famille de maillage Th du domaine fi, nous analysons une méthode d'éléments finis mixte duale basée sur cette dernière formulation en utilisant l'élément fini de Raviart-Thomas de plus bas degré pour approximer les nouvelles inconnues cr et <^ sur chaque triangle K de la triangulation Th. Tandis que les variables n, p et T seront approximées par des polynômes de degré zéro sur chaque triangle K. En particulier, nous montrons que l'on peut retrouver l'ordre de convergence quasi-optimal si le maillage est raffiné suivant certaines règles qui sont essentiellement celles introduites par G. Raugel et basées sur le fait que les solutions sont régulières dans des espaces de Sobolev à poids. Nous discutons les aspects d'implémentation de la méthode d'éléments finis mixte duale raffinée pour ces équations en utilisant un algorithme de point fixe combiné à une formulation hybride de deux systèmes issus du découplage du problème discret : l'un correspondant aux équations de Navier-Stokes et l'autre à l'équation de la chaleur. Nos résultats numériques obtenus, en plus de confirmer l'ordre de convergence optimal pour un problème test posé dans un domaine polygonal non convexe, sont tout-à-fait comparables avec ceux existants dans la littérature pour la convection naturelle dans une cavité carrée.

Cette thèse concerne la modélisation des interactions fluide-structure et les méthodes numériques qui s’y rattachent. De ce fait, la thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne l’étude des interactions fluide-structure par la méthode des domaines fictifs. Dans cette contribution, le fluide est incompressible et laminaire et la structure est considérée rigide, qu’elle soit immobile ou en mouvement. Les outils que nous avons développés comportent la mise en oeuvre d’un algorithme fiable de résolution qui intégrera les deux domaines (fluide et solide) dans une formulation mixte. L’algorithme est basé sur des techniques de raffinement local adaptatif des maillages utilisés permettant de mieux séparer les éléments du milieu fluide de ceux du solide que ce soit en 2D ou en 3D. La seconde partie est l’étude des interactions mécaniques entre une structure flexible et un fluide incompressible. Dans cette contribution, nous proposons et analysons des méthodes numériques partitionnées pour la simulation de phénomènes d’interaction fluide-structure (IFS). Nous avons adopté à cet effet, la méthode dite «arbitrary Lagrangian-Eulerian» (ALE). La résolution fluide est effectuée itérativement à l’aide d’un schéma de type projection et la structure est modélisée par des modèles hyper élastiques en grandes déformations. Nous avons développé de nouvelles méthodes de mouvement de maillages pour aboutir à de grandes déformations de la structure. Enfin, une stratégie de complexification du problème d’IFS a été définie. La modélisation de la turbulence et des écoulements à surfaces libres ont été introduites et couplées à la résolution des équations de Navier-Stokes. Différentes simulations numériques sont présentées pour illustrer l’efficacité et la robustesse de l’algorithme. Les résultats numériques présentés attestent de la validité et l’efficacité des méthodes numériques développées. / This thesis is concerned with the modeling of fluid-structure interactions (FSI) and the corresponding specific numerical methods. The thesis is divided into two principal parts. The first part concerns the study of fluid-structure interactions using the fictitious domain method. In this contribution, the fluid is incompressible and laminar and the structure is considered rigid, whether stationary or moving. The tools we have developed include the implementation of a reliable resolution algorithm that incorporates both domains (fluid and solid) in a common mixed formulation. The algorithm is based on adaptive local mesh refinement techniques used to distinguish the elements in the fluid from those of the solid either in 2D or 3D. The second part is the study of the mechanical interactions between a flexible structure and an incompressible fluid. In this context, we propose and analyze partitioned numerical methods for simulating fluid-structure interaction phenomena (FSI). We adopt an "arbitrary Lagrangian-Eulerian" (ALE) formulation for this purpose. The fluid resolution is performed iteratively by means of a projection scheme and the structure is modeled by hyperelastic models in large deformations. We have introduced new mesh update methods to achieve large deformation of the structure. Finally, a more complex strategy for FSI problem is proposed. The turbulence and two-phase flows modelling are introduced and coupled to the resolution of the Navier-Stokes equations for studying FSI problems. The numerical results presented attest the validity and effiency of the proposed numerical methods developed.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la construction d'éléments finis d'ordre élevé adaptés aux maillages hybrides, pour la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en régimes harmonique et temporel. L'accent est plus particulièrement porté sur la construction d'éléments pyramidaux. On étudie trois formulations pour lesquelles on cherche des éléments finis "optimaux" au sens de la convergence dans la norme de l'espace considéré pour la formulation. Pour les formulations H^1 et H(rot), on construit des éléments finis "optimaux" nodaux et hp. Les matrices élémentaires sont évaluées grâce à des formules de quadrature adaptées et des estimations d'erreur sont effectuées pour vérifier la convergence des éléments optimaux construits. Pour la formulation discontinue LDG (Local Discontinuous Galerkin), on présente des éléments utilisant des fonctions de base orthogonales permettant de mettre au point une construction de la matrice de masse et un produit matrice-vecteur rapides. Dans le cas des trois formulations, on étudie les propriétés numériques des éléments construits, on vérifie que l'on retrouve bien numériquement la convergence théorique et on compare nos éléments avec d'autres éléments trouvés dans la littérature. Finalement, on présente des expériences numériques en 3D avec l'équation des ondes ou de Helmholtz, et les équations de Maxwell dans le cas des régimes temporels et harmoniques. On montre ainsi l'efficacité des maillages hybrides par rapport aux maillages purement tétraédriques ou aux maillages hexaédriques obtenus en découpant chaque tétraèdre d'un maillage purement tétraédrique en quatre hexaèdres.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des <br />équations de Maxwell en régime fréquentiel, afin de calculer<br />précisément la signature radar de cibles diverses. Pour avoir<br />une grande précision nécessaire pour des expérience de grande taille,<br /> nous utilisons des méthodes d'ordre élevé.<br /><br />Dans le cas scalaire, les éléments finis spectraux hexaédriques<br />avec condensation de masse, permettent d'obtenir un produit matrice vecteur <br />rapide et peux coûteux en stockage. Dans le cas vectoriel, les hexaèdres<br />de la première famille ne réalisent pas la condensation de masse, mais on peut<br />écrire un algorithme rapide de produit matrice-vecteur. Des résultats<br />numériques 3-D montrent la performance de l'algorithme proposé.<br /><br />Nous traitons également le cas où la géométrie présente<br />une symétrie de révolution. On est alors ramenés à une succession<br />de problèmes 2-D indépendants.<br />Nous proposons une méthode éléments finis d'ordre élevé <br />couplée à des équations intégrales d'ordre élevé.