Ce travail de thèse concerne les méthodes numériques à base d'ondelettes pour la simulation de la turbulence incompressible. L'objectif principal est la prise en compte de conditions aux limites physiques dans la résolution des équations de Navier-Stokes. Contrairement aux travaux précédents où la <i>vorticité</i> était décomposée sur base d'ondelettes <i>classiques</i>, le point de vue qui est adopté ici vise à calculer le champ de <i>vitesse</i> de l'écoulement sous la forme d'une série d'ondelettes à divergence nulle. On est alors dans le cadre des équations de Navier-Stokes incompressibles en formulation <i>vitesse-pression</i>, pour lesquelles les conditions aux limites sur la <i>vitesse</i> s'écrivent explicitement, ce qui diffère de la formulation <i>vitesse-tourbillon</i>. Le principe de la méthode développée dans cette thèse consiste à injecter directement les conditions aux limites sur la base d'ondelettes. Ce travail prolonge la thèse de E. Deriaz réalisée dans le cas périodique. La première partie de ce travail a donc été la définition et la mise en œuvre de nouvelles bases d'ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul sur $[0,1]^n$, permettant la prise en compte de conditions aux limites, à partir des travaux originaux de P. G. Lemarié-Rieusset, K. Urban, E. Deriaz et V. Perrier. Dans une deuxième partie, des méthodes numériques efficaces utilisant ces nouvelles ondelettes sont proposées pour résoudre différents problèmes classiques : équation de la chaleur, problème de Stokes et calcul de la décomposition de Helmholtz-Hodge en non périodique. L'existence d'algorithmes rapides associés rend les méthodes compétitives. La dernière partie est consacrée à la définition de deux nouveaux schémas de résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles par ondelettes, qui utilisent les ingrédients précédents. Des expériences numériques menées pour la simulation d'écoulement en cavité entraînée en dimension deux ou le problème de la reconnection de tubes de vortex en dimension trois montrent le fort potentiel des algorithmes développés.

Les antennes lentilles sont des dispositifs ayant pour support les ondes électromagnétiques et sont constituées d'une source primaire et d'un système focalisant diélectrique. La montée en importance récente d'applications en ondes millimétriques (exemple : radars d'assistance et d'aide à la conduite), nécessite la construction d'antennes lentilles de quelques centimètres qui répondent à des cahiers des charges spécifiques à chaque cas. L'une des problématiques à résoudre consiste à déterminer la forme optimale de la lentille étant données : (i) les caractéristiques de la source primaire, (ii) les caractéristiques en rayonnement fixées. Ce projet de thèse vise à développer de nouveaux outils pour l'optimisation de forme en utilisant une formulation intégrale du problème.<br />Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première nous avons construit plusieurs formulations intégrales pour le problème de diffraction diélectrique en utilisant une approche par équation intégrale surfacique. Dans la seconde nous avons étudié les dérivées de forme des opérateurs intégraux standard en électromagnétisme dans le but de les incorporer dans un algorithme d'optimisation de forme.

Cette thèse contribue à un ensemble de travaux consacrés à l'étude d'un schéma ENO centré-sommet (CENO) d'ordre élevé ainsi qu'à l'adaptation de maillage anisotrope pour des calculs de Mécaniques des Fluides précis à l'ordre 3. La première partie des travaux de cette thèse est consacré à une analyse approfondie de la précision du schéma CENO et à la création de termes correcteurs pour améliorer ses propriétés dispersives et dissipatives en une et deux dimensions. On propose un schéma CENO quadratique précis à l'ordre 3, puis cubique précis à l'ordre 4, pour les équations d'Euler des gaz compressibles, ainsi qu' une première version du schéma avec capture de choc monotone. La deuxième partie des travaux est consacrée à la mise au point d'une plateforme numérique d'adaptation de maillage anisotrope multi-échelle et basée fonctionnelle intégrant le schéma CENO. Nous proposons un nouvel estimateur d'ordre 3 du schéma quadratique basé sur une reconstruction de hessien équivalent et son application à des simulations d'acoustiques instationnaire et de Scramjet stationnaire utilisant nos limiteurs.

