Cette thèse présente des travaux sur l’étude et la calibration de modèles d’équations aux dérivées partielles pour la croissance tumorale. La première partie porte sur l’analyse d’un modèle de croissance tumorale pour le cas de métastases au foie de tumeurs gastro-intestinales (GIST). Le modèle est un système d’équations aux dérivées partielles couplées et prend en compte plusieurs traitements dont un traitement anti-angiogénique. Le modèle permet de reproduire des données cliniques. La première partie de ce travail concerne la preuve d’existence/unicité de la solution du modèle. La seconde partie du travail porte sur l’étude du comportement asymptotique de la solution du modèle lorsqu’un paramètre du modèle, décrivant la capacité de la tumeur à évacuer la nécrose, converge vers 0. La seconde partie de la thèse concerne le développement d’un modèle de croissance pour des sphéroïdes tumoraux ainsi que sur la calibration de ce modèle à partir de données expérimentales in vitro. L’objectif est de développer un modèle permettant de reproduire quantitativement la distribution des cellules proliférantes à l’intérieur d’un sphéroïde en fonction de la concentration en nutriments. Le travail de modélisation et de calibration du modèle a été effectué à partir de données expérimentales permettant d’obtenir la répartition spatiale de cellules proliférantes dans un sphéroïde tumoral. / In this thesis, we present several works on the study and the calibration of partial differential equations models for tumor growth. The first part is devoted to the mathematical study of a model for tumor drug resistance in the case of gastro-intestinal tumor (GIST) metastases to the liver. The model we study consists in a coupled partial differential equations system and takes several treatments into account, such as a anti-angiogenic treatment. This model is able to reproduce clinical data. In a first part, we present the proof of the existence/uniqueness of the solution to this model. Then, in a second part, we study the asymptotic behavior of the solution when a parameter of this model, describing the capacity of the tumor to evacuate the necrosis, goes to 0. In the second part of this thesis, we present the development of model for tumor spheroids growth. We also present the model calibration thanks to in vitro experimental data. The main objective of this work is to reproduce quantitatively the proliferative cell distribution in a spheroid, as a function of the concentration of nutrients. The modeling and calibration of this model have been done thanks to experimental data consisting of proliferative cells distribution in a spheroid.

The nonlinear Schrödinger equation appears in different fields of physics, for example in the theory of Bose-Einstein condensates or in wave propagation models. From a mathematical point of view, the study of this equation is interesting and delicate, notably because it can have a very rich set of solutions with various behaviours.<p><p>In this thesis, we have been interested in standing waves, which satisfy an elliptic partial differential equation. When this equation is seen as a singularly perturbed problem, its solutions concentrate, in the sense that they converge uniformly to zero outside some concentration set, while they remain positive on this set.<p><p>We have obtained three kind of new results. Firstly, under symmetry assumptions, we have found solutions concentrating on a sphere. Secondly, we have obtained the same type of solutions for the Schrödinger-Poisson system. The method consists in applying the mountain pass theorem to a penalized problem. Thirdly, we have proved the existence of solutions of the nonlinear Schrödinger equation concentrating at a local maximum of the potential. These solutions are found by a more general minimax principle. Our results are characterized by very weak assumptions on the potential./<p><p>L'équation de Schrödinger non-linéaire apparaît dans différents domaines de la physique, par exemple dans la théorie des condensats de Bose-Einstein ou dans des modèles de propagation d'ondes. D'un point de vue mathématique, l'étude de cette équation est intéressante et délicate, notamment parce qu'elle peut posséder un ensemble très riche de solutions avec des comportements variés. <p><p>Dans cette thèse ,nous nous sommes intéressés aux ondes stationnaires, qui satisfont une équation aux dérivées partielles elliptique. Lorsque cette équation est vue comme un problème de perturbations singulières, ses solutions se concentrent, dans le sens où elles tendent uniformément vers zéro en dehors d'un certain ensemble de concentration, tout en restant positives sur cet ensemble. <p><p>Nous avons obtenu trois types de résultats nouveaux. Premièrement, sous des hypothèses de symétrie, nous avons trouvé des solutions qui se concentrent sur une sphère. Deuxièmement, nous avons obtenu le même type de solutions pour le système de Schrödinger-Poisson. La méthode consiste à appliquer le théorème du col à un problème pénalisé. Troisièmement, nous avons démontré l'existence de solutions de l'équation de Schrödinger non-linéaire qui se concentrent en un maximum local du potentiel. Ces solutions sont obtenues par un principe de minimax plus général. Nos résultats se caractérisent par des hypothèses très faibles sur le potentiel. