Un système est défini par les entités et leurs interrelations dans un environnement qui est déterminé par une limite arbitraire. Les systèmes complexes présentent un comportement émergent sans un contrôleur central. Les systèmes concrets désignent ceux qui sont observables dans la réalité. Un modèle nous permet de comprendre, de contrôler et de prédire le comportement du système. Un modèle différentiel à partir d'un système pourrait être compris comme une sorte de loi physique sous-jacent représenté par l'un ou d'un ensemble d'équations différentielles. Ce travail vise à étudier et mettre en œuvre des méthodes pour effectuer la modélisation des systèmes automatisée par l'ordinateur. Cette thèse pourrait être divisée en trois étapes principales, ainsi: (1) le développement d'un solveur numérique automatisé par l'ordinateur pour les équations différentielles linéaires, partielles ou ordinaires, sur la base de la formulation de matrice pour une personnalisation propre de la méthode Ritz-Galerkin; (2) la proposition d'un schème de score d'adaptation qui bénéficie du solveur numérique développé pour guider l'évolution des modèles différentiels pour les systèmes complexes concrets; (3) une implémentation préliminaire d'une application de programmation génétique pour effectuer la modélisation des systèmes automatisée par l'ordinateur. Dans la première étape, il est montré comment le solveur proposé utilise les polynômes de Jacobi orthogonaux comme base complète pour la méthode de Galerkin et comment le solveur traite des conditions auxiliaires de plusieurs types. Solutions à approximations polynomiales sont ensuite réalisés pour plusieurs types des équations différentielles partielles linéaires, y compris les problèmes hyperboliques, paraboliques et elliptiques. Dans la deuxième étape, le schème de score d'adaptation proposé est conçu pour exploiter certaines caractéristiques du solveur proposé et d'effectuer l'approximation polynômiale par morceaux afin d'évaluer les individus différentiels à partir d'une population fournie par l'algorithme évolutionnaire. Enfin, une mise en œuvre préliminaire d'une application GP est présentée et certaines questions sont discutées afin de permettre une meilleure compréhension de la modélisation des systèmes automatisée par l'ordinateur. Indications pour certains sujets prometteurs pour la continuation de futures recherches sont également abordées dans ce travail, y compris la façon d'étendre ce travail à certaines classes d'équations différentielles partielles non-linéaires. / A system is defined by its entities and their interrelations in an environment which is determined by an arbitrary boundary. Complex systems exhibit emergent behaviour without a central controller. Concrete systems designate the ones observable in reality. A model allows us to understand, to control and to predict behaviour of the system. A differential model from a system could be understood as some sort of underlying physical law depicted by either one or a set of differential equations. This work aims to investigate and implement methods to perform computer-automated system modelling. This thesis could be divided into three main stages: (1) developments of a computer-automated numerical solver for linear differential equations, partial or ordinary, based on the matrix formulation for an own customization of the Ritz-Galerkin method; (2) proposition of a fitness evaluation scheme which benefits from the developed numerical solver to guide evolution of differential models for concrete complex systems; (3) preliminary implementations of a genetic programming application to perform computer-automated system modelling. In the first stage, it is shown how the proposed solver uses Jacobi orthogonal polynomials as a complete basis for the Galerkin method and how the solver deals with auxiliary conditions of several types. Polynomial approximate solutions are achieved for several types of linear partial differential equations, including hyperbolic, parabolic and elliptic problems. In the second stage, the proposed fitness evaluation scheme is developed to exploit some characteristics from the proposed solver and to perform piecewise polynomial approximations in order to evaluate differential individuals from a given evolutionary algorithm population. Finally, a preliminary implementation of a genetic programming application is presented and some issues are discussed to enable a better understanding of computer-automated system modelling. Indications for some promising subjects for future continuation researches are also addressed here, as how to expand this work to some classes of non-linear partial differential equations.

