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Cette thèse concerne l'étude mathématique et numérique d'équations aux dérivées partielles hyperboliques non-linéaires. Une première partie traite d'une problématique émergente: le couplage d'équations hyperboliques. Les applications poursuivies relèvent du couplage mathématique de plateformes de calcul, en vue d'une simulation adaptative de phénomènes multi-échelles. Nous proposons et analysons un nouveau formalisme de couplage construit sur des systèmes EDP augmentés permettant de s'affranchir de la description géométrique des frontières. Ce nouveau formalisme permet de poser le problème en plusieurs variables d'espace en autorisant l'éventuel recouvrement des modèles à coupler. Ce formalisme autorise notamment à munir la procédure de couplage de mécanismes de régularisation visqueuse utiles à la sélection de solutions discontinues naturelles. Nous analysons alors les questions d'existence et d'unicité dans le cadre d'une régularisation parabolique autosemblable. L'existence est acquise sous des conditions très générales mais de multiples solutions sont susceptibles d'apparaître dès que le phénomène de résonance survient. Ensuite, nous montrons que notre formalisme de couplage à l'aide de modèles EDP augmentés autorise une autre stratégie de régularisation basée sur l'épaississement des interfaces. Nous établissons dans ce cadre l'existence et l'unicité des solutions au problème de Cauchy pour des données initiales $L^\infty$. À cette fin, nous développons une technique de volumes finis sur des triangulations générales que nous analysons dans la classe des solutions à valeurs mesures entropiques de DiPerna. La seconde partie est consacrée à la définition d'un schéma de volumes finis pour l'approximation des solutions non classiques d'une loi de conservation scalaire basée sur une relation cinétique. Ce schéma présente la particularité d'être stricto sensu conservatif contrairement à une approche à la Glimm qui ne l'est que statistiquement. Des illustrations numériques étayent le bien-fondé de notre approche.

Nous étudions dans ce travail la modélisation de la cristallisation d'une chambre magmatique fermée. Le modèle physique et mathématique couple trois phénomènes élémentaires : solidification, sédimentation et réactions chimiques entre solide et liquide magmatique. L'adimensionnement des équations aux dérivées partielles permet de faire apparaître deux paramètres exprimant les ratios respectifs de la vitesse de solidification sur la vitesse de déplacement et de la cinétique d'échange chimique sur la vitesse de déplacement. La vitesse de déplacement relatif entre le solide et le liquide, la vitesse de solidification et la loi de partage à l'équilibre sont supposées connues ; la loi d'équilibre chimique peut être non linéaire et s'appliquer aux éléments majeurs. Le modèle est écrit pour un constituant chimique. Il est scindé en deux sous modèles, celui de la cristallisation/sédimentation et celui du transport réactif. Le premier est exprimé par une équation de nature hyperbolique et est résolu par un schéma à trois points, le second est résolu par des schémas décentrés. Le code de calcul est écrit en langage Fortran 90, il est ensuite validé par des méthodes théoriques telles que la méthode des courbes caractéristiques, par des calculs analytiques ou par des considérations qualitatives. Les simulations numériques montrent que, pour certaines valeurs des paramètres adimensionnés et pour certaines formes de la loi d'équilibre chimique, la composition chimique de la chambre peut présenter une répartition non uniforme des compositions, en particulier bimodale (deux valeurs des concentrations sont privilégiées), à partir de conditions initiales homogènes. Le degré de cette bimodalité dépend notamment de la forme de la loi de partage à l'équilibre. Ce modèle fournit un cadre intellectuel pour discuter les phénomènes responsables de la variété de compositions des roches magmatiques, notamment dans une même province. Il montre en particulier que le couplage entre trois phénomènes élémentaires suffit à rendre compte de la bimodalité ou plus généralement de l'apparition de discontinuités de composition, sans faire intervenir de phénomène additionnel.

