Dans cette thèse, on étudie deux modèles décrivant l'évolution d'un bassin sédimentaire sous une contrainte sur le taux d'érosion. Ces modèles sont obtenus par l'application de la loi de conservation de masse sur le flux de matières, ce qui conduit à l'équation de Darcy ou à l'équation de Darcy-Barenblatt selon l'expression du flux choisie parmi deux expressions possibles d'après les géologues. L'équation de Darcy-Barenblatt est obtenue de celle de Darcy en ajoutant un terme de diffusion. En outre, la contrainte d'érosion maximale est implicitement contenue dans la formulation du modèle de Darcy-Barenblatt mais pas dans celle de Darcy en dimension 2. Après la présentation de ces modèles dans l'introduction de la thèse, la première partie est consacrée au modèle de Darcy-Barenblatt. On a obtenu un résultat d'existence d'une solution par une méthode de point fixe de Schauder-Tikhonov. Ensuite, on a montré un résultat de régularité en utilisant des résultats de Meyers et de Necas sur les équations elliptiques à coefficients höldériens, ce résultat de régularité est propre à une dimension inférieur ou égale à 2. La première partie se termine par la démonstration d'un résultat d'unicité de la solution. Le modèle de Darcy est étudié dans la deuxième partie de la thèse, on a obtenu une solution du problème discrétisé en temps, mais en dimension 2 d'espace le passage à la formulation continue fait apparaitre des produits de deux convergences faibles et soulève des difficultés théoriques non surmontées. En dimension 1, on a obtenu une solution continue pour le cas de la sédimentation marine en résolvant un problème à frontière libre de type Bernoulli d'évolution.

Le micromagnétisme est l'étude de la magnétisation spontanée dans les matériaux ferromagnétiques. Cette magnétisation, de norme constante, est soumise à une énergie libre. Nous étudions les configurations limites admissibles de la magnétisation dans certains régimes asymptotiques. Les premiers résultats présentés concernent la structure géométrique des parois des configurations limites d'un modèle micromagnétique en deux dimensions. La similarité entre le problème micromagnétique et les lois de conservation scalaires nous permet d'obtenir, par la meme méthode, un résultat sur la structure des ondes de choc de certaines solutions d'une loi de conservation scalaire en une dimension d'espace. Enfin, nous donnons une formulation cinétique du problème mathématique lié à un modèle micromagnétique en trois dimensions et nous terminons par un résultat de régularisation pour les moyennes en vitesse des solutions d'une équation cinétique linéaire.

L'objectif à long terme de notre travail est la mise au points de techniques d'apprentissage fiables et prédictibles d'actions réflexes, dans le cadre de la robotique mobile. Ce document constitue un départ à ce projet.<br />Dans un premier temps, nous donnons des arguments défendant l'idée que les méthodes d'apprentissage classiques ne peuvent pas,<br />intrinsèquement, répondre à nos exigences de fiabilité et de prédictibilité. Nous pensons que la clé du problème se situe dans la manière dont la communication entre le système apprenant et son environnement est modélisée. Nous illustrons nos propos grâce à un exemple d'apprentissage par renforcement.<br /><br />Nous présentons une démarche formalisée dans laquelle la communication est une interaction, au sens physique du terme. Le système y est soumis à deux forces: la réaction du système est due à la fois à l'action de l'environnement et au maintient de contraintes internes. L'apprentissage devient<br />une propriété émergente d'une suite de réactions du système, dans des cas d'interactions favorables. L'ensemble des évolutions possibles du système est déduit par le calcul, en se basant uniquement (sans autre paramètre) sur la connaissance de l'interaction.<br /><br />Nous appliquons notre démarche à deux sous-systèmes interconnectés, dont l'objectif global est<br />l'apprentissage d'actions réflexes.<br /><br />Nous prouvons que le premier possède comme propriété émergente des facultés d'apprentissage par renforcement et d'apprentissage latent fiables et prédictibles.<br /><br />Le deuxième, qui est ébauché, transforme un signal en une information perceptive. Il fonctionne par sélection d'hypothèses d'évolution du signal au cours du temps à partir d'une mémoire. Des contraintes internes à la mémoire déterminent les ensembles valides d'informations perceptives.<br />Nous montrons, dans un cas simple, que ces contraintes mènent à un équivalent du théorème de Shannon sur l'échantillonnage.

