Cette thèse est consacrée à des questions d'analyse en amont de la modélisation de structures arborescentes, comme le poumon humain. Plus particulièrement, nous portons notre intérêt sur une classe de domaines ramifiés du plan, dont la frontière comporte une partie fractale auto-similaire. Nous commençons par une étude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous étudions d'abord la régularité Sobolev de la trace sur la partie fractale de la frontière de fonctions appartenant à des espaces de Sobolev dans les domaines considérés. Nous étudions ensuite l'existence d'opérateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifiés. Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord à des définitions plus classiques de trace. Nous nous intéressons enfin à un problème de transmission mixte entre le domaine ramifié et le domaine extérieur. L'interface du problème est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche numérique, en approchant l'interface fractale par une interface préfractale. La stratégie proposée ici est basée sur le couplage d'une méthode auto-similaire pour la résolution du problème intérieur et d'une méthode intégrale pour la résolution du problème extérieur. / We study some questions of analysis in view of the modeling of tree-like structures, such as the human lungs. More particularly, we focus on a class of planar ramified domains whose boundary contains a fractal self-similar part. We start by studying some function spaces defined for this class of domains. We first study the Sobolev regularity of the traces on the fractal part of the boundary of functions in some Sobolev spaces of the ramified domains. Then, we study the existence of Sobolev extension operators for the ramified domains we consider. Finally, we compare the notion of self-similar trace on the fractal part of the boundary with more classical definitions of trace. In the last part, we focus on a mixed transmission problem between the ramified domain and the exterior domain. The fractal part of the boundary is the interface of the problem. We propose a numerical approach where we approximate the self-similar interface by a prefractal interface. The proposed strategy is based on a self-similar method for the resolution of the inner problem coupled with an integral method for the resolution of the outer problem.

Cette thèse concerne le problème de désocclusion d'images, au moyen des équations aux dérivées partielles. Dans la première partie de la thèse, la désocclusion est modélisée par un problème de Cauchy qui consiste à déterminer une solution d'une équation aux dérivées partielles avec des données aux bords accessibles seulement sur une partie du bord de la partie à recouvrir. Ensuite, on a utilisé des algorithmes de minimisation issus de la théorie des jeux, pour résoudre ce problème de Cauchy. La deuxième partie de la thèse est consacrée au choix des paramètres de régularisation pour des EDP d'ordre deux et d'ordre quatre. L'approche développée consiste à construire une famille de problèmes d'optimisation bien posés où les paramètres sont choisis comme étant une fonction variable en espace. Ceci permet de prendre en compte les différents détails, à différents échelles dans l'image. L'apport de la méthode est de résoudre de façon satisfaisante et objective, le choix du paramètre de régularisation en se basant sur des indicateurs d'erreur et donc le caractère à posteriori de la méthode (i.e. indépendant de la solution exacte, en générale inconnue). En outre, elle fait appel à des techniques classiques d'adaptation de maillage, qui rendent peu coûteuses les calculs numériques. En plus, un des aspects attractif de cette méthode, en traitement d'images est la récupération et la détection de contours et de structures fines. / Image inpainting refers to the process of restoring a damaged image with missing information. Different mathematical approaches were suggested to deal with this problem. In particular, partial differential diffusion equations are extensively used. The underlying idea of PDE-based approaches is to fill-in damaged regions with available information from their surroundings. The first purpose of this Thesis is to treat the case where this information is not available in a part of the boundary of the damaged region. We formulate the inpainting problem as a nonlinear boundary inverse problem for incomplete images. Then, we give a Nash-game formulation of this Cauchy problem and we present different numerical which show the efficiency of the proposed approach as an inpainting method.Typically, inpainting is an ill-posed inverse problem for it most of PDEs approaches are obtained from minimization of regularized energies, in the context of Tikhonov regularization. The second part of the thesis is devoted to the choice of regularization parameters in second-and fourth-order energy-based models with the aim of obtaining as far as possible fine features of the initial image, e.g., (corners, edges, … ) in the inpainted region. We introduce a family of regularized functionals with regularization parameters to be selected locally, adaptively and in a posteriori way allowing to change locally the initial model. We also draw connections between the proposed method and the Mumford-Shah functional. An important feature of the proposed method is that the investigated PDEs are easy to discretize and the overall adaptive approach is easy to implement numerically.

