La thèse se compose de 3 parties. Dans la partie I, nous considérons des problèmes à lafrontière pour une EDP de Laplace dans un domaine simplement connexe de bordLispschitz continu. Depuis des données Dirichlet et Neumann suffisamment régulièresdisponibles sur une partie de la frontière, nous développons une méthode non-itérative derésolution de ce problème de Cauchy, régularisé par une contrainte en norm L2 portantsur la solution sur la partie complémentaire du bord. Notre approche par les fonctionsanalytiques de la variable complexe permet d'imposer des contraintes ponctuellessupplémentaires possédant un intêret pratique pour incorporer des mesures corrompues.La partie II concerne la structure spectrale d'un opérateur de Poisson tronqué intervenantdans diverses applications physiques. Nous établissons d'importantes propriétés dessolutions, des connexions avec d'autres problèmes, ainsi que, pour des valeursasymptotiques d'un paramètre, des formulations sous forme d'autres équations intégralesou EDO solubles. Dans la partie III, nous traitons un problème inverse particulier issud'expériences pratiques effectuées avec un microscope SQUID. Depuis des mesurespartielles de la composante verticale du champ magnétique, le but est de retrouvercertaines propriétés de l'aimantation d'un échantillon de roche. Nous présentons denouvelles méthodes utilisant les transformations de Kelvin et de Fourier pour l'estimationdu moment magnétique. / The thesis consists of three parts. In Part I, we consider partially overdeterminedboundary-value problemS for Laplace PDE in a planar simply connected domain withLipschitz boundary. Assuming Dirichlet and Neumann data available on its part to be realvaluedfunctions of certain regularity, we develop a non-iterative method for solving thisill-posed Cauchy problem choosing as a regularizing parameter L2 bound of the solutionon complementary part of the boundary. The present complex-analytic approach alsonaturally allows imposing additional pointwise constraints on the solution which, onpractical side, can help incorporating outlying boundary measurements without changingthe boundary into a less regular one. Part II is concerned with spectral structure of atruncated Poisson operator arising in various physical applications. We deduce importantproperties of solutions, discuss connections with other problems and pursue differentreductions of the formulation for large and small values of asymptotic parameter yieldingsolutions by means of solving simpler integral equations and ODEs. In Part III, we dealwith a particular inverse problem arising in real physical experiments performed withSQUID microscope. The goal is to recover certain magnetization features of a sample frompartial measurements of one component of magnetic field above it. We develop newmethods based on Kelvin and Fourier transformations resulting in estimates of netmoment components.

Ce manuscrit présente des résultats d’analyse mathématique autour de deux exemples de problèmes singuliers d’équations aux dérivées partielles issus de la modélisation. I. Diffusion croisée en dynamique des populations. En dynamique des populations, les systèmes de réaction –diffusion croisée modélisent l’évolution de populations d’espèces en compétition avec un effet répulsif entre les individus. Pour ces systèmes fortement couplés, souvent non linéaires, une question aussi fondamentale que l’existence de solutions se révèle extrêmement complexe. Dans ce manuscrit, on introduit une approche basée sur des extensions récentes de lemmes de dualité et sur des méthodes d’entropie. On démontre l’existence de solutions faibles dans un cadre général de systèmes de réaction-diffusion croisée, ainsi que certaines propriétés qualitatives des solutions. II. Équation de Boltzmann en domaine borné. L’équation de Boltzmann, introduite en 1872, modélise la dynamique des gaz raréfiés hors équilibre. Malgré les nombreux résultats autour de la question de l’existence de solutions fortes proches de l’équilibre, très peu concernent le cas d’un domaine borné, situation pourtant fréquente dans les applications. Une raison de la difficulté du problème est l’irruption des singularités le long des trajectoires rasant le bord du domaine. Dans ce manuscrit, on présente une théorie de la régulation de l’équation de Boltzmann en domaine borné. Grâce à l’introduction d’une distance cinétique qui compense les singularités au bord, on montre des résultats de propagation de normes de Sobolev et de propagation C^1 en domaine convexe. En domaine non convexe, on montre un résultat de propagation de régularité BV. / This manuscript presents results of mathematical analysis concerning two singular