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L’électro-localisation est le nom donné aux capacités sensorielles de certains poissons électriques, vivant en eaux troubles, capables de détecter les perturbations électrostatiques dues à la présence d’objets dans leurs voisinages. Cette aptitude à interpréter un signal électrique pour se repérer dans l’espace ouvre l’importance perspectives, notamment dans le domaine de la robotique brio-inspiré. Mathématiquement, l’électrolocalisation est proche de la tomographie d’impédance électrique : il s’agit donc d’un problème inverse non linéaire, notoirement mal posé. Nous proposons dans cette thèse d’étudier des méthodes de reconstruction qui permettraient d’obtenir de manière robuste certaines caractéristiques de la forme des obstacles, plutôt que l’ensemble des détails de leurs géométries. Il s’agit donc d’étudier la stabilité de la partie observable des obstacles par rapport à des erreurs dans les mesures. / Electrolocation is the name given to the sensor ability for certain electric fish robots, which are able to detect electrostatic perturbations caused to the presence of some objects in their neighborhood. This ability to interpret an electrical signal to locate itself in space opens important perspectives, including in the field of biologically inspired robotics. Mathematically, electrolocation is linked to the electric impedance tomography: so it’s about a non-linear inverse problem, particularly ill-posed problem. We will, in this Phd, study some methods of reconstruction, which could be obtain robustly some characteristic of the obstacle’s shape, rather all of their geometry details. So, it’s about to study the stability between the observable part of the obstacles and the errors of measurements.

Cette thèse se consacre à l’étude des propriétés qualitatives d’équations elliptiques dégénérées où la diffusion est purement non locale, et s’est réalisée dans le cadre de la théorie des solutions visqueuses. La première partie de la thèse traite de l’étude des propriétés de compacité d’une famille d’opérateurs non locaux d’ordre zéro. Ces opérateurs sont d’opérateurs elliptiques non locaux définis par le biais d’une mesure bornée. On considère une famille d’opérateurs uni-paramétrique d’ordre zéro de la forme \begin{eqnarray*} \mathcal{I}_\epsilon(u, x) = \int_{\mathbb{R}^N} [u(x + z) - u(x)]K_\epsilon(z)dz, \end{eqnarray*} où, pour chaque S\epsilon \in (0,1)$, $K_\epsilon \in L^I(\mathbb{R}^N)$ est une fonction radialement symétrique et positive. On configure notre problème de sorte que $\mathcal{I}_\epsilon$ tende vers du Laplacien fractionnaire quand $\epsilon \to 0^+$, ce qui implique que la norme $L^1S des $K_\epsilon$ n’est pas bornée lorsque $\epsilon \to 0^+$. Un premier résultat de cette partie est un module de continuité dans l’espace-temps pour la famille des solutions bornées de l’équation de la chaleur non-locale dans le plan associé à $\matbcal{I}_\epsilon$, indépendante de $\epsilon \in (0,1)$. Le second résultat de cette partie considère le problème de Dirichlet sur un domaine borné \Omega \subset \R^N$ associé à $mathcal{I}_\epsilon$, et conclut à la compacité de la famille de solutions bornées ${u_\epsilon }_\epsilon$ pour ces problèmes de Dirichlet, en exhibant un module de continuité commun sur $\bar(\Omega)$ pour $\{ u_\epsilon \}_\epsilon$, indépendant de $\epsilon$. / This thesis is devoted to the study of qualitative properties of degenerate elliptic equations where the diffusion is purely nonlocal, and it is carried out in the framework of the theory of viscosity solutions. The first part of the thesis is focused in the study of compactness properties of a family of \textsl{zero-th order nonlocal operators], that is, elliptic nonlocal operators defined though a finite measure. We consider a one parameter family of zero-th order operator with the form \begin{eqnarray*} \mathcal{I}_\epsilon(u, x) = \int_{\mathbb{R}^N} [u(x + z) - u(x)]K_\epsilon(z)dz, \end{eqnarray*} where, for each $\epsilon ‘sin (0,1)$, $K_\epsilon Mn L^1(\mathbb{R^N})$ is a radially symmetric, positive function. We set our problem in such a way $\mathcal{l}_\epsilon$ approaches the fractional Laplacian as $\epsilon \to 0^+$, implying that the $L^1$-norm of $K_\epsilon$ blows up as $\epsilon \to 0^+$. In the first result of this part we provide a common space-time modulus of continuity independent of $\epsilon Mn (0,1)$, for the family of bounded solutions of the nonlocal Heat equation in the plane associated to $\mathcal{I}_\epsilon$. The second result of this part considers a Dirichlet problem in a bounded domain $\Omega \subset $\mathbb{R}^N$ associated to $mathcaI{I}_\epsilon$, and we conclude the compactness of the family of bounded solutions $\{u_\epsilon \}_\epsilon$ to these Dirichlet problems by finding a common modulus of continuity in $\bar{\Omega}$ for ${ u_\epsilon \}_\epsilon$, which is independent of $\epsilon$.

Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la modélisation des phénomènes de diffraction d’ondes électromagnétiques par des objets à symétrie de révolution complexes et fortement hétérogènes. La méthode que nous développons ici consiste en un couplage entre équations aux dérivées partielles (EDP) et équations intégrales (EI). Cette idée est essentiellement connue pour avoir deux avantages. Le premier est que les hétérogénéités de l’objet sont prises en compte naturellement dans la formulation du problème. Le deuxième est dû à l’utilisation des équations intégrales qui donnent une représentation exacte des solutions dans le milieu extérieur en fonction des courants surfaciques. Le domaine de simulation peut ainsi être ramené à l’objet lui-même. L’utilisation de développements en séries de Fourier combinés à la propriété d’invariance par rotation de l’objet permet alors la réduction du problème global 3D à un ensemble dénombrable de problème 2D.L’étude de ces problèmes nous a conduit à décomposer notre analyse en plusieurs parties,chacune ayant à traiter une partie du problème complet ou les méthodes d’intégrations numériques. Ces dernières étant difficiles à réaliser dans le cas des équations intégrales.Nous avons tout d’abord étudié un problème de Maxwell intérieur pour lequel nous avons développé une nouvelle méthode d’éléments finis d’ordre élevé dont nous avons montré l’efficacité et la précision sur de multiples exemples. Puis, nous avons étudié le problème de diffraction d’ondes planes pour des objets parfaitement conducteurs. La méthode d’éléments finis de frontière employée est alors construite par extension de la méthode précédente via l’opérateur de trace tangentielle. En combinant ces deux études, nous avons résolu le problème couplé en introduisant la propriété de symétrie de révolution dans une formulation variationnelle bien choisie. Par construction, les éléments finis qui y sont utilisés sont alors naturellement adaptées. L’algorithme de parallélisation de la méthode de couplage est finalement présentée et des comparaisons entre notre code AxiMax et un code 3D sont illustrées. Dans tous les cas, nous montrons que la méthode d’éléments finis d’ordre élevé permet d’obtenir des résultats d’une grande précision en fonction de la qualité des paramètres de simulation. / In this thesis, we are interested in modeling diffraction of electromagnetic waves by axisymmetric and highly heterogeneous objects. Our method consists in a coupling between partial differential equations and integral equations. This idea is mainly interesting for two reasons : heterogeneities are handled naturally in the formulation and integral equations give an analytical representation of solutions outside the object based on surface currents.These advantages allow us to limit the domain of simulation to the object itself. In addition,using Fourier series combined with the rotational invariance property of the object, the 3D problem is reduced to a countable set of 2D problems. The study of these problems is split into several parts. Each part has to deal with aspecific problem as for example the numerical integration of singular integrals which is difficult to achieve. As a first step, we study time-harmonic Maxwell’s equations in a bounded domain for which we develop a new high-order finite element method and present its efficiency and accuracy on many examples. Secondly, we consider the diffraction of plane waves by perfect electric conductors to analyse integral equations for these kind of object.The boundary finite element method applied is defined by extension of the previous one via tangential trace operator. Then, we solve the coupled problem using a well chosen formulation based on the previous studies for which our finite element method is naturally adapted by construction. In order to evaluate its efficiency, a comparison is performed between our program « AxiMax » and one based on a purely 3D model. To conclude, in the last two chapters, we present the numerical integration method and the multi-processing algorithm developed in AxiMax. In all cases, we put forward the fact that our finite element method provides accurate results depending on the quality of the simulation parameters.