On dérive un nouveau modèle d’écoulements cisaillés et turbulents d’eau peu profonde. Les écarts de la vitesse horizontale par rapport à sa valeur moyenne sont pris en compte par une nouvelle variable appelée enstrophie, liée à la vorticité et à l’énergie turbulente. Le modèle comporte trois équations qui sont les bilans de masse, de quantité de mouvement et d’énergie. Le modèle est hyperbolique et peut être écrit sous forme conservative. L’énergie turbulente, dont l’intensité peut être importante, est produite par les ondes de choc qui apparaissent naturellement dans le modèle. Les écoulements rapidement variés étudiés sont caractérisés par l’existence d’une structure turbulente appelée rouleau dans laquelle la dissipation d’énergie turbulente joue un rôle majeur. Cette dissipation, qui détermine notamment le profil de profondeur, est modélisée par l’introduction d’un terme nouveau dans le bilan d’énergie. Le modèle comporte deux paramètres. L’un gouverne la dissipation de l’énergie turbulente du rouleau. L’autre paramètre, l’enstrophie de paroi, liée au cisaillement sur le fond, peut être considéré comme constant dans la partie rapidement variée d’un écoulement, sur laquelle il exerce une influence assez faible. Ce modèle a été appliqué avec succès aux vagues des trains de rouleaux et au ressaut hydraulique classique. Le profil de la surface libre est en très bon accord avec les résultats expérimentaux. L’étude numérique en régime non stationnaire permet notamment de prédire le régime oscillatoire du ressaut hydraulique. La fréquence d’oscillations correspondante est en accord satisfaisant avec les mesures expérimentales de la littérature. / We derive a new model of turbulent shear shallow water flows. The deviation of the horizontal velocity from its average value is taken into account by a new variable called enstrophy, which is related to the vorticity and to the turbulent energy. The model consists of three equations which are the balances of mass, momentum and energy. The model is hyperbolic and can be written in conservative form. The turbulent energy, which can be of high intensity, is produced in shock waves which appear naturally in the model. The rapidly varied flows we studied are characterized by the presence of a turbulent structure called roller in which the turbulent energy dissipation plays a major part. This dissipation, which determines, in particular, the depth profile, is modelled by the introduction of a new term in the energy balance equation. The model contains two parameters. The first one governs the dissipation of the turbulent energy of the roller. The second one, the wall enstrophy, related to the shearing at the bottom, can be considered as constant in the rapidly varied part of the flow on which it does not exert an important influence. This model was successfully applied to roll waves and to the classical hydraulic jump. The free surface profile was found in very good agreement with the experimental results. The numerical study in the non-stationary case can notably predict the oscillations of the hydraulic jump. The corresponding oscillation frequency is in good agreement with the experimental measures found in the literature.

L'ensemble des événements permettant la fabrication et le renouvellement continu des cellules du sang représente une série de processus complexes, appelée hématopoïèse, ayant lieu dans la moelle osseuse. L'hématopoïèse repose sur une réserve de cellules souches, dites hématopoïétiques, possédant des capacités uniques de différenciation (capacité à générer l'ensemble des cellules du sang) et d'auto-renouvellement (capacité à générer une cellule fille identique à la cellule mère). Nous avons réalisé une étude mathématique de l'hématopoïèse à l'aide de modèles non-linéaires structurés en âge et maturité. Elle a permis de mettre en évidence l'influence des cellules souches hématopoïétiques sur la population totale de cellules du sang, ces cellules agissant activement sur la stabilité de la population. Par l'étude de modèles non structurés en maturité, réduits par intégration à un système d'équations différentielles avec retard distribué, nous avons mis en évidence l'existence de solutions oscillantes et, à travers l'étude d'une bifurcation de Hopf, de solutions périodiques, avec de très longues périodes en comparaison de la durée du cycle cellulaire. Ces oscillations sont caractéristiques de maladies du sang dites cycliques, dont la leucémie myéloïde chronique, une forme très répandue de leucémie. Notre travail représente une contribution à l'étude de cette maladie. Enfin, nous nous sommes intéressés à un modèle d'hématopoïèse prenant en compte l'action de facteurs extérieurs à la moelle osseuse qui agissent sur la différenciation des cellules souches. Nous avons établi l'existence de solutions oscillantes pouvant décrire certaines maladies hématologiques cycliques.

Ce mémoire est centré autour de l'analyse numérique de schémas volumes finis pour un modèle simplifié d'écoulement de deux fluides incompressibles en milieu poreux. Ces phénomènes sont souvent qualifiés de phénomènes de convection diffusion à convection dominante (``convection dominated problems'' en anglais). La première partie du mémoire est consacrée à l'approximation numérique d'équations paraboliques hyperboliques faiblement ou fortement dégénérées. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude de la convergence de schémas volumes finis. Le dernier chapitre est consacré à l'analyse des résultats numériques obtenus. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieu poreux par deux schémas différents. Le premier schéma dit ``des mathématiciens'' est basé sur la réécriture du système étudié sous la forme d'une équation parabolique hyperbolique sur la saturation et d'une équation elliptique sur la pression, ces deux équations étant couplées par le coefficient de diffusion. Le second schéma dit schéma ``des pétroliers'' est une méthode numérique utilisée en pratique dans l'industrie pétrolière. Les deux schémas sont analysés séparément et ils sont ensuite comparés numériquement.