La prise en compte de l'hétérogénéité spatiale des bassins versants est nécessaire pour répondre aux divers enjeux liés à la gestion des ressources en eaux, tant au niveau quantitatif que qualitatif. Les modèles hydrologiques spatialisés permettent de prendre en compte l'hétérogénéité des surfaces continentales et des données d'entrée dans la modélisation du cycle de l'eau. La revue bibliographique réalisée dans la première partie a permis d'aborder différents aspects de la problématique de la prise en compte de l'hétérogénéité spatiale dans les modèles hydrologiques. Cette revue a débouché sur la proposition d'une méthode de découpage spatiale suivant trois niveaux emboîtés, de manière à adapter la description de l'hétérogénité spatiale des bassins versants à la question posée. Le premier niveau consiste en un découpage en sous-bassins (REWs) organisés autour du réseau hydrographique. Le second niveau de discrétisation (hydro-paysages) permet de décrire l'hétérogénéité spatiale des REWs. Nous avons proposé un cadre méthodologique pour le découpage en hydro-paysages. Le troisième niveau permet d'obtenir les mailles finales de la modélisation après redécoupage éventuel des hydro-paysages en fonction de contraintes numériques. Un exemple sur le Haut-bassin de la Saône permet d'illustrer l'ensemble de la démarche. La méthodologie proposée est associée à une modélisation flexible permettant d'adapter le découpage spatial à l'échelle des données disponibles et à l'échelle des processus hydrologiques à modéliser. Dans la deuxième partie de la thèse, nous avons présenté les outils utilisés pour réaliser des modélisations hydrologiques ‘à la carte', basés sur la plate-forme de modélisation LIQUID qui a servi de support à notre travail. Afin de prendre en compte dans la modélisation, les mailles non-structurées issues du découpage spatial proposé, nous avons développé un modèle de simulation des tranferts latéraux dans la zone saturée. Il résout l'équation de Boussinesq 2D sur un maillage irrégulier mais conforme. Différents tests ont été réalisés pour valider le modèle. Nous avons enfin abordé, sur quelques exemples simples, la problématique du couplage de différents modules en partant de ce module saturé et en étudiant le couplage avec les écoulements dans la rivière et la zone non saturée.

Les méthodes de type quasi-Monte Carlo sont des versions déterministes des méthodes de Monte Carlo. Les nombres aléatoires sont remplacés par des nombres déterministes qui forment des ensembles ou des suites à faible discrepance, ayant une meilleure distribution uniforme. L'erreur d'une méthode quasi-Monte Carlo dépend de la discrepance de la suite utilisée, la discrepance étant une mesure de la déviation par rapport à la distribution uniforme. Dans un premier temps nous nous intéressons à la résolution par des méthodes quasi-Monte Carlo d'équations différentielles pour lesquelles il y a peu de régularité en temps. Ces méthodes consistent à formuler le problème avec un terme intégral pour effectuer ensuite une quadrature quasi-Monte Carlo. Ensuite des méthodes particulaires quasi-Monte Carlo sont proposées pour résoudre les équations cinétiques suivantes : l'équation de Boltzmann linéaire et le modèle de Kac. Enfin, nous nous intéressons à la résolution de l'équation de la diffusion à l'aide de méthodes particulaires utilisant des marches quasi-aléatoires. Ces méthodes comportent trois étapes : un schéma d'Euler en temps, une approximation particulaire et une quadrature quasi-Monte Carlo à l'aide de réseaux-$(0,m,s)$. A chaque pas de temps les particules sont réparties par paquets dans le cas des problèmes multi-dimensionnels ou triées si le problème est uni-dimensionnel. Ceci permet de démontrer la convergence. Les tests numériques montrent pour les méthodes de type quasi-Monte Carlo de meilleurs résultats que ceux fournis par les méthodes de type Monte Carlo.

Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s'intéresse au problème de trace au bord d'une solution positive de l'équation de Hamilton-Jacobi (E1) $-\Delta u+g(|\nabla u|)=0$ dans un domaine borné $\Omega$ de ${\mathbb R}^N$, satisfaisant (E2) $u = \mu$ sur $\partial \Omega$. Si $g(r) \geq r^q$ avec $q > 1$, on prouve que toute solution positive de (E1) admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière, pas nécessairement localement bornée. Si $g(r) = r^q$ avec $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ , on montre l'existence d'une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière $\nu \not \equiv \infty$ et on caractérise les singularités frontières isolées de solutions positives. Si $g(r) = r^q$ avec $q_c \leq q < 2$, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel $C_{\frac{2-q}{q},q'} . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque $k \to \infty$, de solutions d'équation $\partial_t u - \Delta u + f(u) =0$ dans ${\mathbb R}^N \times (0;\infty)$ avec donnée initiale $k\delta_0$ où $0$ est la masse de Dirac concentrée à l'origine et f est une fonction positive, continue, croissante et satisfaisant $f(0) = f^{-1}(0) = 0$. On prouve, sous certaines hypothèses portant sur f, qu'il existe essentiellement trois types de comportement possible en fonction des valeurs finies ou infinies des intégrales $\int_1^\infty f^{-1}(s)ds$ et $\int_1^\infty F^{-1/2}(s)ds$, où $F(s)=\int_0^s f(r)dr$. Grâce à ces résultats, on donne une nouvelle construction de la trace initiale et quelques résultats d'unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n'est pas bornée. Dans la troisième partie, on élargit le cadre de nos investigations et généralise les résultats obtenus dans la deuxième partie au cas où l'opérateur est non-linéaire. En particulier, on s'intéresse à des propriétés qualitatives de solutions positives de l'équation $ \partial_t u-\Delta_p u+f(u)=0$ où $p > 1, \Delta_p u = div(\abs{\nabla u}^{p-2}\nabla u)$ et $f$ est une fonction continue, croissante, positive et satisfaisant $f(0) = 0 = f^{-1}(0)$. Si $p > \frac{2N}{N+1}$, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l'existence et l'unicité des solutions fondamentales de données initiales $k\delta_0$ et on étudie la limite, lorsque $k \to \infty$, qui dépend du fait que $f^{-1}$ et $F^{-1/p}$ soient intégrables à l'infini ou pas, où $F(s) =\int_0^s f(r)dr. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si $p \geq 2$, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe de mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas modèle $f(u)=u^\alpha \ln^\beta(u+1)$ avec $\alpha>0$ et $\beta>0$.