Cette thèse étudie l’estimation de vitesse de rotation d’un corps rigide à partir de mesures de directions (par exemple champ magnétique, direction du soleil) embarquées. L’objectif est de remplacer les gyromètres qui sont chers comparés aux autres capteurs inertiels et sujets à des saturations et à des dysfonctionnements. Dans une première partie de la thèse, on traite les cas spécifiques d’une rotation à axe fixe ou légèrement variable. Dans une seconde partie, on traite le cas d’une rotation quelconque par un observateur asymptotique non-linéaire. On construit l’observateur à partir de mesures de deux vecteurs de référence non colinéaires, ou bien d’un seul vecteur. La connaissance des coordonnées inertielles des vecteurs de référence n’est pas nécessaire. On étend ensuite l’observateur pour estimer en plus le couple et les paramètres d’inertie. Les équations d’Euler jouent un rôle central dans les travaux présentés ici. Il apparaît que, du moins pour les illustrations considérées, les gyromètres peuvent être remplacés par un algorithme d’estimation basé sur des capteurs de direction qui sont bien moins chers et plus robustes. / This thesis addresses the general question of estimating the angular rate of a rigid body from on-board direction sensors (e.g. magnetometers, Sun sensors). The objective is to replace rate gyros which are very expensive compared to direction sensors, prone to saturation during high rate rotations and subject to failure. In a first part of the thesis, we address the specific cases of single-axis and slightly perturbed axis rotations.In a second part, we address the general case by an asymptotic non-linear observer. We build the observer from two non-collinear vector measurements or from a single vector measurements. The knowledge of the inertial coordinates of the reference vectors is not necessary. We then extend the observer to further estimate unknown torques and inertia parameters. The Euler’s equations play a central role in all the works developed in this thesis. It appears that, at least for the illustrative cases considered, rate gyros could be replaced with an estimation algorithm employing direction sensors which are much cheaper,more rugged and more resilient sensors.

Cette thèse se compose de deux parties indépendantes qui portent sur le contrôle stochastique avec des espérances non linéaires et les équations stochastiques rétrogrades (EDSR), ainsi que sur les méthodes numériques de résolution de ces équations. Dans la première partie on étudie une nouvelle classe d'équations stochastiques rétrogrades, dont la particularité est que la condition terminale n'est pas fixée mais vérifie une contrainte non linéaire exprimée en termes de "f-espérances". Ce nouvel objet mathématique est étroitement lié aux problèmes de couverture approchée des options européennes où le risque de perte est quantifié en termes de mesures de risque dynamiques, induites par la solution d'une EDSR non linéaire. Dans le chapitre suivant on s'intéresse aux problèmes d'arrêt optimal pour les mesures de risque dynamiques avec sauts. Plus précisément, on caractérise dans un cadre markovien la mesure de risque minimale associée à une position financière comme l'unique solution de viscosité d'un problème d'obstacle pour une équation intégro-différentielle. Dans le troisième chapitre, on établit un principe de programmation dynamique faible pour un problème mixte de contrôle stochastique et d'arrêt optimal avec des espérances non linéaires, qui est utilisé pour obtenir les EDP associées.La spécificité de ce travail réside dans le fait que la fonction de gain terminal ne satisfait aucune condition de régularité (elle est seulement considérée mesurable), ce qui n'a pas été le cas dans la littérature précédente. Dans le chapitre suivant, on introduit un nouveau problème de jeux stochastiques, qui peut être vu comme un jeu de Dynkin généralisé (avec des espérances non linéaires). On montre que ce jeu admet une fonction valeur et on obtient des conditions suffisantes pour l'existence d'un point selle. On prouve que la fonction valeur correspond à l'unique solution d'une équation stochastique rétrograde doublement réfléchie avec un générateur non linéaire général. Cette caractérisation permet d'obtenir de nouveaux résultats sur les EDSR doublement réfléchies avec sauts. Le problème de jeu de Dynkin généralisé est ensuite étudié dans un cadre markovien.Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux méthodes numériques pour les équations stochastiques rétrogrades doublement réfléchies avec sauts et barrières irrégulières, admettant des sauts prévisibles et totalement inaccessibles. Dans un premier chapitre, on propose un schéma numérique qui repose sur la méthode de pénalisation et l'approximation de la solution d'une EDSR par une suite d'EDSR discrètes dirigées par deux arbres binomiaux indépendants (un qui approxime le mouvement brownien et l'autre le processus de Poisson composé). Dans le deuxième chapitre, on construit un schéma en discrétisant directement l'équation stochastique rétrograde doublement réfléchie, schéma qui présente l'avantage de ne plus dépendre du paramètre de pénalisation. On prouve la convergence des deux schémas numériques et on illustre avec des exemples numériques les résultats théoriques. / This thesis consists of two independent parts which deal with stochastic control with nonlinear expectations and backward stochastic differential equations (BSDE), as well as with the numerical methods for solving these equations.We begin the first part by introducing and studying a new class of backward stochastic differential equations, whose characteristic is that the terminal condition is not fixed, but only satisfies a nonlinear constraint expressed in terms of "f - expectations". This new mathematical object is closely related to the approximative hedging of an European option, when the shortfall risk is quantified in terms of dynamic risk measures, induced by the solution of a nonlinear BSDE. In the next chapter we study an optimal stopping problem for dynamic risk measures with jumps.More precisely, we characterize in a Markovian framework the minimal risk measure associated to a financial position as the unique viscosity solution of an obstacle problem for partial integrodifferential equations. In the third chapter, we establish a weak dynamic programming principle for a mixed stochastic control problem / optimal stopping with nonlinear expectations, which is used to derive the associated PDE. The specificity of this work consists in the fact that the terminal reward does not satisfy any regularity condition (it is considered only measurable), which was not the case in the previous literature. In the next chapter, we introduce a new game problem, which can be seen as a generalized Dynkin game (with nonlinear expectations ). We show that this game admits a value function and establish sufficient conditions ensuring the existence of a saddle point . We prove that the value function corresponds to the unique solution of a doubly reected backward stochastic equation (DRBSDE) with a nonlinear general driver. This characterization allows us to obtain new results on DRBSDEs with jumps. The generalized Dynkin game is finally addressed in a Markovian framework.In the second part, we are interested in numerical methods for doubly reected BSDEs with jumps and irregular barriers, admitting both predictable and totally inaccesibles jumps. In the first chapter we provide a numerical scheme based on the penalisation method and the approximation of the solution of a BSDE by a sequence of discrete BSDEs driven by two independent random walks (one approximates the Brownian motion and the other one the compensated Poisson process). In the second chapter, we construct an alternative scheme based on the direct discretisation of the DRBSDE, scheme which presents the advantage of not depending anymore on the penalization parameter. We prove the convergence of the two schemes and illustrate the theoretical results with some numerical examples.

Nous utilisons la méthode d'équivalence de Cartan pour réaliser une étude géométrique des équations différentielles ordinaires du second ordre et du premier ordre, sous l'action des transformations ponctuelles préservant les aires dans le cas du second ordre et de certaines autres transformations dans le cas du premier. Cela nous permet de caractériser de manière invariante toutes les équations différentielles du second ordre se ramenant à y"=0. De plus nous associons à toute telle équation, une connexion de Cartan affine normale dont la courbure contient tous ses invariants. Dans le cas du premier ordre nous apportons un regard nouveau sur une étude de R. Liouville concernant l'équation différentielle d'Abel. Enfin dans un autre ordre d'idées nous réalisons une étude de certaines solutions algébriques de l'équation de Riccati. / Abstract