Cette étude présente le modèle bidimensionnel horizontal (2DH) de Serre qui constitue une extension de celui de Saint-Venant (SV) auquel des termes supplémentaires d'accélération verticale sont ajoutés pour tenir compte de la présence de pression dynamique dans l'écoulement. Ses hypothèses sont exposées puis ses équations constitutives sont clairement développées en vue de faciliter sa compréhension. Afin d'éliminer la principale source de difficulté justifiant son manque de popularité et le rendre compatible avec la plupart des schémas numériques, un nouveau format est ensuite établi en séparant les dérivées spatiales de celles temporelles. Partant d'une expansion en séries de Taylor de deuxième ordre, des termes de diffusion artificielle sont ajoutés aux équations dynamiques puis à celle de continuité. Le système résultant est alors résolu à l'aide de la méthode standard des éléments finis utilisant des éléments triangulaires dits non-conformes en raison de leurs intéressantes propriétés d'orthogonalité. La simulation d'un bassin en eau calme puis d'un écoulement permanent uniforme à l'aide du code Matlab® correspondant aboutit exactement aux résultats analytiques escomptés. Le test de propagation d'onde solitaire est également satisfaisant (phase et amplitude). De plus, le modèle simule également bien l'écoulement de rupture de barrage. Cependant, les ondes prédites par le modèle de SV avancent plus vite que celles de Serre. La pression dynamique retarde donc la propagation de ces ondes. L'augmentation de la pente du fond accélère les ondes aussi bien pour Serre que pour SV mais réduit l'écart entre les fronts correspondant aux deux modèles. Un comportement inverse est observé lorsque le fond devient davantage rugueux ainsi que quand le ratio des niveaux d'eau aux deux extrémités du domaine s'accroît. La méthode de diffusion ajoutée s'est également révélée efficace pour la capture des ondes de rupture de barrage sans détérioration de la qualité des résultats numériques. Enfin, après avoir éliminé l'hypothèse de fluide non visqueux selon la verticale posée par Serre, le modèle 'Saint-Venant Plus' (SVP) est développé pour pouvoir tenir compte des contraintes visqueuses verticales significatives dans certains écoulements naturels. Cependant, la resolution numérique de SVP ne fait pas partie des objectifs de cette dièse qui présente seulement une comparaison théorique de la formulation mathématique de SVP avec celles des deux autres modèles (Serre et SV).

Québec Université Laval, Bibliothèque 2014

L'objectif des travaux présentés dans la thèse concerne la résolution par itérations de systèmes algébriques à grande échelle. Ces systèmes sont issus de la discrétisation par éléments finis de problèmes aux limites. Dans la majorité des cas en 3D, la phase de résolution s'avère l'étape la plus exigeante en terme de ressources informatiques. Ainsi, il est impératif de développer des méthodes itératives efficaces et robustes pour un large éventail de problèmes aux limites. Dans cette thèse, nous nous plaçons dans le cadre des méthodes itératives de Krylov à préconditionneur variable, c'est-à-dire autorisant une flexibilité au niveau du choix du préconditionnement en cours d'itération. Nous visons principalement des problèmes de type convection-diffusion, d'élasticité et de Navier-Stokes discrétisés par des éléments finis quadratiques. Afin de réduire les coûts inhérents aux éléments quadratiques, nous proposons une méthode de résolution multi-niveaux basée sur la hiérarchie naturelle entre les éléments finis linéaires et quadratiques d'où le nom de méthode hiérarchique. Elle possède plusieurs points en commun avec les méthodes multi-grilles mais a l'avantage de s'appliquer aux géométries complexes et aux maillages non-structures. L'utilisation de cette méthode comme préconditionneur à une méthode de Krylov à préconditionneur variable permet d'obtenir une méthode très efficace. L'autre partie de la thèse, concerne la résolution globale et itérative des systèmes de type point selle. Ces systèmes proviennent de la discrétisation des équations linéarisées du problème de Navier-Stokes. La résolution efficace de ces systèmes joue un rôle majeur dans le traitement numérique des équations de Navier-Stokes. Pour cela, nous avons mis en place un préconditionneur adroite de format triangulaire par bloc. Pour rendre ce préconditionneur efficace, nous avons fait appel à trois ingrédients : l'ajout du terme rV(div(u)) aux équations continues de Navier-Stokes, une résolution efficace en vitesse par la méthode hiérarchique et une bonne approximation du complément de Schur. Nos tests numériques montrent l'efficacité des méthodes présentées dans ce travail.