La simulation numérique est aujourd'hui un outils majeur dans la conception des objets aérodynamiques, que ce soit dans l'aéronautique, l'automobile, l'industrie navale, etc... Un des défis majeurs pour repousser les limites des codes de simulation est d'améliorer leur précision, tout en utilisant une quantité fixe de ressources (puissance et/ou temps de calcul). Cet objectif peut être atteint par deux approches différentes, soit en construisant une discrétisation fournissant sur un maillage donné une solution d'ordre très élevé, soit en construisant un schéma compact et massivement parallélisable, de manière à minimiser le temps de calcul en distribuant le problème sur un grand nombre de processeurs. Dans cette thèse, nous tentons de rassembler ces deux approches par le développement et l'implémentation de Schéma Distribuant le Résidu (RDS) d'ordre très élevé et de compacité maximale. Ce manuscrit commence par un rappel des principaux résultats mathématiques concernant les Lois de Conservation hyperboliques (CLs). Le but de cette première partie est de mettre en évidence les propriétés des solutions analytiques que nous cherchons à approcher, de manière à injecter ces propriétés dans celles de la solution discrète recherchée. Nous décrivons ensuite les trois étapes principales de la construction d'un schéma RD d'ordre très élevé : \begin{itemize} \item la représentation polynomiale d'ordre très élevé de la solution sur des polygones et des polyèdres; \item la description de méthodes distribuant le résidu de faible ordre, compactes et conservatives, consistantes avec une représentation polynomiale des données de très haut degré. Parmi elles, une attention particulière est donnée à la plus simple, issue d'une généralisation du schéma de Lax-Friedrichs (LxF); \item la mise en place d'une procédure préservant la positivité qui transforme tout schéma stable et linéaire, en un schéma non linéaire d'ordre très élevé, capturant les chocs de manière non oscillante. \end{itemize} Dans le manuscrit, nous montrons que les schémas obtenus par cette procédure sont consistants avec la CL considérée, qu'ils sont stables en norme $\L^{\infty}$ et qu'ils ont la bonne erreur de troncature. Même si tous ces développements théoriques ne sont démontrés que dans le cas de CL scalaires, des remarques au sujet des problèmes vectoriels sont faites dès que cela est possible. Malheureusement, lorsqu'on considère le schéma LxF, le problème algébrique non linéaire associé à la recherche de la solution stationnaire est en général mal posé. En particulier, on observe l'apparition de modes parasites de haute fréquence dans les régions de faible gradient. Ceux-ci sont éliminés grâce à un terme supplémentaire de stabilisation dont les effets et l'évaluation numérique sont précisément détaillés. Enfin, nous nous intéressons à une discrétisation correcte des conditions limites pour le schéma d'ordre élevé proposé. Cette théorie est ensuite illustrée sur des cas test scalaires bidimensionnels simples. Afin de montrer la généralité de notre approche, des maillages composés uniquement de triangles et des maillages hybrides, composés de triangles et de quadrangles, sont utilisés. Les résultats obtenus par ces tests confirment ce qui est attendu par la théorie et mettent en avant certains avantages des maillages hybrides. Nous considérons ensuite des solutions bidimensionnelles des équations d'Euler de la dynamique des gaz. Les résultats sont assez bons, mais on perd les pentes de convergence attendues dès que des conditions limite de paroi sont utilisées. Ce problème nécessite encore d'être étudié. Nous présentons alors l'implémentation parallèle du schéma. Celle-ci est analysée et illustrée à travers des cas test tridimensionnel de grande taille. Du fait de la relative nouveauté et de la complexité des problèmes tridimensionels, seuls des remarques qualitatives sont faites pour ces cas test : le comportement global semble être bon, mais plus de travail est encore nécessaire pour définir les propriétés du schémas en trois dimensions. Enfin, nous présentons une extension possible du schéma aux équations de Navier-Stokes dans laquelle les termes visqueux sont traités par une formulation de type Galerkin. La consistance de cette formulation avec les équations de Navier-Stokes est démontrée et quelques remarques au sujet de la précision du schéma sont soulevées. La méthode est validé sur une couche limite de Blasius pour laquelle nous obtenons des résultats satisfaisants. Ce travail offre une meilleure compréhension des propriétés générales des schémas RD d'ordre très élevé et soulève de nouvelles questions pour des améliorations futures. Ces améliorations devrait faire des schémas RD une alternative attractive aux discrétisations classiques FV ou ENO/WENO, aussi bien qu'aux schémas Galerkin Discontinu d'ordre très élevé, de plus en plus populaires.

