Motivée par des applications en géophysique et ingénierie sismique, cette thèse cherche à contribuer à l'étude de phénomènes de propagation d'ondes en milieux élastiques non bornés. Nous développons des techniques mathématiques et numériques pour résoudre des problèmes de diffraction en régime harmonique, dans des domaines infinis extérieurs et demi-infinis localement perturbés. En plus, nous introduisons une nouvelle condition aux limites du type impédance en élasticité, laquelle généralise la condition de frontière libre utilisée d'habitude pour décrire la surface de la terre en problèmes géophysiques. Les ondes de surface qui apparaissent avec cette condition aux limites sont étudiées. Nous montrons l'existence de l'onde de Rayleigh et comment elle dépend de l'impédance. En plus, nous prouvons qu'il apparaît une onde de surface additionnelle dans un cas particulière. Pour traiter numériquement les domaines non bornés, nous considérons des approches basées sur des conditions aux limites exactes et des méthodes d'équations intégrales de frontière. Les premières s'appliquent à des domaines extérieurs, pendant que les deuxièmes s'emploient pour les deux types de domaine. Un accent particulier est mis sur les équations intégrales et les méthodes d'éléments de frontière pour résoudre des problèmes de diffraction dans des demi-plans localement perturbés. Nous calculons de manière efficace et précise la fonction de Green d'un demi-plan élastique avec des conditions aux limites d'impédance, à l'aide d'une méthode de calcul qui combine de façon appropriée des techniques analytiques et numériques. Nous proposons aussi une méthode d'équations intégrales de frontière basée sur la fonction de Green calculée. Finalement, les procédures numériques sont validées en utilisant des problèmes benchmark appropriés.

Les antennes lentilles sont des dispositifs ayant pour support les ondes électromagnétiques et sont constituées d'une source primaire et d'un système focalisant diélectrique. La montée en importance récente d'applications en ondes millimétriques (exemple : radars d'assistance et d'aide à la conduite), nécessite la construction d'antennes lentilles de quelques centimètres qui répondent à des cahiers des charges spécifiques à chaque cas. L'une des problématiques à résoudre consiste à déterminer la forme optimale de la lentille étant données : (i) les caractéristiques de la source primaire, (ii) les caractéristiques en rayonnement fixées. Ce projet de thèse vise à développer de nouveaux outils pour l'optimisation de forme en utilisant une formulation intégrale du problème.<br />Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première nous avons construit plusieurs formulations intégrales pour le problème de diffraction diélectrique en utilisant une approche par équation intégrale surfacique. Dans la seconde nous avons étudié les dérivées de forme des opérateurs intégraux standard en électromagnétisme dans le but de les incorporer dans un algorithme d'optimisation de forme.