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires.<p><p>La première partie (chapitres 1-2-3) traite d'un problème trouvant son origine en biologie mathématique, à savoir l'étude de la survie à long terme d'une population dont l'évolution est gouvernée par une équation parabolique non-linéaire. Dans le modèle considéré, le mécanisme de diffusion est contrôlé par le p-Laplacien, la non-linéarité est de type logistique et fait intervenir un poids m pouvant changer de signe, et les conditions aux limites sont de flux nul. Le poids m correspond à une répartition des ressources devant permettre la survie de la population. Dans le chapitre 1, nous déterminons entre autres un critère de survie à long terme faisant intervenir la valeur propre principale du p-Laplacien avec poids m. Cette valeur propre apparait, plus précisément, comme la valeur limite d'un paramètre en-dessous de laquelle toute solution positive de l'équation converge vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Ceci nous conduit naturellement au problème de minimiser la valeur propre en question lorsque m varie dans une classe adéquate de poids. Dans le chapitre 2, nous prouvons l'existence de minimiseurs et montrons que ces derniers satisfont une propriété de type “bang-bang”. Plusieurs propriétés de montonie sont aussi étudiées dans des situations géométriques particulières, et une caractérisation complète est donnée en dimension 1. Le chapitre 3 est consacré à l'élaboration de simulations numériques, où l'algorithme utilisé combine un méthode de plus grande pente avec une représentation de certains ensembles comme ensembles de niveaux.<p><p>La deuxième sujet de cette thèse (chapitre 4) est un problème elliptique faisant intervenir l'opérateur de courbure moyenne. Nous nous intéressons à l'existence et à la multiplicité de solutions nodales de ce problème. Nous montrons que, si un certain paramètre de l'équation est suffisamment grand, il existe une solution nodale qui change de signe exactement deux fois. Nous établissons également l'existence d'un nombre arbitrairement grand de solutions nodales. Enfin, dans le cas particulier où le domaine est une boule, un résultat de brisure de symétrie est obtenu, résultat qui induit l'existence d'au moins deux solutions à deux domaines nodaux. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique de quelques modèles d'évolution non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Nous distinguons trois parties indépendantes. La première partie de la thèse traite essentiellement de l'existence des poches de tourbillon en rotation uniforme (appelées aussi V-states) pour un modèle quasi-géostrophique non visqueux. Notre étude est répartie sur deux chapitres où les poches présentent des structures topologiques différentes. Dans le premier chapitre nous étudions le cas simplement connexe et nous validons l'existence de ces structures dans un voisinage du tourbillon de Rankine en utilisant des techniques de bifurcation. Dans le deuxième chapitre nous abordons le cas doublement connexe où la poche admet un seul trou. Plus précisément, proche d'un anneau donné, nous décrivons cette famille par des branches dénombrables bifurquant de cet anneau à certaines valeurs explicites des vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel. Notre étude théorique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites et un bon nombre de constatations ont été formulées ouvrant la porte à de nouvelles perspectives de recherche. La seconde partie concerne l'étude du problème de Cauchy pour le système de Boussinesq non visqueux 2D avec des données initiales de type Yudovich. Le problème est dans un certain sens critique à cause de quelques termes comportant la transformée de Riesz dans la formulation tourbillon-densité. Nous donnons une réponse positive pour une sous-classe comprenant les poches de tourbillon régulières et singulières. Dans la dernière partie nous analysons le problème de la limite incompressible pour les équations d'Euler isentropiques 2D associées à des données initiales très mal préparées et pour lesquelles les tourbillons ne sont pas forcément bornés mais appartiennent plutôt à des espaces de type ''BMO'' à poids. On utilise principalement deux ingrédients: d'un côté les estimations de Strichartz pour contrôler la partie acoustique. D'un autre côté, on se sert de la structure de transport compressible du tourbillon et on démontre une estimation de propagation linéaire dans l'esprit d'un travail récent de Bernicot et Keraani mené dans le cas incompressible. / In this dissertation, we are concerned with the study of some non-linear evolution models arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case.