L'objectif de cette thèse est l'élaboration de modèles de contours actifs basés régions pour la segmentation d'images et de vidéos.<br />Nous proposons de segmenter les régions ou objets en minimisant une fonctionnelle composée d'intégrales de régions et d'intégrales de contours. Dans ce cadre de travail, les fonctions caractérisant les régions ou les contours sont appelées "descripteurs''. La recherche du minimum se fait via la propagation d'un contour actif dit basé régions. L'équation d'évolution associée est calculée en utilisant les outils de dérivation de domaines. Par ailleurs, nous prenons en compte le cas des descripteurs dépendant de la région qui évoluent au cours de la propagation du contour. Nous montrons que cette dépendance induit des termes supplémentaires dans l'équation d'évolution.<br /><br />Le cadre de travail développé est ensuite mis en oeuvre pour des applications variées de segmentation. Tout d'abord, des descripteurs statistiques basés sur le déterminant de la matrice de covariance sont étudiés pour la segmentation du visage. L'estimation des paramètres statistiques se fait conjointement à la segmentation. Nous proposons ensuite des descripteurs statistiques utilisant une distance à un histogramme de référence. Enfin, la détection des objets en mouvement dans les séquences à caméra fixe et mobile est opérée via l'utilisation hierarchique de descripteurs basés mouvement et de descripteurs spatiaux.

D'Alembert est l'auteur d'un quatrième et dernier traité d'hydrodynamique méconnu des historiens des sciences : le Mémoire 57 du t. VIII de ses "Opuscules mathématiques" (1780). Il y répond, pour l'essentiel, à un écrit de Borda de 1766 contenant une sévère remise en question des principes et concepts fondateurs de son "Traité des fluides" (1744). Cette polémique entre les deux géomètres s'inscrit dans une période de crise de l'hydrodynamique touchant à la concordance entre théorie et expérience. Les équations aux dérivées partielles obtenues par D'Alembert dans son "Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides" (1752), puis par Euler dans ses célèbres mémoires de 1755, n'ont pu être résolues. L'approche unidimensionnelle initiée par Daniel Bernoulli dans l'"Hydrodynamica" (1738) puis adoptée par Jean Bernoulli dans l'"Hydraulica" (1743) et par D'Alembert dans le "Traité des fluides" (1744), repose, quant à elle, sur une approximation, l'hypothèse du parallélisme des tranches, trop éloignée des résultats expérimentaux disponibles. C'est cet écart que Borda tente de pallier en 1766 afin de faire sortir la discipline de l'impasse dans laquelle elle se trouve.<br />Dans le Mémoire 57, D'Alembert, directement visé par ce dernier, donne son point de vue sur le sujet, répond implicitement aux critiques de Borda, revient sur ses écrits antérieurs, et propose de nouvelles pistes de recherche théoriques. L'étude de ce traité, tant du point de vue physique que mathématique, engage ici un réexamen des principes et concepts fondateurs de sa théorie des écoulements, la plupart n'ayant été que partiellement abordés par l'historiographie. Il nous permet également de situer ses recherches vis-à-vis de celles des principaux artisans du développement de l'hydrodynamique à cette époque, Daniel Bernoulli, Jean Bernoulli, Euler et Lagrange, et de donner une idée de leur réception et de leur pérennité.

Nous nous intéressons à l'étude d'un problème d'analyse des transferts de chaleur qui modélise une opération de soudage. L'approche que nous considérons ne s'occupe que de la partie solide de la plaque. Elle consiste à résoudre un problème à frontière libre. Pour cela, nous proposons une formulation en optimisation de forme. Le problème d'état est gouverné par un opérateur qui, pour certaines données, n'est pas coercif. Cela complique l'étude de la continuité du problème d'état. Nous surmontons cette difficulté en utilisant le degré topologique de Leray-Shauder, ainsi nous montrons l'existence d'un domaine optimal. Ensuite, nous considérons une discrétisation de ce problème basée sur les éléments finis linéaires. Nous prouvons alors que le problème discret admet une solution et nous montrons qu'une sous-suite des solutions de ce problème convergence vers la solution du problème continu. Enfin, nous présentons des résultats numériques réalisés par deux méthodes : la méthode déterministe basée sur le calcul du gradient de forme, et les algorithmes génétiques combinés avec la logique floue et le calcul parallèle. Ainsi une étude comparative de ces deux méthodes aux niveaux qualitatif et quantitatif a été présentée.