problems of partial differential equations coming from the modeling. I. Cross-diffusion in Population dynamics. In Population dynamics, reaction-cross diffusion systems model the evolution of the populations of competing species with a repulsive effect between individuals. For these strongly coupled, often non linear systems, a question as basic as the existence of solutions appears to be extremely complex. In this manuscript, we introduce an approach based on the most recent extensions of duality lemmas and on entropy methods. We prove the existence of weak solutions in a general setting of reaction-cross diffusion systems, as well as some qualitative properties of the solutions. II. Boltzmann equation in bounded domains The Boltzmann equation, introduced in 1872, model the evolution of a rarefied gas out of equilibrium. Despite the numerous results concerning the existence of strong solutions close to equilibrium, very few concern the case of bounded domain, though this situation is very useful in applications. A crucial reason of the difficulty of this problem is the formation of a singularity on the trajectories grazing the boundary. In this manuscript, we present a theory of the regularity of the Boltzmann equation in bounded domains. Thanks to the introduction of a kinetic distance which balances the singularity, we obtain results of propagation of Sobolev norms and C^1 propagation in convex domains. In non convex domains, we obtain the propagation of BV regularity.

Dans cette thèse nous nous intéresserons aux équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) d'un point de vue aussi bien théorique que numérique. Ces équations peuvent être vues comme une généralisation du concept d'équations aux dérivées partielles (EDP) déterministes, équations donnant des modèles dans de nombreux domaines tel que la physique, la biologie ou encore l'économie. L'aspect stochastique apparaît avec la volonté de prendre en compte des données que l'on ne connaît pas de façon déterministe et dont nous avons uniquement des informations statistiques. Ces données peuvent être aussi bien un coefficient de l'équation qu'un terme de force, on qualifie alors ces données de "bruits". De par leurs complexités, il est courant de ne pas avoir de solution formelle pour certaines EDPS, la résolution numérique est alors l'unique moyen d'obtenir certaines statistiques de la solution inconnues formellement. La discrétisation de cette source d'information représentée par les termes de bruit pose le problème de leur troncature. L'information contenue dans ces termes de bruits est infini, ainsi tout comme il est impossible de représenter numériquement, sauf cas particulier, de façon exacte une fonction sur l'intervalle $[0,1]$, il est impossible de stocker de façon exacte ces termes de bruits, se pose alors la question du traitement numérique de ces termes de bruits. Une des méthodes consiste à simuler le bruit afin d'obtenir une famille de trajectoires du bruit et résoudre pour chacune de ces trajectoires l'équation associée afin de pouvoir faire des statistiques sur l'ensemble des solutions obtenues, cette méthode correspond à la méthode de Monte-Carlo. Elle offre l'avantage d'être relativement simple à mettre en œuvre mais se pose alors des problèmes de lenteur de convergence dûs au coût unitaire des intégrations numériques de chaque trajectoire qui dépendent en général de la méthode déterministe utilisée, de la dimension du problème et de la variance des moments que l'on souhaite estimer. Une deuxième philosophie est la décomposition du bruit sur une base polynomiale adaptée à une mesure de référence (ici la mesure de Wiener). C'est la méthode principalement étudiée dans cette thèse. Nous décrirons comment à l'aide d'une décomposition dite en chaos il est possible d'obtenir des statistiques de solutions d'EDPS, mais également comment on peut se servir d'une telle décomposition afin de réduire la variance dans une méthode de Monte Carlo / In this thesis, we will be interested by the numerical approximation of SPDEs. Such equations can be seen as generalization of deterministic PDEs whose coefficients have been perturbed in order to take into account incertainties. Usually those incertainties are only known through their statistical properties. This kind of data could be included into the coefficients of the PDE or can be modelized through an infinite dimensional diffusion term in the second member. The main purpose of the numerical investigations concerning SPDEs is the estimation of the joint probability distribution of its solution, and practically the estimation of some moments or some event's probabilities. The discretization of the noise's