Nous considérons plusieurs problèmes autour des matrices à signes alternants (MSA). Dans un premier chapitre nous donnons une formule de comptage des MSAs selon le nombre k de -1 qu'elles contiennent et leur taille n. Cette formule permet d'obtenir une évaluation asymptotique pour un k donné lorsque n tend vers l'infini et une expression simple pour les valeurs de k inférieures ou égales à 7.Une deuxième partie est consacrée à une famille de MSAs dont les triangles Gogs (ou triangles monotones) associés sont en bijection avec une famille de triangles Magogs (ou des partition planes auto complémentaires symétriques). Nous présentons une méthode de minoration du nombre d'éléments de taille n dans cette famille d'objets.Enfin, nous évaluons la probabilité d'apparition de motifs (sous-diagrammes) dans des diagrammes de cordes tirés selon la distribution limite introduite par la conjecture de Razumov et Stroganov. / Abstract

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Nous introduisons d'abord la classe des graphes $k$-dégénérés qui est souvent utilisée pour modéliser des grands graphes épars issus du monde réel. Nous proposons de nouveaux algorithmes d'énumération pour ces graphes. En particulier, nous construisons un algorithme énumérant tous les cycles simples de tailles fixés dans ces graphes, en temps optimal.Nous proposons aussi un algorithme dont la complexité dépend de la taille de la solution pour le problème d'énumération des cliques maximales de ces graphes. Dans un second temps nous considérons les graphes en tant que systèmes distribués et nous nous intéressons à des questions liées à la notion de couplage lorsqu’aucune supposition n’est faite sur l'état initial du système, qui peut donc être correct ou incorrect. Dans ce cadre nous proposons un algorithme retournant une deux tiers approximation du couplage maximum.Nous proposons aussi un algorithme retournant un couplage maximal quand les communications sont restreintes de telle manière à simuler le paradigme du passage de message. Le troisième objet d'étude n'est pas directement lié à l'algorithmique de graphe, bien que quelques techniques classiques de ce domaine soient utilisées pour obtenir certains de nos résultats.Nous introduisons et étudions certaines familles de polytopes, appelées Zonotopes Primitifs, qui peuvent être décrits comme la somme de Minkowski de vecteurs primitifs. Nous prouvons certaines propriétés combinatoires de ces polytopes et illustrons la connexion avec le plus grand diamètre possible de l'enveloppe convexe de points à coordonnées entières à valeurs dans$[k]$, en dimension $d$. Dans un second temps,nous étudions des paramètres de petites instances de Zonotopes Primitifs, tels que leur nombre de sommets, entre autres. / We start by studying the class of $k$-degenerate graphs which are often used to model sparse real-world graphs. We focus one numeration questions for these graphs. That is,we try and provide algorithms which must output, without duplication, all the occurrences of some input subgraph. We investigate the questions of finding all cycles of some givensize and all maximal cliques in the graph. Ourtwo contributions are a worst-case output sizeoptimal algorithm for fixed-size cycleenumeration and an output sensitive algorithmfor maximal clique enumeration for this restricted class of graphs. In a second part weconsider graphs in a distributed manner. Weinvestigate questions related to finding matchings of the network, when no assumptionis made on the initial state of the system. Thesealgorithms are often referred to as selfstabilizing.Our two main contributions are analgorithm returning an approximation of themaximum matching and a new algorithm formaximal matching when communication simulates message passing. Finally, weintroduce and investigate some special families of polytopes, namely primitive zonotopes,which can be described as the Minkowski sumof short primitive vectors. We highlight connections with the largest possible diameter ofthe convex hull of a set of points in dimension d whose coordinates are integers between 0 and k.Our main contributions are new lower bounds for this diameter question as well as descriptions of small instances of these objects.