La modélisation des écoulements en milieux naturels tels que les rivières, les lacs et les océans, fait souvent intervenir un système d'équations aux dérivées partielles dit de Saint-Venant. La plupart des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations de Saint-Venant générent des modes purement numériques en approximant les ondes de type inertie-gravité. Les modes parasites les plus dangereux sont les modes stationnaires. Ils conduisent généralement à des solutions erronées. Ce travail propose une étude des modes stationnaires résultants de la discrétisation des équations de Saint-Venant par des méthodes aux différences finies et d'éléments finis. Nous privilégions une approche de type algèbre linéaire au lieu de celle de type Fourier largement utilisée. Nous introduisons une nouvelle nomenclature des modes parasites qui dépasse largement celle utilisée jusqu'à présent et généralement restreinte aux seuls modes parasites pression. Enfin l'approche de type algèbre linéaire utilisée ici nous permet de tirer quelques conclusions préliminaires quant à la manifestation des modes parasites sur des maillages non structurés.

Une des applications des équations de réaction-diffusion est leur utilisation pour la génération de motifs, analogues en particulier à ceux sur le pelage de certains animaux. L'utilisation à cette fin de ce type d'équations remontent aux travaux d'Alan Turing dans les années 50. Dans ce mémoire nous considérons un système simple d'équations de réaction-diffusion pour étudier la formation de motifs. Nous approchons ces solutions en utilisant une discrétisation spatiale par éléments finis. Nous montrons comment choisir les paramètres pour atteindre un motif choisi sur un domaine rectangulaire fixe. Après avoir validé les méthodes numériques utilisées dans nos simulations, nous nous intéressons à l'évolution de motifs sur des domaines qui croissent dans le temps. En particulier, nous examinons l'influence de la condition initiale et de la vitesse de croissance du domaine sur les motifs apparaissant au terme de la croissance.

La gestion de risque est un domaine qui ne cesse d’évoluer chaque année. En effet, plusieurs modèles ont été construits pour modéliser la richesse d’une compagnie d’assurance et suivre son comportement dans le temps. Un des objectifs de cette modélisation est de fournir des indicateurs de risque qui donnent une visibilité sur la situation de la compagnie et aident ses gestionnaires à prendre les décisions nécessaires. La majorité des modèles reposent sur le processus de Poisson et tiennent compte du nombre et du moment de sinistre. Dans ce mémoire, on propose un nouveau modèle stochastique différent de ce qui était réalisé jusqu’à présent pour la gestion de risque. Il s’agit d’un modèle d’approximation de réserve par un processus de diffusion, basé sur une équation différentielle stochastique. Dans ce modèle on ne tient pas compte du nombre ni des instants de sinistres, on ne tient compte que de la valeur totale des dépenses et celle des revenus. On introduit aussi le taux de croissance de la compagnie car il a une grande influence sur l’augmentation des réserves dans le temps. On définit aussi quelques indicateurs de risque et on les ajuste selon notre modèle. Donc, on considère un processus de risque multidimensionnel dont chaque composante du vecteur représente le processus de réserve pour une des lignes d’activité de la compagnie. On suppose dans la construction du modèle l’indépendance entre les lignes afin de faciliter les calculs. Enfin, on supporte la construction du modèle par une validation numérique dans laquelle on utilise des schémas de discrétisation et de simulation numérique comme Euler- Maruyama et la méthode de Monte-Carlo pour expliquer le fonctionnement de chaque ligne d’activité et obtenir l’approximation de quelques indicateurs de risque. Suite à l’étude numérique on valide que notre approche est fonctionnelle et fournie une modélisation réaliste. On constate alors que le capital initial a un grand rôle et peut dans certains cas sauver la situation de la compagnie. Le niveau du seuil de l’arrêt de la ligne (en cas de ruine sévère) qu’on a introduit dans le modèle agit aussi beaucoup sur la santé de l’entreprise. / Risk management is an area that continues to evolve each year. Indeed, several models are built to model the wealth of an insurance company and follow its behavior over time. One of the targets of this modeling is to provide risk indicators that give visibility about the company’s situation and help the company’s managers make the necessary decisions. The majority of models rely on the composed Poisson processes and consider the number and time of sinisters. We propose in this thesis a new stochastic model based on stochastic differential equation for risk management. It is a reserve approximation model obtained by a diffusion process. In this model we do not take into account the number or the instants of sinisters, we only take into account the total of losses and of incomes together with the growth of each business line. Some risk indicators are also defined and adjusted according to our model. We consider then a multidimensional risk process, where each component of the vector is the reserve process for one line of business for the company. We assume the independence between the different lines to facilitate the modelling. Finally, we propose a simulation study using an Euler-Maruyama scheme coupled to a Monte- Carlo method. Then, we explain the behavior of each line and we compute the approximation of some risk indicators. The findings of the numerical study support the conclusion that our method works and provide good results. With regard to the numerical results, it can be concluded that the initial capital has a great role and can in some cases save the company’s situation. Moreover, the threshold level that has been introduced into the model is also very important for the insurance company’s health. / Résumé en espagnol