information in the small scales implies a large number of additionnal parameters and yields, in general, problems. The first and most popular method used usually is the Monte Carlo method. It relies upon the simulation of a large number of trajectories of the noise followed by the numerical integration of the associated SPDE's solution. Its main advantage is its simplicity and its capacity to be parallelized. Nevertheless, its main drawback is the rather slow convergence due to the unit cost of numerical integration of each trajectory which depend on the deterministic method used, the problem's dimension. Also the convergence can be slowed down because of the large variance of the statistical moments we want to estimate. A second approach consists in the chaos expansion of the coefficients based on a reference measure (Wiener's mesure e.g.). It will be the main purpose of this thesis. We will describe how such an expansion can be made possible in the SPDEs' framework, through the examples of the KdV and Burgers stochastic equations, in order to obtain statistical moments of the solutions but also in order to reduce wariance within a Monte Carlo method

Cette thèse contribue à un ensemble de travaux consacrés à l’étude d’un schéma ENO centré-sommet (CENO) d’ordre élevé ainsi qu’à l’adaptation de maillage anisotrope pour des calculs de Mécaniques des Fluides précis à l’ordre 3. La première partie des travaux de cette thèse est consacré à une analyse approfondie de la précision du schéma CENO et à la création de termes correcteurs pour améliorer ses propriétés dispersives et dissipatives en une et deux dimensions. On propose un schéma CENO quadratique précis à l’ordre 3, puis cubique précis à l’ordre 4, pour les équations d’Euler des gaz compressibles, ainsi qu’ une première version du schéma avec capture de choc monotone. La deuxième partie des travaux est consacrée à la mise au point d’une plateforme numérique d’adaptation de maillage anisotrope multi-échelle et basée fonctionnelle intégrant le schéma CENO. Nous proposons un nouvel estimateur d’ordre 3 du schéma quadratique basé sur une reconstruction de hessien équivalent et son application à des simulations d’acoustiques instationnaire et de Scramjet stationnaire utilisant nos limiteurs. / This thesis presents to an assembly of work dedicated to the study of high order vertex-centred ENO scheme (CENO) and to anisotropic mesh adaptation for third-order accurate Fluid Mecanics problems. The thesis is structured in two parts. The first part is devoted to a thorough analysis of the CENO scheme accuracy and to the constuction of some corrector terms meant for improving the dissipative and dispersive properties for 1D and 2D numerical problems. We proposed a quadratique third-order accurate CENO scheme, then a cubic fourth-order accurate one, applied to Euler equations for compressible flows. A first monotone, shock capturing version of these scheme is also introduced in the first part. The second part of the thesis focuses on the implementation of a numerical platform for anisotropic multi-scale and goal-oriented mesh adaptivity involving the CENO scheme. A new third-order error estimator for the quadratic scheme is proposed, here based on a reconstuction of the Hessian. Numerical exemples for unsteady acoustic problems and a steady Scramjet problem computed with monotony preserving limiters are presented for validation of the theoretical results.

L'objet de cette thèse est l'étude d'un système différentielle non linéaire issu d'un modèle stellaire. Après réduction et changements d'inconnues et variables, on se ramène à un second membre analytique en chacune des variables du problème ainsi qu'en des fonctions bien choisies. Nous montrons ensuite que les solutions peuvent s'écrire dans un espace de séries absolument convergentes. Ce théorème d'existence servira alors de brique élémentaire à une méthode de réduction de type Fuchsienne. L'objectif étant d'obtenir un développement sous forme de série faisant apparaître de manière explicite les différentes constantes arbitraires inhérentes à ce type d'équations. / The object of this thesis is the study of a non linear differential equation stemming from a stellar model. After reduction and unknowns changes and variables, we achieve to an analytic second member in each of the problem variables and well chosen functions. Then we show that the solutions can be described in a space of absolute convergent series. This theorem of existence will be used as an elementary brick to a nearby method of Fuchsian reduction. The objective was to obtain a development which elicits arbitrary various constants inherent to this type of equations.