Une carte est le plongement d'un graphe dans une surface, à un homéomorphisme près. Ainsi, une carte est un objet topologique énumérable, en fonction du nombre de ses sommets, de ses arêtes et de ses faces. Les cartes admettent des symétries internes qui rendent leur énumération difficile. On n'envisage dans ce travail que l'énumération des cartes pointées, le pointage supprimant toutes les symétries. Le nombre exact de cartes pointées sur une surface donnée n'est connu que pour les surfaces de petit genre, comme la sphère (genre 0), le tore ou le plan projectif (genre 1). En effet, la complexité des méthodes de calcul de ces nombres augmente rapidement avec le genre des surfaces. Un travail important de cette thèse a été de convertir l'une de ces méthodes de calcul en une preuve de l'existence d'une structure commune à toutes les séries génératrices de cartes pointées de genre non nul. Pour chaque surface orientable, on réduit le problème à la détermination d'un polynôme, dont le degré est majoré par une fonction simple du genre de la surface. Un résultat analogue est obtenu pour les cartes pointées sur les surfaces non orientables. Des conséquences pratiques et une implantation logicielle de tous ces résultats sont décrites. De nouvelles formules explicites d'énumération sont données. Indépendamment, une bijection géométrique nouvelle est exposée, entre certaines cartes 2-coloriables et les partitions de polygones, énumérées par les nombres de Schröder.

Ces travaux s'inscrivent dans le cadre général de la théorie des automates, de la combinatoire des mots, de la combinatoire énumérative et de l'algorithmique. Ils ont en commun de traiter des automates et des langages réguliers, de problèmes d'énumération et de présenter des résultats constructifs, souvent explicitement sous forme d'algorithmes. Les domaines dont sont issus les problèmes abordés sont assez variés. Ce texte est compose de trois parties consacrées aux codes préfixes, à certaines séquences lexicographiques et à l'énumération d'automates.

Nous considérons dans cette thèse la complexité algorithmique de problèmes émanant de deux formalismes de raisonnement non-monotone: l'abduction et l'argumentation. Le premier est destiné à formaliser le processus de trouver des explications pour une manifestation observée, le second (et plus récent) offre un cadre théorique pour formaliser le processus de l'argumentation. Nous nous concentrons sur le problème d'existence d'une explication pour l'abduction et sur le problème d'existence d'un argument pour l'argumentation. Dans le cadre de la logique propositionnelle dans son ensemble ces problèmes sont considérés comme étant des tâches algorithmiques difficiles (ils sont souvent situés au deuxième niveau de l'hiérarchie polynomial). Notre but est d'une part de comprendre les sources de difficulté, et d'autre part d'identifier des fragments de la logique propositionnelle dans lequels ces problèmes sont résolubles efficacement. Pour cela nous considérons ces problèmes d'abduction et d'argumentation dans deux cadres bien-établis qui permettent des classifications de complexité : Le cadre de Post et celui de Schaefer. Dans le cadre de Post, des restrictions sont faites sur les connecteurs autorisés dans les formules utilisées. Dans le cadre de Schaefer, on considère les formules en forme normale conjonctive généralisée, les "clauses" sont alors des applications de relations booléennes à des variables et on restreint le type des relations autorisées. / In this thesis we consider the computational complexity of problems from two central formalisms of nonmonotonic reasoning: abduction and argumentation. The first one is designed to formalize the process of finding explanations for some observed manifestation, the second (and more recent) one gives a theoretical framework to formalize the process of argumentation. We focus on the explanation-existence problem for abduction and on the argument-existence problem for argumentation. Considered in full propositional logic these problems are believed to be computationally costly tasks (they are often situated at the second level of the polynomial hierarchy). With the purpose of understanding sources of hardness and of identifying tractable fragments of propositional logic we consider several abduction and argumentation problems in two well-established settings allowing for complexity classifications. In the first one, Post's Framework, restrictions are made on the allowed connectives in the used formulae, whereas in the second one, Schaefer's Framework, one considers formulae in conjunctive normal form, where the clauses are generalized to applications of arbitrary Boolean relations to variables and one restricts the allowed type of relations. We discuss differences and common features between the explanation-existence and the argument-existence problem in function of the two chosen frameworks. Finally, we consider enumeration. In particular we consider the problem of enumerating all solutions (models) of a propositional formula by non-decreasing weight in Schaefer's framework (the weight of a model being the number of variables assigned to true).