La recherche sur les écoulements à surface libre turbulents, et sur le cisaillement turbulent spécifiquement progresse depuis les années 1970. Les équations décrivant le mouvement d'agitation turbulente sont bien connues. Elles sont reliées directement aux équations non moyennées de continuité et de conservation de la quantité de mouvement qui forment le système d'équations de Navier-Stokes ainsi que les différentes équations de corrélations du mouvement turbulent. Pour un écoulement turbulent, ce système d'équations présente un problème de fermeture relié à la présence des termes associés aux contraintes de Reynolds. L'échelle du phénomène et plusieurs processus importants du mouvement turbulent ne peuvent ainsi être résolus de façon exacte, et un degré d'approximation devient donc nécessaire. La recherche sur le phénomène de la turbulence a permis de développer plusieurs concepts et approches reliés, notamment, à la viscosité turbulente, à l'isotropie locale de la turbulence et aux équations de transport des termes fluctuants afin de résoudre le problème de fermeture du système d'équations de Navier-Stokes. Ces approches présentent évidemment certaines limitations. De fait, la turbulence est fortement dépendante des conditions aux frontières par rapport à l'écoulement moyen et ne permet pas de prédétermination de la forme des distributions des vitesses moyennes de l'écoulement dans le cadre de la recherche d'une solution approximative. Ce travail de recherche présente un modèle hydrodynamique turbulent 2D vertical, en vue de résoudre une problématique d'écoulement à surface libre à partir de la méthode des éléments finis de frontière ainsi qu'une démarche en laboratoire, afin de caractériser les fluctuations de vitesses et de pression d'un écoulement turbulent à l'aide d'une méthode de vélocimétrie par imagerie de particules. Pour notre modèle numérique, notre approche procède à partir d'une formulation intégrale des équations moyennées de conservation de la quantité de mouvement et de continuité et l'équation associée des corrélations de vitesses turbulentes. En spécifiant les conditions aux limites pour les vitesses, la corrélation et les tractions à la frontière, le calcul du champ de vitesses peut être déterminé en termes des variables primaires à la frontière. Dans ces conditions, il n'est pas requis de discrétiser le domaine à l'aide d'un maillage ou de cellules ce qui pennet une utilisation plus efficiente des ressources et du temps de calcul. Des applications à des cas d'écoulements simples permettent de démontrer la validité du modèle bien que l'imposition des contraintes à la frontière peut être difficile à interpréter et que dans certains cas, l'intégration numérique pour des fonctions singulières peut être hasardeuse. À tenne, notre modèle prédit correctement les solutions analytiques de l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement de Couette et ce, sans imposer de distribution à priori des variables primaires de l'écoulement sur le domaine, dans la recherche d'une solution numérique. Le système d'équations de Navier-Stokes, pour un écoulement turbulent, peut donc être envisagé à partir d'une formulation intégrale sur la frontière uniquement. Cette situation étant en accord et cohérente avec le comportement physique attendu du phénomène où les propriétés d'un écoulement turbulent sont directement reliées aux conditions aux limites et que l'action des contraintes fluctuantes est inter-reliée avec l'écoulement moyen. D'autre part, la démarche expérimentale à l'aide de vélocimétrie par imagerie de particules a permis une meilleure compréhension des spécificités des écoulements turbulents à surface libre, à Reynolds modéré. Notre analyse sur les conditions turbulentes à la frontière de l'écoulement tend à corroborer que les corrélations de vitesses turbulentes sont en équilibre avec le gradient de pression et bien que l'écoulement moyen puisse être stationnaire, il apparaît que les corrélations varient continuellement dans le temps selon une action dissipative, ce qui signifie que le gradient de pression est en constante évolution pour équilibrer le système. De plus, il apparaît que les conditions de pression moyenne dans un modèle, ne peuvent représenter adéquatement la réalité physique de l'action de la pression instantanée selon l'agitation turbulente. Enfin, remarquons que l'étude de la turbulence en laboratoire peut être entreprise de manière adéquate, aujourd'hui, avec des moyens limités malgré l'échelle du phénomène. Mots clés: équations de Navier-Stokes, écoulement turbulent, corrélations de vitesses, éléments finis de frontière, vélocimétrie par imagerie de particules.

L'utilisation de la méthode des équations intégrales de frontière s'est énormément développée dans la simulation numérique. Notre travail est axé sur l'application de cette méthode à la simulation de deux problèmes particuliers : la conduction surfacique sous tension alternative et l'induction magnétique en régime variable. Le premier chapitre porte sur la description des problèmes à simuler. Deux thèmes y sont développés: la modélisation des problèmes et les conditions aux limites. Le deuxième chapitre est centré sur la présentation de la méthode des équations intégrales de frontière. Cette présentation couvre de manière synthétique les fondements mathématiques et les techniques numériques utilisées pour la mise en oeuvre sur ordinateur de cette méthode. Ses avantages et inconvénients sont aussi discutés. Le troisième et le quatrième chapitres sont consacrés à la simulation de l'induction magnétique en régime variable et de la conduction surfacique en régime permanent alternatif, respectivement. Les résultats obtenus mettent en évidence la validité de la simulation et l'efficacité des logiciels que nous avons développés. Les futurs développements sont aussi décrits dans ces chapitres.