L'objectif principal de cette thèse est l'étude des problèmes et des applications qu'ils se développent dans le domaine de la nanophotonique. Plus précisément, nous considérons les structures de métaux nobles où les modèles de dispersion locaux sont insuffisants et la non-localité doit être incluse dans le modèle. Ici, le système physique sous-jacent est typiquement modélisé comme des équations de Maxwell couplées à des lois de dispersion spatio-temporelles dans le régime des longueurs d'onde optiques. Bien que les solutions analytiques puissent être dérivées pour un petit nombre de problèmes, cela n'est généralement pas possible pour les dispositifs du monde réel, qui présentent souvent des géométries complexes et des compositions de matériaux. Suite à une analyse rigoureuse des propriétés physiques et mathématiques du modèle continu original, nous proposons une méthode de type à éléments finis d'ordre élevé pour discrétiser le modèle continu dans l'espace et le temps. Les méthodes discontinues Galerkin (DG) sont bien établies pour la discrétisation spatiale des équations de Maxwell. Cette thèse prolonge les travaux antérieurs sur les systèmes couplés des équations de Maxwell et les lois de dispersion spatiale. Nous utilisons des méthodes explicites de Runge-Kutta (RK) d'ordre élevé pour la discrétisation temporelle. L'intégration temporelle RK garantit un ordre de convergence espace-temps élevé du schéma entièrement discret, qui repose sur un schéma de preuve de convergence. Parallélisme MPI (Message Passing Interface), éléments curvilignes et PML (Perfectly Matched Layers) autour des aspects d'implémentation et d'évaluation des performances dans le cadre du logiciel développé à Inria Sophia Antipolis-Méditerannée (DIOGENES). La méthode développée est appliquée à de nombreuses simulations nanophotoniques réelles de dispositifs où des observables tels que la réflexion, la section transversale (CS) et la spectroscopie de perte d'énergie électronique (EELS) sont étudiés. Entre autres, nous élaborons une feuille de route pour un étalonnage expérimental robuste du modèle de dispersion non local linéarisé basé sur la solution de problèmes inverses et la quantification d'incertitude (UQ) des paramètres géométriques stochastiques. Nous avons également amélioré les accords de simulations numériques non locales et les résultats expérimentaux pour la résonance des plasmons d'espacement des nano-cubes d'argent. Cela démontre la pertinence de simulations non locales précises. / The main objective of this thesis is the study of problems and applications as they arise in the field of nanophotonics. More speci cally, we consider noble metal structures where local dispersion models are insu cient and nonlocality has to be included in the model. Here, the underlying physical system is typically modeled as Maxwell’s equations coupled to spatio- temporal dispersion laws in the regime of optical wavelengths. While analytical solutions can be derived for a small number of problems, this is typically not possible for real-world devices, which often feature complicated geometries and material compositions. Following a rigorous analysis of the physical and mathematical properties of the original continuous model, we propose a high order finite element type method for discretizing the continuous model in space and time. Discontinuous Galerkin (DG) methods are well established for the spatial discretization of Maxwell’s equations. This thesis extends previous work on the coupled systems of Maxwell’s equations and spatial dispersion laws. We use explicit high-order Runge-Kutta (RK) methods for the subsequent time discretiz- ation. RK time integration guarantees a high space-time convergence order of the fully-discrete scheme, which is underpinned by a sketch of a convergence proof. Message Passing Interface (MPI) parallelization, curvilinear elements and Perfectly Matched Layers (PMLs) round of implementation aspects and performance assessments in the scope of the Software developed at Inria Sophia Antipolis-Méditerannée (DIOGENeS). The developed method is applied to numerous real-world nanophotonics simulations of devices where observables like re ectance, Cross Section (CS) and Electron Energy Loss Spectroscopy (EELS) are studied. Inter alia, we elaborate a roadmap for a robust experimental calibration of the linearized nonlocal disper- sion model based on the solution of inverse problems and Uncertainty Quanti cation (UQ) of stochastic geometric parameters. We also find improved agreements of nonlocal numerical simulations and exper- imental results for the gap-plasmon resonance of silver nano-cubes. This demonstrates the relevance of accurate nonlocal simulations.