Des travaux de didactique des mathématiques, conduits par Briand, ont permis de montrer l’existence de connaissances spécifiques d’organisation dans le domaine des problèmes concernant le dénombrement et les opérations arithmétiques, connaissances qui relèvent de ce que Brousseau a appelé l’énumération. Cette thèse montre que ces « connaissances d’énumération » ne sont spécifiques ni au champ numérique, ni même aux mathématiques. Elles se retrouvent dans de nombreuses situations scolaires et présentent un caractère transdisciplinaire. L’étude de la situation fondamentale de l’énumération permet d’exhiber de nouvelles variables et de compléter l’étude des stratégies. Une nouvelle définition de l’énumération est proposée, permettant d’unifier la description des difficultés rencontrées. Le caractère transdisciplinaire de l’énumération est étudié dans le domaine scolaire « français ». Les situations étudiées dans ce cadre permettent d’intégrer la dimension de l’écrit dans la description de ces connaissances. Du point de vue méthodologique, des analyses a priori successives montrent comment les modifications de point de vue permettent de faire évoluer le modèle, proposant notamment une nouvelle modélisation du traitement / Research work on mathematics education, carried out by Briand, have shown the existence of specific knowledge in the field of numerical problems, involving counting or arithmetic operations, which reveal what Brousseau has named “enumeration”. This thesis shows that enumeration’s knowledge are not specific to the numerical field, neither to mathematics. This knowledge can be founded in many scholar situation and show an interdisciplinary character. The study of the fundamental situation is down, which allows to unify the description of the subject’s difficulties. The interdisciplinary character is studied in the scholar field of language. The study of these situations in this context allows us to incorporate the dimension of writing in our descriptions of the knowledge. Considering metrology, theses analyses show how modifications of point of view enable an evolution of the model, allowing in particular of new modeling of treatment.

La première partie de ce mémoire est consacrée à l'énumération de diverses familles de structures arborescentes, en général selon le nombre de sommets. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude des arborescences de Cayley telles que la racine est inférieure à ses fils et des arborescences alternantes. La plupart de nos résultats sont prouvés bijectivement. Nous nous intéressons ensuite aux arborescences coloriées, et plus particulièrement à la formule d'inversion de séries formelles multivariées de Good-Lagrange. Nous donnons une nouvelle preuve bijective d'une variante de cette formule et utilisons cette preuve pour prouver combinatoirement diverses formules d'énumération de structures arborescentes et en déduire des algorithmes de génération aléatoire pour ces structures (notamment les cactus planaires). Nous concluons cette première partie par un chapitre consacré aux constellations : en combinant notre preuve de la formule de Good-Lagrange et la conjugaison d'arborescences (due à Bousquet-Mélou et Schaeffer), nous prouvons bijectivement une formule (nouvelle) pour l'énumération de constellations selon le nombre de sommets et de faces. Dans la seconde partie, nous étudions le problème de la recherche de motifs dans une arborescence, en utilisant une structure de données classique pour les mots : l'arborescence des suffixes. Nous proposons notamment un algorithme de recherche de motifs dans une arborescence, basé sur un codage d'une arborescence par des mots et sur l'utilisation de l'arborescence des suffixes d'un de ces mots, qui semble avoir de bonnes propriétés expérimentales. Nous concluons en étendant la notion d'arborescence des suffixes des mots aux arborescences et en décrivant un algorithme de construction pour cette structure.