Mes travaux de recherche portent sur la mécanique des fluides, et plus précisément sur les systèmes de particules, avec plusieurs domaines d'applications : le poumon (aérosol thérapie, pollution, régimes diffusifs), la formation d'opinion (sociophysique), et le couplage entre un fluide et une phase dispersée. La plupart de mes travaux s'appuient sur la théorie cinétique, où apparaissent des équations aux dérivées partielles cinétiques où l'inconnue est une fonction de distribution ayant pour variables non seulement le temps ou l'espace, mais aussi toute autre grandeur physique pertinente décrivant l'état des particules (vitesse, énergie, opinion, etc.).

Cette thèse porte sur la résolution numérique du modèle multi-dimensionnel d'écoulement cisaillé en eau peu profonde. Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel, ces équations coïncident avec les équations de la dynamique de gaz pour un choix particulier de l'équation d'état. Dans le cas multi-dimensionnel, le système est complètement différent du modèle de la dynamique de gaz. Il s'agit d'un système EDP hyperbolique 2D non-conservatif qui rappelle un modèle de turbulence barotrope. Le modèle comporte trois types d'ondes correspondant à la propagation des ondes de surface, des ondes de cisaillement et à celle de la discontinuité de contact. Nous présentons dans le cas 2D un schéma numérique basé sur une nouvelle approche de ``splitting" pour les systèmes d'équations non-conservatives. Chaque sous-système ne contient qu'une seule famille d'ondes: ondes de surface ou ondes de cisaillement, et discontinuité de contact. La précision d'une telle approche est testée sur des solutions exactes 2D décrivant l'écoulement lorsque la vitesse est linéaire par rapport aux variables spatiales, ainsi que sur des solutions décrivant des trains de rouleaux 1D. Finalement, nous modélisons un ressaut hydraulique circulaire formé dans un écoulement convergent radial d'eau. Les résultats numériques obtenus sont clairement similaires à ceux obtenus expérimentalement: oscillations du ressaut et son rotation avec formation du point singulier. L'ensemble des validations proposées dans ce manuscrit démontre les aptitudes du modèle et de la méthode numérique pour la résolution des problèmes complexes d'écoulements cisaillés en eau peu profonde multidimensionnels. / This thesis is devoted to the numerical modelling of multi-dimensional shear shallow water flows. In 1D case, the corresponding equations coincide with the equations describing non--isentropic gas flows with a special equation of state. However, in the multi-D case, the system differs significantly from the gas dynamics model. This is a 2D hyperbolic non-conservative system of equations which is reminiscent of a generic Reynolds averaged model of barotropic turbulent flows. The model has three families of characteristics corresponding to the propagation of surface waves, shear waves and average flow (contact characteristics). First, we show the ability of the one-dimensional conservative shear shallow water model to predict the formation of roll-waves from unstable initial data. The stability of roll waves is also studied.Second, we present in 2D case a new numerical scheme based on a splitting approach for non-conservative systems of equations. Each split subsystem contains only one family of waves (either surface or shear waves) and contact characteristics. The accuracy of such an approach is tested on exact 2D solutions describing the flow where the velocity is linear with respect to the space variables, and on the solutions describing 1D roll waves. Finally, we model a circular hydraulic jump formed in a convergent radial flow of water. Obtained numerical results are qualitatively similar to those observed experimentally: oscillation of the hydraulic jump and its rotation with formation of a singular point. These validations demonstrate the capability of the model and numerical method to solve challenging multi--dimensional problems of shear shallow water flows.

Ce document synthétise un ensemble de travaux portant sur le développement et l'analyse de méthodes de volumes finis utilisées pour l'approximation numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la physique. Le mémoire aborde dans sa première partie des schémas colocalisés de type Godunov d'une part pour les équations de l'électromagnétisme, et d'autre part pour l'équation des ondes acoustiques, avec une étude portant sur la perte de précision de ce schéma à bas nombre de Mach. La deuxième partie est consacrée à la construction d'opérateurs différentiels discrets sur des maillages bidimensionnels relativement quelconques, en particulier très déformés ou encore non-conformes, et à leur utilisation pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles modélisant des phénomènes de diffusion, d'électrostatique et de magnétostatique et d'électromagnétisme par des schémas de type volumes finis en dualité discrète (DDFV) sur maillages décalés. La troisième partie aborde ensuite l'analyse numérique et les estimations d'erreur a priori et a posteriori associées à la discrétisation par le schéma DDFV de l'équation de Laplace. La quatrième et dernière partie est consacrée à la question de l'ordre de convergence en norme $L^2$ de la solution numérique du problème de Laplace, issue d'une discrétisation volumes finis en dimension un et en dimension deux sur des maillages présentant des propriétés d'orthogonalité. L'étude met en évidence des conditions nécessaires et suffisantes relatives à la géométrie des maillages et à la régularité des données du problème afin d'obtenir la convergence à l'ordre deux de la méthode.