Cette thèse a pour but de résoudre certains problèmes de connexion et de décrire diverses propriétés asymptotiques des fonctions de Painlevé V et I. Dans le cas de l’équation de Painlevé V, nous approchons ces problèmes en développant une nouvelle approche basée sur la théorie conforme des champs bidimensionelle. Nous proposons de calculer les blocs conformes irréguliers de première et seconde espèce par confluence des blocs conformes réguliers de Virasoro. Une conséquence de cette construction est la solution du problème de connexion de l’équation de Painlevé V entre 0 et +i∞. Les formules pour les normalisations relatives (constantes de connexion) de la fonction tau de Painlevé V entre 0, +∞, et +i∞ sont également proposées. Enfin, le développement asymptotique complet de la fonction tau à courte distance pour des données de monodromie génériques est prouvé. Ce résultat est obtenu en construisant une représentation de la fonction tau en termes d’un déterminant de Fredholm. Dans le cas de l’équation de Painlevé I, nous présentons les constantes de connexion relatant les asymptotiques de la fonction tau sur les cinq raies canoniques à l’infini. Ce résultat est obtenu en construisant une extension de la forme différentielle de Jimbo-Miwa-Ueno à l’espace des données de monodromie. Ces constantes de connexion sont exprimées en termes de dilogarithmes de coordonnées de type cluster dans l’espace des données de Stokes. / The aim of this thesis is to solve several connection problems and describe asymptotic properties of Painlevé V and I functions. In the case of Painlevé V equation, we approach these problems by developing a new toolbox based on two dimensional conformal field theory. We propose to compute irregular conformal blocks of the first and second kind by confluence of regular Virasoro conformal blocks. One consequence of this construction is the solution of the connection problem for Painlevé V equation between 0 and +i∞. Formulas for the relative normalizations (connection constants) of Painlevé V tau function between 0, +∞, and +i∞ are also proposed. Finally, the full asymptotic expansion of the tau function at short distances for generic monodromy data is proved. This result is obtained by constructing a Fredholm determinant representation for the tau function. In the case of Painlevé I equation, we present connection constants relating asymptotics of the tau function on the five canonical rays at infinity. This result is obtained by extending the definition of the Jimbo-Miwa-Ueno differential to the space of monodromy data. These connection constants are expressed in terms of dilogarithms of cluster type coordinates on the space of Stokes data.

Les phénomènes de croissance et de fragmentation jouent un rôle central dans de nombreux phénomènes biologiques. La première partie de ce manuscript concerne un modèle de l'activité électrique d'un réseau de neurones. Il s'agit d'une équation de croissance-fragmentation non linéaire. Grâce à une technique introduite par B. Perthame et L. Ryzhik, dans un cas particulier, nous quantifions des régimes dans lequels cette équation se relaxe avec un taux exponentiel. La deuxième et la troisième parties traitent de problèmes inverses. Le premier concerne l'équation de croissance-fragmentation ayant un noyau auto-similaire et le second un modèle de transduction olfactive. Après régularisations adéquates, ces deux problèmes reviennent à inverser des opérateurs intégraux dont les noyaux ont une structure auto-similaire. Grâce à la transformée de Mellin des inégalités de continuité et controlabilité de l'opérateur intégral sont établies. à partir de données expérimentales, ces études permettent d'estimer des paramètres importants des équations pour lesquels aucune mesure expérimentale directe n'est possible. La quatrième partie traite d'un modèle probabiliste de sénescence réplicative d'une lignée aléatoire de levures. En se basant sur des données expérimentales et des simulations numériques, le signal de sénescence est identifié et quantifié, et les sources de l'hétérogénéité des tailles des télomères sont analysées. Le modèle permet de mener une analyse complète de l'évolution des tailles des télomères. / Growth and fragmentation phenomena play a central role in several biological phenomena. The first part of this thesis introduces a model of the electrical activity of a neural network. The equation involved is a non-linear growth-fragmentation equation. Thanks to a technique introduced by B. Perthame and L. Ryzhik, in a particular case, we are able to quantify regimes in which the equation has an exponential relaxation. The second and third part of this thesis both deal with inverse problems. The first one involves a growth-fragmentation equation with a self-similar kernel and the second one is a model of olfactive transduction. After regularization steps, these two problems come down to invert some integral operators whose kernels have a self-similar structure. Thanks to the use of the Mellin transform, some continuity and controllability inequalities are established. Using experimental data, these studies make it possible to estimate important parameters of the equations for which no direct experimental measurements can be obtained. The fourth part deals with a probabilistic model of replicative senescence of a random yeast lineage. Based on experimental data and numerical simulations, the senescence signal is identified and quantified, and the different sources of heterogeneity in the lengths of the telomeres are analyzed. This model allows us to completely analyze the evolution of the lengths of the telomeres.