Cette thèse s'intéresse à une étude variée des EDSRs. Une grande partie des résultats sont obtenus sous l'hypothèse d'une croissance de type quadratique du générateur en sa dernière variable. Un premier lien entre EDSRs quadratiques unidimensionnelles et théorie des jeux nous amène à développer des résultats avec générateurs convexes. La théorie du contrôle optimal nécessite quant à elle de traiter du cas multidimensionnel, dans lequel existence et unicité globales ne sont obtenues que pour des générateurs diagonalement quadratiques. Les résultats majeurs sur les EDSRs réfléchies (dont la solution est contrainte à rester dans un domaine) concernent des générateurs Lipschitziens. C'est dans ce cadre que nous développons un résultat de propagation du chaos, avec une contrainte portant sur la loi de la solution plutôt que sur sa trajectoire. Nous dressons enfin un pont entre EDSRs quadratiques et EDSRs réfléchies grâce aux EDSRs quadratiques de type champ moyen. Nous donnons plusieurs nouveaux résultats sur la possibilité de résoudre une équation quadratique dont le générateur dépend également de la moyenne des deux variables. / In this thesis, we are interested in studying variously Backward Stochastic Differential Equations. A large proportion of the results are obtained under the assumption that the driver is of quadratic growth in its last variable. A first link between one-dimensional quadratic BSDEs and game theory leads us to develop results with convex drivers. Optimal control theory requires as for it to deal with the multidimensional case, in which global existence and uniqueness are obtained only for diagonaly quadratic drivers. Major achievements in reflected BSDEs (whose solution is constrained to remain in a domain) are reached for Lipschitz drivers. We develop a result of chaos propagation in this setting, with a constraint on the law of the solution rather than on its path. We finaly build bridge between quadratic BSDEs and reflected BSDEs thanks to mean field quadratic BSDEs. We give several new results on solvability of a quadratic BSDE whose driver depends also on the mean of both variables.

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude. / The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves.

Ce manuscrit de thèse porte sur l’analyse mathématique de modèles intégro-différentiels issus de la génétique des populations. Les deux modèles étudiés sont des équations de réaction-dispersion de type ∂tp(t,m) = UD[p](t,m) + f[p](t,m). Ils décrivent la dynamique de la distribution de la fitness (ou valeur sélective) dans une population asexuée sous l’effet des mutations et de la sélection représentées respectivement par les termes non locaux UD[p](t,m) et par f[p](t,m). La différence entre les deux modèles se situe au niveau du terme de mutation. En effet, dans le premier modèle, les effets des mutations sur la fitness ne dépendent pas de la fitness du parent, cela se traduit donc par un terme de convolution classique : D[p](t,m) =RR J(m−y)p(t,y)dy−p(t,m). Lorsqu’une mutation a lieu, la fonction J(m−y) représente la densité de probabilité pour un individu de fitness y d’avoir un descendant de fitness m. Le taux de mutation est donné par la constante U. Dans le second modèle, les effets des mutations sur la fitness dépendent aussi de la fitness du parent. Dans ce cas, un individu de fitness y a un descendant de fitness m avec la densité de probabilité Jy(m−y). Ce type de dépendance apparaît naturellement lorsque l’on suppose qu’il existe une fitness optimale (ou encore un optimum phénotypique). Pour chacun des deux modèles, nous établissons dans un premier temps des résultats d’existence et d’unicité ainsi que des propriétés de décroissance de la solution. Cette décroissance permet de définir la fonction génératrice des cumulants (CGF) associée à la distribution de fitness. La CGF est la solution d’une équation de transport non locale. Pour le premier modèle, l’étude de cette équation permet d’obtenir une solution analytique et donc d’obtenir une description complète de la distribution p(t,m) via ses moments. Nous étudions ensuite les états stationnaires pour chacun des deux modèles, et établissons des conditions suffisantes pour l’existence et la non-existence de phénomènes de concentration, correspondant à une accumulation d’individus de phénotypes optimaux. Nos résultats sont comparés à des sorties de modèles stochastiques individu-centrés représentant le même type de dynamiques évolutives. / This manuscript is devoted to the mathematical analysis of integro-differential models from population genetics. Both models are reaction-dispersion equations of the form ∂tp(t,m) = UD[p](t,m)+ f[p](t,m). They describe the dynamics of fitness distribution in an asexual population under the effect of mutation and selection. These two processes are represented by the nonlocal terms UD[p](t,m) and by f[p](t,m) respectively. The difference between the models rests on the mutation term. Indeed, in the first model, the mutation effects on fitness do not depend on the fitness of the parent. Thus, the mutation term is a standard convolution product: D[p](t,m) =RR J(m−y)p(t,y)dy −p(t,m). When a mutation occurs, the function J(m − y) represents the density of probability for an individual with fitness y to have an offspring with fitness m. The mutation rate is given by the constant U. In the second model, the mutation effects on fitness depend on the fitness of the parent. In this case, an individual with fitness y has an offspring with fitness m with a probability density Jy(m−y). This type of dependence naturally arises when the existence of an optimal fitness (or a phenotypic optimum) is assumed. For both models, we first establish existence and uniqueness results as well as decay properties of the solution. The decay property allows us to define the cumulant generating function (CGF). The CGF obeys a nonlocal transport equation. In the first model, we compute the analytical solution of this transport equation and thus, we obtain a complete description of the distribution p(t,m) through its moments. Then, we study the stationary states for both models, and establish sufficient conditions for the existence and non-existence of a concentration phenomenon corresponding to an accumulation of individuals with best possible phenotype. The results are compared to the results of stochastic individual based models which represent the same kind of evolutionary dynamics.

Cette thèse est divisée en deux parties reliées par un même fil conducteur. Elle porte sur l'étude théorique et l'application de modèles mathématiques décrivant des dynamiques de population où les individus se reproduisent et meurent à des taux dépendant de leur âge et d'un trait phénotypique. Le trait est fixé durant la vie de l'individu. Il est modifié au fil des générations par des mutations apparaissant lors de la reproduction. On modélise la sélection naturelle en introduisant un taux de mortalité densité-dépendant décrivant la compétition pour les ressources.Dans une première partie, nous nous intéressons au comportement en temps long d'une équation aux dérivées partielles de sélection-mutation structurée en âge décrivant une grande population d'individus. En étudiant les propriétés spectrales d'une famille d'opérateurs positifs sur un espace de mesures, nous montrons l'existence de mesures stationnaires pouvant admettre des masses de Dirac en les traits maximisant la fitness. Lorsque ces mesures admettent une densité continue, nous montrons la convergence des solutions vers cet (unique) état stationnaire.La seconde partie de cette thèse est motivée par un problème issu de la biologie du vieillissement. Nous voulons comprendre l'apparition et le maintien au cours de l'évolution d'un marqueur de sénescence observé chez l'espèce Drosophila melanogaster. Pour cela, nous introduisons un modèle individu-centré décrivant la dynamique d'une population structurée par l'âge et par le trait d'histoire de vie suivant : l'âge de fin de reproduction et celui où la mortalité devient non-nulle. Nous modélisons également l'effet Lansing, qui est l’effet suivant lequel « la descendance de parent jeune vit plus longtemps que celle de parents vieux » . Nous montrons, sous des hypothèses de grande population et de mutations rares, que l'évolution amène ces deux traits à coïncider. Pour cela, nous sommes amenés à étendre l'équation canonique de la dynamique adaptative à une situation où le gradient de fitness n'admet pas des propriétés de régularité suffisantes. L'évolution du trait n'est plus décrite par la trajectoire (unique) d'une équation différentielle ordinaire mais par un ensemble de trajectoires solutions d'une inclusion différentielle. / This thesis is divided into two parts connected by the same thread. It concerns the theoretical study and the application of mathematical models describing population dynamics. The individuals reproduce and die at rates which depend on age a and phenotypic trait. The trait is fixed duringthe life of the individual. It is modified over generations by mutations appearing during reproduction. Natural selection is modeled by introducing a density-dependent mortality rate describing competition for resources.In the first part, we study the long-term behavior of a selection-mutation partial differential equation with age structure