Modéliser un système c'est lui trouver une représentation mathématique aussi fidèle que possible. Lorsque ce système est distribué (spatio-temporel), son modèle mathématique usuel est, depuis les années 60, un ensemble d'équations aux dérivées partielles. Depuis une décennie, les automates cellulaires (AC) se présentent comme de bons candidats pour décrire les systèmes distribués. De plus, leur mise en oeuvre est plus aisée. Dans ce travail, on montre que les automates cellulaires peuvent être utilisés pour décrire des systèmes dans le domaine des milieux déformables, tels que les déformations élastiques et thermoélastiques et le contact sans frottement. Les modèles d'automates cellulaires proposés permettent de simuler numériquement quelques propriétés génériques des phénomènes de déformation élastique-thermoélastique et le contact sans frottement tels que le déplacement des particules constituant le solide et l'énergie potentielle fournie. Ces modèles d'AC sont élaborés de telle sorte que la conservation de la masse et de la quantité de mouvement soit vérifiée. La mise en oeuvre de ces modèles est réalisée à l'aide d'un code Matlab.

Ce mémoire présente une partie de mon activité de recherche postérieure à la thèse, soutenue en 2000. Plus particulièrement, je décris ici les résultats obtenus à partir de 2004, en tant que Maître de Conférences à l'Institut des Sciences de l'Ingénieur de Toulon et du Var et membre de l'actuel Institut de mathématiques de Toulon et du Var.

Cette thèse a pour objet l'analyse mathématique de lois de conservation scalaires dont la fonction flux présente une discontinuité par rapport à la variable d'espace. Nous nous intéressons plus particulèrement au problème du raccord le long d'une interface commune des solutions de deux équations quasi linéaires hyperboliques du premier ordre, posées dans deux ouverts disjoints. <br /> En premier lieu nous considérons un problème couplé hyperbolique/hyperbolique. Sous une condition de non dégénérescence du flux, nous avons obtenu un résultat d'existence et d'unicité d'une solution faible entropique d'abord en dimension 1 d'espace puis en dimension quelconque. La preuve de l'unicité est basée sur la méthode de dédoublement des variables due à S.N. Kruzkov puis sur un raisonnement presque partout à l'interface. Dans le cas particulier de la dimension 1 l'existence s'obtient par une régularisation adéquate du coefficient discontinu dans le terme de convection alors que nous utilisons la méthode de viscosité artificielle dans le cas général. <br />En second lieu nous traitons le cas de termes de convection qui apparaissent dans l'ingénierie pétrolière pour lesquels la condition de non dégénérescence de la non linéarité n'est pas vérifiée. Nous ne pouvons donc pas adapter les méthodes précédemment utilisées. Nous nous sommes donc intéressés à un problème couplé perturbé où sur l'un des deux ouverts un terme de diffusion est ajouté. Sous l'hypothèse que les caractéristiques provenant de la zone hyperbolique sont sortantes à l'interface, l'unicité d'une solution faible entropique est établie. La méthode de viscosité artificielle et la notion de processus entropique nous permettent de prouver le résultat d'existence .