L'étude des systèmes aux équations différentielles ordinaires vise à prédire le futur des systèmes considérés. La connaissance de l'évolution dans le temps de toutes les variables d' état du modèle permet de prédire de possibles changements radicaux des variables ou des défaillances, par exemple, un moteur peut exploser, un pont peut s'écrouler, une voiture peut se mettre à consommer plus d'essence. De plus, les systèmes dynamiques peuvent contenir des dérivées spatiales et leur discrétisation peut ajouter un très grand nombre d'équations. La résolution des équations différentielles ordinaires est alors une étape essentielle dans la construction des systèmes physiques en terme de dimensionnement et de faisabilité. Le solveur de tels systèmes EDOs doit être rapide, précis et pertinent.En pratique, il n'est pas possible de trouver une fonction continue qui soit solution exacte du problème EDO. C'est pourquoi, des méthodes numériques sont utilisées afin de donner des solutions discrèes qui approchent la solution continue avec une erreur contrôlable. La gestion précise de ce contrôle est très importante afin d'obtenir une solution pertinente en un temps raisonnable.Cette thèse développe un nouveau solveur qui utilise plusieurs méthodes d'amélioration de la vitesse d'exécution des systèmes EDOs. La première méthode est l'utilisation d'un nouveau schéma numérique. Le but est de minimiser le coût de l'intégration en produisant une erreur qui soit le plus proche possible de la tolérance maximale permise par l'utilisateur du solveur. Une autre méthode pour améliorer la vitesse d'exécution est de paralléliser le solveur EDO en utilisant une architecture multicoeur et multiprocesseur. Enfin, le solveur a été testé avec différentes applications d'OpenModelica. / The study of systems of Ordinary Differential Equations aims at predicting the future of the considered systems. The access to the evolution of all states of a system's model allows us to predict possible drastic shifts of the states or failures, e.g. an engine blowing up, a bridge collapsin, a car consuming more gasoline etc. Solving ordinary differential equations is then an essential step of building industrial physical systems in regard to dimensioning and reliability. The solver of such ODE systems needs to be fast, accurate and relevant.In practice, it is not possible to find a continuous function as the exact solution of the real ODE problem. Consequently numerical methods are used to give discrete solutions which approximates the continuous one with a controllable error. The correct handline of this control is very important to get a relevant solution within an acceptable recovery time. Starting from existing studies of local and global errors, this thesis work goes more deeply and adjusts the time step of the integration time algorithm and solves the problem in a very efficient manner.A new scheme is proposed is this thesis, to minimize the cost of integration. Another method to improve the execution speed is to parallelize the ODE solver by using a multicore and a multiprocessor architecture. Finally, the solver has been tested with different applications from OpenModelica.