La thèse est consacrée au développement de nouvelles méthodes de modélisations mathématiques en biologie et en médecine, du type "off-lattice" modèles hybrides discret-continus, et de leurs applications à l'hématopoïèse et aux maladies sanguines telles la leucémie et l'anémie. Dans cette approche, les cellules biologiques sont considérées comme des objets discrets alors que les réseaux intracellulaire et extracellulaire sont décrits avec des modèles continus régis par des équations aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires. Les cellules interagissent mécaniquement et biochimiquement entre elles et avec le milieu environnant. Elles peuvent se diviser, mourir par apoptose ou se différencier. Le comportement des cellules est déterminé par le réseau de régulation intracellulaire et influencé par le contrôle local des cellules voisines ou par la régulation globale d'autres organes. Dans la première partie de la thèse, les modèles hybrides du type "off-lattice" dynamiques sont introduits. Des exemples de modèles, spécifiques aux processus biologiques, qui décrivent au sein de chaque cellule la concurrence entre la prolifération et l'apoptose, la prolifération et la différenciation et entre le cycle cellulaire et de l'état de repos sont étudiés. L'émergence des structures biologiques est étudiée avec les modèles hybrides. L'application à la modélisation des filamente de bactéries est illustrée. Dans le chapitre suivant, les modèle hybrides sont appliqués afin de modéliser l'érythropoïèse ou production de globules rouges dans la moelle osseuse. Le modèle inclut des cellules sanguines immatures appelées progéniteurs érythroïdes, qui peuvent s'auto-renouveler, se différencier ou mourir par apoptose, des cellules plus matures appelées les réticulocytes, qui influent les progéniteurs érythroïdes par le facteur de croissance Fas-ligand, et des macrophages, qui sont présents dans les îlots érythroblastiques in vivo. Les régulations intracellulaire et extracellulaire par les protéines et les facteurs de croissance sont précisées et les rétrocontrôles par les hormones érythropoïétine et glucocorticoïdes sont pris en compte. Le rôle des macrophages pour stabiliser les îlots érythroblastiques est montré. La comparaison des résultats de modélisation avec les expériences sur l'anémie chez les souris est effectuée. Le quatrième chapitre est consacré à la modélisation et au traitement de la leucémie. L'érythroleucémie, un sous-type de leucémie myéloblastique aigüe (LAM), se développe à cause de la différenciation insuffisante des progéniteurs érythroïdes et de leur auto-renouvellement excessif. Un modèle de type "Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamic" du traitement de la leucémie par AraC et un modèle de traitement chronothérapeutique de la leucémie sont examinés. La comparaison avec les données cliniques sur le nombre de blast dans le sang est effectuée. Le dernier chapitre traite du passage d'un modèle hybride à un modèle continu dans le cas 1D. Un théorème de convergence est prouvé. Les simulations numériques confirment un bon accord entre ces deux approches.