L’analyse de sensibilité (AS) concerne la quantification des changements dans la solution d’un système d’équations aux dérivées partielles (EDP) dus aux varia- tions des paramètres d’entrée du modèle. Les techniques standard d’AS pour les EDP, comme la méthode d’équation de sensibilité continue, requirent de dériver la variable d’état. Cependant, dans le cas d’équations hyperboliques l’état peut présenter des dis- continuités, qui donc génèrent des Dirac dans la sensibilité. Le but de ce travail est de modifier les équations de sensibilité pour obtenir un syst‘eme valable même dans le cas discontinu et obtenir des sensibilités qui ne présentent pas de Dirac. Ceci est motivé par plusieurs raisons : d’abord, un Dirac ne peut pas être saisi numériquement, ce qui pourvoit une solution incorrecte de la sensibilité au voisinage de la discontinuité ; deuxièmement, les pics dans la solution numérique des équations de sensibilité non cor- rigées rendent ces sensibilités inutilisables pour certaines applications. Par conséquent, nous ajoutons un terme de correction aux équations de sensibilité. Nous faisons cela pour une hiérarchie de modèles de complexité croissante : de l’équation de Burgers non visqueuse au système d’Euler quasi-1D. Nous montrons l’influence de ce terme de correction sur un problème d’optimisation et sur un de quantification d’incertitude. / Sensitivity analysis (SA) concerns the quantification of changes in Partial Differential Equations (PDEs) solution due to perturbations in the model input. Stan- dard SA techniques for PDEs, such as the continuous sensitivity equation method, rely on the differentiation of the state variable. However, if the governing equations are hyperbolic PDEs, the state can exhibit discontinuities yielding Dirac delta functions in the sensitivity. We aim at modifying the sensitivity equations to obtain a solution without delta functions. This is motivated by several reasons: firstly, a Dirac delta function cannot be seized numerically, leading to an incorrect solution for the sensi- tivity in the neighbourhood of the state discontinuity; secondly, the spikes appearing in the numerical solution of the original sensitivity equations make such sensitivities unusable for some applications. Therefore, we add a correction term to the sensitivity equations. We do this for a hierarchy of models of increasing complexity: starting from the inviscid Burgers’ equation, to the quasi 1D Euler system. We show the influence of such correction term on an optimization algorithm and on an uncertainty quantification problem.

Nous étudions:<br /><br />1) la régularité locale de solutions d'EDP elliptiques non-linéaires à données mesures<br /><br />2) des schémas numériques de type volumes finis pour équations elliptiques à seconds membres peu réguliers<br /><br />3) l'approximation, par sa régularisation parabolique, d'une loi de conservation scalaire avec conditions au bord<br /><br />4) des EDP faisant intervenir un opérateur non-local (de type laplacien fractionnaire).

Dans cette thèse, on a surtout étudié le caractère bien posé pour des équations aux dérivées partielles et des problèmes de contrôle optimal. On a étudié les problèmes de Cauchy associés à des lois de conservation hyperboliques avec des vitesses non locales, pour un modèle 1D (système de fabrication industrielle), puis 2D (processus de sélection folliculaire). Dans les deux cas, on montre l'existence et l'unicité de solutions des problèmes de Cauchy, en utilisant le théorème du point fixe de Banach. On a étudié par la suite des problèmes de contrôle optimal, d'abord sur le modèle 2D, puis sur un modèle basé sur des équations differentielles ordinaires (amplification de protéines mal repliées). Dans le premier modèle, on montre que les contrôles optimaux sont bang-bang avec un seul instant de commutation. Dans le second modèle, les contrôles optimaux sont relaxés, nous déterminons leur positionnement dans l'espace des contrôles admissibles.

Ce travail de thèse se situe dans le domaine de la géométrie différentielle et a pour objectif l'étude du problème du plongement isométrique généralisé de fibrés vectoriels, dont la résolution permet, entre autres, de montrer l'existence d'analogues des lois de conservation en l'absence de symétries pour des équations aux dérivées partielles. Pour résoudre ce problème, nous le traduisons en termes d'un système différentiel extérieur, et l'existence ou non de variétés intégrales permet non seulement d'affirmer l'existence du plongement isométrique généralisé mais aussi de préciser la dimension de l'espace d'arrivé. En utilisant donc la théorie de Cartan-Kähler, nous résolvons le problème du plongement isométrique généralisé dans le cas des lois de conservations, i.e., lorsque la forme différentielle fermée covariante à valeurs dans le fibré est de degré un de moins que la dimension de la variété. Un corollaire de ce résultat est l'existence de lois de conservations pour le tenseur énergie-impulsion. Nous donnons aussi une réponse positive pour le plongement de 1-formes différentielles et pour le cas d'une 2-forme différentielle anti-auto-duale sur une variété de dimension 4 à valeurs dans un fibré de rang 3 muni d'une métrique et d'une connexion.