Dans cette thèse, nous présentons trois problèmes concernant les graphes planaires.Nous travaillons tout d'abord sur les dessins planaires non-alignés, c'est-à-dire des dessins planaires de graphes sur une grille sans que deux sommets se trouvent sur la même ligne ou la même colonne.Nous caractérisons les graphes planaires possédant un tel dessin sur une grille de taille $n times n$, et nous présentons deux algorithmes générant un dessin planaire non-aligné avec arêtes brisées sur cette grille pour tout graphe planaire, avec $n-3$ ou $min(frac{2n-3}{5},$ $#{text{triangles s{'e}parateurs}}+1)$ brisures au total.Nous proposons également deux algorithmes dessinant un dessin planaire non-aligné sur des grilles d'aire $O(n^4)$. Nous donnons des résultats spécifiques concernant les graphes 4-connexes et de type triangle-emboîté.Le second sujet de cette thèse est la domination de puissance dans les graphes planaires. Nous exhibons une famille de graphes ayant un nombre de domination de puissance $gamma_P$ au moins égal à $frac{n}{6}$. Nous montrons aussi que pour tout graphe planaire maximal $G$ à $n geq 6$ sommets, $gamma_P(G) leq frac{n-2}{4}$. Enfin, nous étudions les grilles triangulaires $T_k$ à bord hexagonal de dimension $k$ et nous montrons que $frac{k}{3} - frac{1}{6} leq gamma_P(T_k) leq lceil frac{k}{3} rceil$.Nous étudions également l'énumération des orientations planaires Eulériennes. Nous proposons une nouvelle décomposition de ces cartes. En considérant les orientations des dernières $2k-1$ arêtes autour de la racine, nous définissons des sous- et sur-ensembles des orientations planaires Eulériennes paramétrés par $k$.Pour chaque classe, nous proposons un système d'équations fonctionnelles définissant leur série génératrice, et nous prouvons que celle-ci est toujours algébrique. Nous montrons ainsi que la constance de croissance des orientations planaires Eulériennes est entre 11.56 et 13.005. / In this thesis, we present results on three different problems concerning planar graphs.We first give some new results on planar non-aligned drawings, i.e. planar grid drawings where vertices are all on different rows and columns.We show that not every planar graph has a non-aligned drawing on an $n times n$-grid, but we present two algorithms generating a non-aligned polyline drawings on such a grid requiring either $n-3$ or $min(frac{2n-3}{5},$ $#{text{separating triangles}}+1)$ bends in total.Concerning non-minimal grids, we give two algorithms drawing a planar non-aligned drawing on grids with area of order $n^4$. We also give specific results for 4-connected graphs and nested-triangle graphs.The second topic is power domination in planar graphs. We present a family of graphs with power dominating number $gamma_P$ at least $frac{n}{6}$. We then prove that for every maximal planar graph $G$ of order $n$, $gamma_P(G) leq frac{n-2}{4}$, and we give a constructive algorithm.We also prove that for triangular grids $T_k$ of dimension $k$ with hexagonal-shape border, $frac{k}{3} - frac{1}{6} leq gamma_P(T_k) leq lceil frac{k}{3} rceil$.Finally, we focus on the enumeration of planar Eulerian orientations. After proposing a new decomposition for these maps, we define subsets and supersets of planar Eulerian orientations with parameter $k$, generated by looking at the orientations of the last $2k-1$ edges around the root vertex.For each set, we give a system of functional equations defining its generating function, and we prove that it is always algebraic.This way, we show that the growth rate of planar Eulerian orientations is between 11.56 and 13.005.

Les thèmes abordés dans le cadre de la thèse "Chemins confinés dans un quadrant" se concentrent autour des marches à petits sauts (c'est-à-dire aux huit plus proches voisins) confinées dans un quart de plan. Tout d'abord, nous considérons le problème combinatoire consistant à compter les chemins du plan qui, se déplaçant selon un ensemble fixé de sauts, restent dans un quadrant. Nous nous focalisons sur les questions suivantes : - expliciter la série génératrice des nombres de chemins partant de l'origine et se terminant en un certain point en un temps fixé ; - analyser la façon dont cette fonction dépend de l'ensemble de sauts, et en particulier étudier sa nature (rationnelle, algébrique, (non) holonome). Ensuite, nous examinons le problème probabiliste des marches aléatoires à valeurs dans un quadrant, homogènes à l'intérieur et tuées au bord. Nous nous intéressons alors aux questions suivantes : - expliciter les probabilités d'absorption en un certain point du bord en un temps fixé, et en particulier les probabilités d'absorption en un certain site du bord ; - trouver l'asymptotique de ces probabilités ; - expliciter les probabilités que le processus se trouve en un certain point intérieur au quadrant en un temps fixé, et les fonctions de Green ; - calculer l'asymptotique précise de ces fonctions de Green le long de toutes les trajectoires ; - obtenir toutes les fonctions harmoniques positives ou nulles ainsi que la compactification de Martin ; - analyser le temps d'absorption sur les axes, et notamment l'asymptotique de sa queue de distribution. Les méthodes que nous utilisons pour répondre aux questions ci-dessus font appel à l'analyse complexe.