Ce mémoire se propose d'examiner le comportement asymptotique en temps long des fluides visqueux bidimensionnels, homogènes ou faiblement inhomogènes. On y examine souvent la dynamique des écoulements en fonction de l'évolution de la densité et, plutôt que de la vitesse, du vecteur de rotation instantanée appelé tourbillon ou vorticité. Les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne ont mis en relief le rôle primordial d'une famille de solutions auto-similaires --- les tourbillons d'Oseen ou vortex --- pour décrire l'asymptotique des écoulements à densité constante. Toute solution de l'équation de Navier-Stokes, ayant une mesure finie comme tourbillon initial et de circulation non nulle, est asymptotique en temps long à un tourbillon d'Oseen. Le résultat de Gallay et Wayne ne présente que l'inconvénient de ne pas être explicite, la première tâche de ce mémoire est de l'expliciter, ce qui fournit ainsi une borne sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. On montre ensuite que les tourbillons d'Oseen sont asymptotiquement stables en tant que fluides à densité variable, retrouvant également, par là-même, le résultat de Gallay et Wayne pour des écoulements incompressibles faiblement inhomogènes et lents. Quant aux fluides compressibles faiblement inhomogènes, on établit qu'ils se comportent essentiellement comme des fluides à densité constante dès lors que l'on considère des écoulements lents et de circulation nulle.

Ce mémoire comprend les chapitres : 1) Introduction 2) La généricité et les notions de "presque toujours" 3) Dynamique générique des équations paraboliques 4) Dissipativit é de l'équation des ondes amorties et application au contrôle global 5) Etude de fronts dans des EDP dissipatives

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes : la première partie traite des équations différentielles stochastiques dans le cadre de la G-espérance, tandis que la deuxième partie présente les résultats obtenus pour les équations différentielles stochastiques du seconde ordre. Dans un premier temps, on considère les intégrales stochastiques par rapport à un processus croissant, et on donne une extension de la formule d'Itô dans le cadre de la G-espérance. Ensuite, on étudie une classe d'équations différentielles stochastiques réfléchies unidimensionnelles dirigées par un G-mouvement brownien. Dans la suite, en utilisant une méthode de localisation, on prouve l'existence et l'unicité de solutions pour les équations différentielles stochastiques dirigées par un G-mouvement brownien, dont les coefficients sont localement lipschitziens. Enfin, dans le même cadre, on discute des problèmes de réflexion multidimensionnelle et on fournit quelques résultats de convergence. Dans un deuxième temps, on étudie une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du seconde ordre à croissance quadratique. Le but de ce travail est de généraliser le résultat obtenu par Possamaï et Zhou en 2012. On montre aussi l'existence et l'unicité des solutions pour ces équations, mais sous des hypothèses plus faibles. De plus, ce résultat théorique est appliqué aux problèmes de maximisation robuste de l'utilité du portefeuille en finance.

Dans cette thèse, nous étudions l'existence, non existence et multiplicité des ondes stationnairesavec les normes prescrites pour deux types d'équations aux dérivées partiellesnon linéaires elliptiques découlant de différents modèles physiques. La stabilité orbitale desondes stationnaires est également étudiée dans certains cas. Les principales méthodes denos preuves sont des arguments variationnels. Les solutions sont obtenues comme pointscritiques de fonctionnelle associée sur une contrainte.La thèse se compose de sept chapitres. Le Chapitre 1 est l'introduction de la thèse. Dansles Chapitres 2 à 4, nous étudions une classe d'équations de Schrödinger-Poisson-Slaternon linéaires. Nous établissons dans le Chapitre 2 des résultats optimaux non existencede solutions d'énergie minimale ayant une norme L2 prescrite. Dans le Chapitre 3, nousmontrons un résultat d'existence de solutions L2 normalisées, dans une cas où la fonctionnelleassociée n'est pas bornée inférieurement sur la contrainte. Nos solutions sonttrouvées comme des points de selle de la fonctionnelle, mais ils correspondent à des solutionsd'énergée minimale. Nous montrons également que les ondes stationnaires associéessont orbitalement instables. Ici, puisque nos points critiques présumés ne sont pas desminimiseurs globaux, il n'est pas possible d'utiliser de façon systématique les méthodesde compacité par concentration développées par P. L. Lions. Ensuite, dans le Chapitre4, nous montrons que sous les hypothèses du Chapitre 3, il existe une infinité de solutionsayant une norme L2 prescrite. Dans les deux chapitres suivants, nous étudions uneclasse d'équations de Schrödinger quasi-linéaires. Des résultats optimaux non existence desolutions d'énergie minimale sont donnés dans le Chapitre 5. Dans le Chapitre 6, nousprouvons l'existence de deux solutions positives ayant une norme donnée. L'une d'elles,relativement à la contrainte L2, est de type point selle. L'autre est un minimum, soit localou global. Le fait que la fonctionnelle naturelle associée à cette équation n'est pas biendéfinie nécessite l'utilisation d'une méthode de perturbation pour obtenir ces deux pointscritiques. Enfin, au Chapitre 7, nous mentionnons quelques questions que cette thèse asoulevées.