La théorie des systèmes dynamiques étudie les phénomènes qui évoluent au cours du temps. Plus précisément, un système dynamique est donné par : un espace de phase dont les points correspondent à des états possibles du système étudié et une loi d'évolution décrivant l'infinitésimal (pour le cas continu) pas à pas (pour le cas discret) les changements des états du système. Le but de la théorie est de comprendre l'évolution dans le long terme. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle méthode pour la résolution des systèmes linéaires avec preuve assistée par ordinateur dans le cadre de modèles linéaires réalistes. Après une introduction de quelques propriétés de la théorie des équations différentielles ordinaires, on introduit une méthode de calcul rigoureux pour trouver la solution périodique de la conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii. On reformule le problème comme un problème à valeur initiale, puis on calcule la solution périodique dans le domaine positif et on déduit l'autre solution par symétrie. Notre résultat énonce une partie de la conjecture 3:2 dans le livre de Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii : Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Mots clés. Conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii, Analyse d'intervalle, Théorème de contraction de Banach, Polynômes de rayons. / The theory of dynamical systems studies phenomena which are evolving in time. More precisely, a dynamical system is given by the following data: a phase space whose points correspond to the possible states of the system under consideration and an evolution law describing the infinitesimal (for continuous time) or one-step (for discrete time) change in the state of the system. The goal of the theory is to understand the long term evolution of the system. In this work, we introduce a new method for solving piecewise linear systems with computer assisted proofs in the context of realistic linear models. After introducing some properties of the theory of ordinary differential equations, we provide a rigorous computational method for finding the periodic solution of Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture. We reformulate the problem as an initial value problem, compute periodic solution in the positive domain and deduce the other solution by symmetry. Our result settles one part of the Conjecture 3:2 by Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii: Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Key words. Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture, Interval analysis, Contraction mapping theorem, Radii polynomials.