La motivation de cette thèse de Doctorat est de modéliser quelques problèmes biologiques avec des systèmes et des équations de réaction-diffusion. La thèse est divisée en sept chapitres: 1. On modélise des ions de calcium et des protéines dans une épine dendritique mobile (une microstructure dans les neurones). On propose deux modèles, un avec des protéines qui diffusent et un autre avec des protéines fixées au cytoplasme. On démontre que le premier problème est bien posé, que le deuxième problème est presque bien posé et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. 2. On applique les techniques du Chapitre 1 pour un modèle d'infection virale et réponse immunitaire dans des cellules cultivées. On propose comme avant deux modèles, un avec des cellules qui diffusent et un autre avec des cellules fixées. On démontre que les deux problèmes sont bien posés et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. On Žtudie aussi le comportement asymptotique et la stabilité des solutions pour des temps larges, et on fait des simulations dans Matlab. 3. Dans le Chapitre 3 on montre que la croissance a deux effets positives dans la formation de motifs ou patterns. Le premier est un effet anti-explosion (anti-blow-up) car les solutions sur un domaine croissant explosent plus tard que celles sur un domaine fixé, et si la croissance est suffisamment rapide alors elle peut même empêcher l'explosion. Le deuxième est un effet stabilisant car les valeur propres sur un domaine croissant ont des parties réelles plus petites que celles sur un domaine fixé. 4. On étend la définition de front progressif à des variétés et on en étudie quelques propriétés. 5. On étudie des front progressifs sur la droite réelle. On démontre qu'il y a deux fronts progressifs qui se déplacent dans des directions opposées et qu'ils se bloquent mutuellement, générant ainsi une solution stationnaire non-triviale. Cet exemple montre que pour des modèles à diffusion non-homogène les fronts progressifs ne sont pas nécessairement des invasions. 6. On étudie des fronts progressifs sur la sphère. On démontre que pour des sous-domaines de la sphère avec des conditions aux limites de Dirichlet le front progressif est toujours bloqué, tandis que pour la sphère complète le front peut ou bien invahir ou bien être bloqué, tout en fonction des conditions initiales. 7. On étudie un problème elliptique aux valeurs propres nonlinéaires. Sur la sphère de dimension 1 on démontre l'existence de multiples solutions non-triviales avec des techniques de bifurcation. Sur la sphère de dimension n on utilise les mêmes arguments pour dŽmontrer l'existence de multiples solutions non-triviales à symétrie axiale, i.e. qui ne dépendent que de l'angle vertical.

Cette thèse s'intéresse à la modélisation et à la commande optimale de réseaux de distribution d'eau chaude avec pertes de chaleur.<br/><br/>Développement de logiciels d'aide à la compréhension du comportement dynamique du réseau, à sa gestion optimale face à des variations de données extérieures (consommations, tarifs énergétiques,...). Modélisation et optimisation du fonctionnement hydraulique et thermique du réseau, par rapport à la somme du coût de production de l'eau chaude, et du coût de fonctionnement des pompes. Exemples de simulation et d'optimisation réalisées sur des petits réseaux

Cette thèse traite des inéquations variationnelles stochastiques et de leurs applications aux vibrations de structures mécaniques. On considère d'abord un algorithme numérique déterministe pour obtenir le régime stationnaire d'une inéquation variationnelle stochastique modélisant un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc. Une famille de solutions d'équations aux dérivées partielles définissant la mesure invariante par dualité est étudiée comme alternative à la simulation probabiliste. Puis, nous présentons une nouvelle caractérisation de l'unique mesure invariante. Dans ce contexte, nous montrons une relation liant des problèmes non-locaux et des problèmes locaux en introduisant la définition des cycles courts. Dans un cadre orienté vers les applications, nous démontrons que la variance de la déformation plastique cro^it linéairement avec le temps et nous caractérisons rigoureusement le coefficient de dérive en introduisant la définition des cycles longs. Dans la suite, nous étudions un processus approché de la solution de l'inéquation comportant des sauts aux instants de transition de l' état plastique vers l' état élastique. Nous prouvons que la solution approchée converge sur tout intervalle de temps ni vers la solution de l'inéquation, lorsque la taille du saut tend vers 0. Ensuite, nous défi nissons une inéquation variationnelle stochastique pour modéliser un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc filtré. Nous prouvons la propriété ergodique du processus sous-jacent et nous caractérisons sa mesure invariante. Nous étendons la méthode de A.Bensoussan et J.Turi avec une difficulté supplémentaire due à l'accroissement de la dimension. Finalement, dans un chapitre orienté vers l'expérimentation numérique, nous mettons en évidence par les simulations probabilistes le phénomène de phases micro-élastiques. Leur impact concerne des grandeurs utiles a l'ingénieur comme la fréquence des déformations plastiques. Un critère empirique qui peut ^etre utile à l'ingénieur est fourni afin de ne pas prendre en compte les phases micro-élastiques et ainsi évaluer d'une façon réaliste, à partir de la mesure invariante, les statistiques de la déformation plastique d'un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc.