La résolution numérique directe des problèmes de transport de photons en interaction avec un milieu matériel est très coûteuse en mémoire et temps CPU. Pour pallier ce problème, une méthode consiste à construire des modèles réduits dont la résolution est moins coûteuse. La littérature abonde de ce genre de modèles : modèles probabilistes (Monte-Carlo), modèles aux moments (M₁, PN), modèles aux ordonnées discrètes (SN), modèles de diffusion... Dans cette thèse, nous nous intéressons aux modèles PN dans lesquels l'opérateur de transport est approché par projections sur une base tronquée d'harmoniques sphériques. Ces modèles ont l'avantage d'être arbitrairement précis sur la dimension angulaire et ne présentent pas les défauts connus des autres méthodes (bruit stochastique, "effets de raies") pouvant briser les éventuelles symétries du problème. Ce dernier point est capital pour la simulation d'expériences de fusion par confinement inertiel (FCI) où la symétrie sphérique joue un rôle important dans la précision des résultats. Nous étudions donc dans cette thèse la structure mathématique des modèles PN ainsi que leur discrétisation dans le cas d'une géométrie 1D sphérique.Nous commençons par le cas du transport linéaire dans le vide. Même dans ce cas simple, les équations du modèle PN contiennent des termes sources d'origine géométrique dont la discrétisation s'avère délicate. Jusqu'à présent, les différents schémas utilisés étaient insatisfaisants pour les raisons suivantes : (1) mauvais comportement au voisinage de r = 0 (phénomène de "flux-dip"), (2) non préservation des équilibres stationnaires, (3) pas de preuve formelle de stabilité. À la lumière de récents travaux, nous proposons une nouvelle discrétisation qui capture exactement les états d'équilibres. Nous démontrons en particulier la stabilité en norme L² du schéma. Nous étendons par la suite ce schéma au cas du transport de photons dans un milieu matériel figé et nous nous intéressons au comportement du schéma en limite diffusion (propriété "asymptotic-preserving").Dans un second temps, nous nous intéressons au couplage entre rayonnement et hydrodynamique. Devant l'absence de consensus sur les modèles "transport" d'hydrodynamique radiative issus de la littérature, nous établissons une étude comparative de ceux-ci basée sur leurs propriétés mathématiques. Nous nous intéressons particulièrement aux propriétés suivantes : (1) conservation de l'énergie et de l'impulsion, (2) précision des effets comobiles, (3) existence d'une entropie mathématiques compatible et (4) restitution de la limite diffusion. Notre étude se réduit aux modèles dits "mixed-frame" et une attention particulière est toujours portée sur l'approximation "PN" de l'opérateur de transport. Nous identifions des défauts (conservation ou entropie) sur des modèles existants et proposons une correction entropique conduisant à un modèle PN satisfaisant toutes les propriétés mathématiques listées ci-dessus. / Computational costs for direct numerical simulations of photon transport problemsare very high in terms of CPU time and memory. One way to tackle this issue is todevelop reduced models that a cheaper to solve numerically. There exists number of these models : moments models, discrete ordinates models (SN), diffusion-like models... In this thesis, we focus on PN models in which the transport operator is approached by mean of a truncated development on the spherical harmonics basis. These models are arbitrary accurate in the angular dimension and are rotationnaly invariants (in multiple space dimensions). The latter point is fundamental when one wants to simulate inertial confinment fusion (ICF) experiments where the spherical symmetry plays an important part in the accuracy of the numerical solutions. We study the mathematical structure of the PN models and construct a new numerical method in the special case of a one dimensionnal space dimension with spherical symmetry photon transport problems. We first focus on a linear transport problem in the vacuum. Even in this simple case, it appears in the PN equations geometrical source terms that are stiff in the neighborhood of r = 0 and thus hard to discretise. Existing numerical methods are not satisfactory for multiple reasons : (1) unaccuracy in the neighborhood of r = 0 ("flux-dip"), (2) do not capture steady states (well-balanced scheme), (3) no stability proof. Following recent works, we develop a new well-balanced scheme for which we show the L² stability. We then extend the scheme for photon transport problems within a no moving media, the linear Boltzmann equation, and interest ourselves on its behavior in the diffusion limit (asymptotic-preserving property). In a second part, we consider radiation hydrodynamics problems. Since modelisation of these problems is still under discussion in the litterature, we compare a set of existing models by mean of mathematical analysis and establish a hierarchy. For each model, we focus on the following mathematical properties : (1) energy and impulsion conservation, (2) accuracy of the comobile effects, (3) existence of a mathematical entropy and (4) behavior in the diffusion limit. Our study reduces to « laboratory frame » models and we are still interested in the PN approximation of the transport operator. We identify defects in entropy structure of existing models and propose an entroy correction which leads to PN-based radiation hydrodynamics models which satisfy all the properties listed above.