La recherche sur les écoulements à surface libre turbulents, et sur le cisaillement turbulent spécifiquement progresse depuis les années 1970. Les équations décrivant le mouvement d'agitation turbulente sont bien connues. Elles sont reliées directement aux équations non moyennées de continuité et de conservation de la quantité de mouvement qui forment le système d'équations de Navier-Stokes ainsi que les différentes équations de corrélations du mouvement turbulent. Pour un écoulement turbulent, ce système d'équations présente un problème de fermeture relié à la présence des termes associés aux contraintes de Reynolds. L'échelle du phénomène et plusieurs processus importants du mouvement turbulent ne peuvent ainsi être résolus de façon exacte, et un degré d'approximation devient donc nécessaire. La recherche sur le phénomène de la turbulence a permis de développer plusieurs concepts et approches reliés, notamment, à la viscosité turbulente, à l'isotropie locale de la turbulence et aux équations de transport des termes fluctuants afin de résoudre le problème de fermeture du système d'équations de Navier-Stokes. Ces approches présentent évidemment certaines limitations. De fait, la turbulence est fortement dépendante des conditions aux frontières par rapport à l'écoulement moyen et ne permet pas de prédétermination de la forme des distributions des vitesses moyennes de l'écoulement dans le cadre de la recherche d'une solution approximative. Ce travail de recherche présente un modèle hydrodynamique turbulent 2D vertical, en vue de résoudre une problématique d'écoulement à surface libre à partir de la méthode des éléments finis de frontière ainsi qu'une démarche en laboratoire, afin de caractériser les fluctuations de vitesses et de pression d'un écoulement turbulent à l'aide d'une méthode de vélocimétrie par imagerie de particules. Pour notre modèle numérique, notre approche procède à partir d'une formulation intégrale des équations moyennées de conservation de la quantité de mouvement et de continuité et l'équation associée des corrélations de vitesses turbulentes. En spécifiant les conditions aux limites pour les vitesses, la corrélation et les tractions à la frontière, le calcul du champ de vitesses peut être déterminé en termes des variables primaires à la frontière. Dans ces conditions, il n'est pas requis de discrétiser le domaine à l'aide d'un maillage ou de cellules ce qui pennet une utilisation plus efficiente des ressources et du temps de calcul. Des applications à des cas d'écoulements simples permettent de démontrer la validité du modèle bien que l'imposition des contraintes à la frontière peut être difficile à interpréter et que dans certains cas, l'intégration numérique pour des fonctions singulières peut être hasardeuse. À tenne, notre modèle prédit correctement les solutions analytiques de l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement de Couette et ce, sans imposer de distribution à priori des variables primaires de l'écoulement sur le domaine, dans la recherche d'une solution numérique. Le système d'équations de Navier-Stokes, pour un écoulement turbulent, peut donc être envisagé à partir d'une formulation intégrale sur la frontière uniquement. Cette situation étant en accord et cohérente avec le comportement physique attendu du phénomène où les propriétés d'un écoulement turbulent sont directement reliées aux conditions aux limites et que l'action des contraintes fluctuantes est inter-reliée avec l'écoulement moyen. D'autre part, la démarche expérimentale à l'aide de vélocimétrie par imagerie de particules a permis une meilleure compréhension des spécificités des écoulements turbulents à surface libre, à Reynolds modéré. Notre analyse sur les conditions turbulentes à la frontière de l'écoulement tend à corroborer que les corrélations de vitesses turbulentes sont en équilibre avec le gradient de pression et bien que l'écoulement moyen puisse être stationnaire, il apparaît que les corrélations varient continuellement dans le temps selon une action dissipative, ce qui signifie que le gradient de pression est en constante évolution pour équilibrer le système. De plus, il apparaît que les conditions de pression moyenne dans un modèle, ne peuvent représenter adéquatement la réalité physique de l'action de la pression instantanée selon l'agitation turbulente. Enfin, remarquons que l'étude de la turbulence en laboratoire peut être entreprise de manière adéquate, aujourd'hui, avec des moyens limités malgré l'échelle du phénomène. Mots clés: équations de Navier-Stokes, écoulement turbulent, corrélations de vitesses, éléments finis de frontière, vélocimétrie par imagerie de particules.