describing such a large population. By studying the spectral properties of a family of positive operators on a measures space, we show the existence of stationary measures that can admit Dirac masses in traits maximizing fitness. When these measures admit a continuous density, we show the convergence of the solutions towards this (unique) stationary state.The second part of this thesis is motivated by a problem from the biology of aging. We want to understand the appearance and maintenance during evolution of a senescence marker observed in the species Drosophila melanogaster. For this, we introduce an individual-based model describing the dynamics of a population structured by age and by the following life history trait: the age of reproduction ending and the one where the mortality becomes non-zero. We also model the Lansing effect, which is the effect through which the “progeny of old parents do not live as long as those of young parents”. We show, under large population and rare mutation assumptions, that the evolution brings these two traits to coincide. For this, we are led to extend the canonical equation of adaptive dynamics to a situation where the fitness gradient does not admit sufficient regularity properties. The evolution of the trait is no longer described by the (unique) trajectory of an ordinary differential equation but by a set of trajectories solutions of a differential inclusion.

Ce travail présente quelques résultats sur les systèmes de particules en interaction pour l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles, avec des applications à des questions de dynamique moléculaire et de chimie quantique. On présente notamment une méthode particulaire permettant d'analyser le processus de la force biaisante adaptative, utilisé en dynamique moléculaire pour le calcul de différences d'énergies libres. On étudie également la sensibilité de dynamiques stochastiques par rapport à un paramètre, en vue du calcul des forces dans l'approximation de Born-Oppenheimer pour rechercher l'état quantique fondamental de molécules. Enfin, on présente un schéma numérique basé sur un système de particules pour résoudre des lois de conservation scalaires, avec un terme de diffusion anormale se traduisant par une dynamique de sauts sur les particules / This work presents some results on stochastically interacting particle systems and probabilistic interpretations of partial differential equations with applications to molecular dynamics and quantum chemistry. We present a particle method allowing to analyze the adaptive biasing force process, used in molecular dynamics for the computation of free energy differences. We also study the sensitivity of stochastic dynamics with respect to some parameter, aiming at the computation of forces in the Born-Oppenheimer approximation for determining the fundamental quantum state of molecules. Finally, we present a numerical scheme based on a particle system for the resolution of scalar conservation laws with an anomalous diffusion term, corresponding to a jump dynamics on the particles

Cette thèse est divisée en trois chapitres. Le premier explique comment utiliser la méthode «level-set» de manière rigoureuse pour faire la simulation de feux de forêt en utilisant comme modèle physique pour la propagation le modèle de l'ellipse de Richards. Le second présente un nouveau schéma semi-implicite avec une preuve de convergence pour la solution d'une équation de type Hamilton-Jacobi anisotrope. L'avantage principal de cette méthode est qu'elle permet de réutiliser des solutions à des problèmes «proches» pour accélérer le calcul. Une autre application de ce schéma est l'homogénéisation. Le troisième chapitre montre comment utiliser les méthodes numériques des deux premiers chapitres pour étudier l'influence de variations à petites échelles dans la vitesse du vent sur la propagation d'un feu de forêt à l'aide de la théorie de l'homogénéisation. / This thesis is divided in three chapters. The first explains how to use the level-set method in a rigorous way in the context of forest fire simulation when the physical propagation model for firespread is Richards' ellipse model. The second chapter presents a new semi-implicit scheme with a proof of convergence for the numerical solution of an anisotropic Hamilton-Jacobi partial differential equation. The advantage of this scheme is it allows the use of approximative solutions as initial conditions which reduces the computation time. The third chapter shows how to use the tools introduced in the first two chapters to study the influence of small-scale variations on the wind speed on firespread using the theory of homogenization.