La thèse est consacrée au développement de nouvelles méthodes de modélisations mathématiques en biologie et en médecine, du type "off-lattice" modèles hybrides discret-continus, et de leurs applications à l'hématopoïèse et aux maladies sanguines telles la leucémie et l'anémie. Dans cette approche, les cellules biologiques sont considérées comme des objets discrets alors que les réseaux intracellulaire et extracellulaire sont décrits avec des modèles continus régis par des équations aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires. Les cellules interagissent mécaniquement et biochimiquement entre elles et avec le milieu environnant. Elles peuvent se diviser, mourir par apoptose ou se différencier. Le comportement des cellules est déterminé par le réseau de régulation intracellulaire et influencé par le contrôle local des cellules voisines ou par la régulation globale d'autres organes. Dans la première partie de la thèse, les modèles hybrides du type "off-lattice" dynamiques sont introduits. Des exemples de modèles, spécifiques aux processus biologiques, qui décrivent au sein de chaque cellule la concurrence entre la prolifération et l'apoptose, la prolifération et la différenciation et entre le cycle cellulaire et de l'état de repos sont étudiés. L'émergence des structures biologiques est étudiée avec les modèles hybrides. L'application à la modélisation des filamente de bactéries est illustrée. Dans le chapitre suivant, les modèle hybrides sont appliqués afin de modéliser l'érythropoïèse ou production de globules rouges dans la moelle osseuse. Le modèle inclut des cellules sanguines immatures appelées progéniteurs érythroïdes, qui peuvent s'auto-renouveler, se différencier ou mourir par apoptose, des cellules plus matures appelées les réticulocytes, qui influent les progéniteurs érythroïdes par le facteur de croissance Fas-ligand, et des macrophages, qui sont présents dans les îlots érythroblastiques in vivo. Les régulations intracellulaire et extracellulaire par les protéines et les facteurs de croissance sont précisées et les rétrocontrôles par les hormones érythropoïétine et glucocorticoïdes sont pris en compte. Le rôle des macrophages pour stabiliser les îlots érythroblastiques est montré. La comparaison des résultats de modélisation avec les expériences sur l'anémie chez les souris est effectuée. Le quatrième chapitre est consacré à la modélisation et au traitement de la leucémie. L'érythroleucémie, un sous-type de leucémie myéloblastique aigüe (LAM), se développe à cause de la différenciation insuffisante des progéniteurs érythroïdes et de leur auto-renouvellement excessif. Un modèle de type "Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamic" du traitement de la leucémie par AraC et un modèle de traitement chronothérapeutique de la leucémie sont examinés. La comparaison avec les données cliniques sur le nombre de blast dans le sang est effectuée. Le dernier chapitre traite du passage d'un modèle hybride à un modèle continu dans le cas 1D. Un théorème de convergence est prouvé. Les simulations numériques confirment un bon accord entre ces deux approches.

Ce mémoire se propose d'examiner le comportement asymptotique en temps long des fluides visqueux bidimensionnels, homogènes ou faiblement inhomogènes. On y examine souvent la dynamique des écoulements en fonction de l'évolution de la densité et, plutôt que de la vitesse, du vecteur de rotation instantanée appelé tourbillon ou vorticité. Les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne ont mis en relief le rôle primordial d'une famille de solutions auto-similaires --- les tourbillons d'Oseen ou vortex --- pour décrire l'asymptotique des écoulements à densité constante. Toute solution de l'équation de Navier-Stokes, ayant une mesure finie comme tourbillon initial et de circulation non nulle, est asymptotique en temps long à un tourbillon d'Oseen. Le résultat de Gallay et Wayne ne présente que l'inconvénient de ne pas être explicite, la première tâche de ce mémoire est de l'expliciter, ce qui fournit ainsi une borne sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. On montre ensuite que les tourbillons d'Oseen sont asymptotiquement stables en tant que fluides à densité variable, retrouvant également, par là-même, le résultat de Gallay et Wayne pour des écoulements incompressibles faiblement inhomogènes et lents. Quant aux fluides compressibles faiblement inhomogènes, on établit qu'ils se comportent essentiellement comme des fluides à densité constante dès lors que l'on considère des écoulements lents et de circulation nulle.