La microscopie holographique utilise des techniques d’interférométrie pour mesurer les changements de volume des neurones et des astrocytes avec une précision sans précédent. Un défi important serait de relier les changements de phase mesurés aux changements de volume du neurone et plus encore de relier l’étendue de ces changements de volumes à certaines propriétés des neurones comme le niveau d’activité des cotransporteurs cation-chlorure (CCC) et certaines propriétés biomécaniques des membranes. L’objectif à plus long terme est d’utiliser des changements de phase pour détecter des modifications dans la réponse volumique des neurones à un choc osmotique par exemple, modifications qui pourraient éventuellement permettre de détecter des pathologies. Pour comprendre l’information que l’on peut tirer des mesures expérimentales, il est important de comprendre le lien entre différentes variables : force de la pompe Na⁺ – K⁺ATPase, la perméabilité de la membrane à l’eau, les propriétés biomécaniques de la membrane et les changements de phase observés par l’expérimentateur. Pour y arriver, nous aborderons quelques notions sur les systèmes dynamiques, plus précisément nous utiliserons les Equations Différentielles Ordinaires (E.D.O.) afin d’éffectuer la modélisation mathématique du phénomène illustrant la variation du volume de la membrane cellulaire, ainsi que les variations des quantités de K⁺, Na⁺ et Cl⁻, qui constituent la principale composition ionique des astrocytes, qui sont les cellules étudiées dans ce projet. Dans ce même régistre de rappel mathématique sur les systèmes dynamiques, nous parlerons des bifurcations, pour lesquelles nous décrirons quand et comment est ce qu’elles apparaîssent tout en les illustrant par des exemples, ceci dans l’optique de se préparer à une meilleure compréhension des résultats à venir après l’étude de notre modèle, puisqu’on espère y observer des bifurcations. Nous serons ainsi amenés à étudier profondémént le système d’E.D.O obtenu, notamment la recherche des points d’équilibre et leurs comportements dans l’espace des phases, voir s’il ya lieu des points de bifurcation et leurs interprétations pour la cellule concernée. Le but visé étant d’obtenir des bifurcations, ce qui expliquerait le dysfonctionnement des astrocytes, et expliquerait certainement l’origine de certaines maladies maladies neurodégénératives ; nous verrons finalement après étude du modèle qu’il n’existe pas de bifurcation, néanmoins la simplicité du modèle utilisé ouvre des portes à de futurs projets plus complexes qui permettront peut-être d’atteindre les objectifs visés. / The holographic microscopy uses interferometry techniques for measuring changes in volume of neurons with an unprecedented accuracy. A major challenge is to relate the measured phase changes with the neuron volume changes and more to relate the extent of these changes volumes to certain properties of neurons such as the activity level of Cation-Chloride Cotransporter (CCC) and some biomechanical properties membranes. The longer term objective is the use of phase changes for detecting changes in the density response of neurons to an osmotic shock which could possibly allow the detection of many kind of pathologies. To understand the information that can be derived from experimental measurements, it is important to understand the relationship between different variables: force pump Na⁺ – K⁺ ATPase, membrane permeability of water, biomechanical properties of the membranes and the phase changes observed by the experimenter. To achieve this, we need some dynamical system skills, we will use the Ordinary Differential Equations (E.D.O) in order to perform the mathematical modeling of the phenomenon illustrating the variation of the membrane volume, as well as the variations in quantities of K⁺, Na⁺ and Cl⁻, which constitute the main ionic composition of astrocytes, which are the cells studied in this project. In this mathematical recall on dynamical systems, we will talk about the bifurcations for a better understanding of the incoming results since we are expecting bifurcations for our model. We will study deeply the E.D.O. system obtained including the search of equilibrium points and their behavior in the phase space, and we will see if there are bifurcations and what is their meaning. The aim being to obtain bifurcations, which would explain the dysfunction of the astrocytes, and would certainly explain the origin of certain neurodegenerative diseases; we will finally see, after studying the model, that there is no bifurcation, nevertheless the simplicity of the model used opens doors to more complex future projects that will perhaps achieve the desired objectives.

L'adaptation de maillage peut être très utile dans l'application de la méthode des éléments finis à certains problèmes physico-mathématiques. L'adaptation est une procédure qui nécessite, entre autres, des algorithmes efficaces de calcul des dérivées de fonctions de type Pk ou Qk- Des méthodes d'estimation des dérivées ont donc été élaborées pour résoudre ce problème. Ce travail consiste à expliquer au lecteur ce qu'est exactement la récupération des dérivées et à dresser une liste des méthodes classiques qui sont utilisées de nos jours. Nous développons aussi une nouvelle méthode de récupération pour les fonctions de type Pi qui est, à plusieurs égards, beaucoup plus performante que les méthodes classiques. Un aspect intéressant de cette nouvelle méthode est qu'elle est globale et qu'elle n'a ainsi pas besoin de traitement spécial sur le bord des maillages.