Certains dispositifs électrotechniques présentent une couche de faible conductivité et de faible épaisseur qui modifie considérablement les répartitions des potentiels et des champs électriques. Cette situation se rencontre, par exemple, dans l'étude des isolateurs pollués ou des traversées comportant un revêtement semi-conducteur. La zone conductrice a une épaisseur très faible devant les autres dimensions du système et il est difficile d'en tenir compte, telle quelle, dans une méthode numérique. Ce travail est consacré à la modélisation (2D et 3D axisymétrique) d'une couche conductrice présente à l'interface de deux diélectriques. Celle-ci est simulée par une surface munie d'une conductivité surfacique qui peut dépendre ou non du champ électrique. Les équations qui caractérisent le modèle ont été implantées dans un logiciel de calcul de champ basé sur la méthode des équations intégrales de frontière. Le premier chapitre décrit les divers phénomènes physiques liés à la présence d'une couche conductrice entre deux isolants. Le second chapitre rappelle d'abord les résultats très classiques sur les équations de Maxwell. Ensuite, il établit une équation de conservation de l'électricité au niveau de la zone conductrice. Le troisième chapitre passe en revue les différentes méthodes numériques généralement utilisées en électrotechnique. Le quatrième chapitre est consacré à la résolution numérique. Le cinquième chapitre présente les résultats et la validation du nouveau module logiciel. Les résultats obtenus, dans le cas d'une configuration simplifiée, sont en accord avec la solution analytique (problème linéaire) et la solution numérique (problème non linéaire).

Dans ce travail nous avons ouvert des voies nouvelles pour la méthode des équations intégrales de frontière appliquée à la résolution des problèmes tridimensionnels de l'électromagnétisme en basse fréquence. Elles permettent de réaliser un maillage adaptatif associé à des résolutions approchées, locales, du système intégral. Dans le premier chapitre nous discutons brièvement les différentes méthodes numériques appliquées à l'électromagnétisme. Le deuxième chapitre est consacré à la méthode des équations intégrales de frontière. Nous y justifions nos choix particuliers (type et ordre des éléments discrétisant les frontières) et décrivons les algorithmes réalisés, par exemple pour la prise en compte des symétries ou périodicités des systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nos méthodes de calcul des intégrales élémentaires, combinant l'analytique et le numérique, sont décrites et validées. Dans le chapitre quatre, nous présentons un estimateur d'erreur basé sur l'écart entre la valeur interpolée du potentiel et sa valeur calculée par la méthode intégrale elle-même. Pour finir, nous utilisons dans le chapitre cinq cet estimateur d'erreur pour réaliser automatiquement un. maillage adapté à chaque problème traité, en autorisant aussi un maillage « non-conforme ». Une méthode de résolution locale permet un gain important en temps de calcul pendant cette phase de maillage adaptatif. Le maillage final est séparé en domaines, ce qui permet d'améliorer le résultat par itérations entre ces domaines, et sans recourir à une résolution globale, très coûteuse pour des problèmes de grande taille.

La tenue diélectrique des matériels d'isolation est tributaire des répartitions du champ et du potentiel à leurs surfaces. Ces répartitions en présence de la conduction surfacique sont différentes des répartitions électrostatiques. Ce travail consiste en l'application de la méthode des équations intégrales de frontière (MEIF) pour le calcul des distributions du champ et du potentiel électriques dans le cas des isolateurs pollués soumis à une tension alternative à fréquence industrielle. Dans le chapitre 1, nous parlerons de phénomènes de conduction surfacique sur les isolateurs pollués avant de voir les équations et les conditions qui gouvernent les distributions du champ et du potentiel électriques. Pour calculer ces répartitions, des méthodes numériques ont été développées. Le chapitre 2 porte sur les principales méthodes numériques utilisées jusqu'à nos jours suivies d'un rappel de la méthode des équations intégrales de frontière. Le chapitre 3 est consacré à l'application de la MEIF aux isolateurs pollués. On y reporte l'ensemble des équations à résoudre, leurs traitements numériques ainsi que le calcul des différentes grandeurs locales et globales. On aboutit ainsi à un modèle numérique de la conduction surfacique appelé « module pollution ». Le chapitre 4 porte sur la validation du modèle avec la présentation de quelques résultats. Nous terminerons par la présentation d'exemples d'application et l'évocation de possibles extensions du modèle numérique : ceci fait l'objet du chapitre 5.

Cette thèse s'inscrit dans le sujet des opérateurs intégraux de frontière définis sur le disque unitaire en trois dimensions, leurs relations avec les problèmes externes de Laplace et Helmholtz, et leurs applications au préconditionnement des systèmes linéaires obtenus en utilisant la méthode des éléments finis de frontière.On décrit d'abord les méthodes intégrales pour résoudre les problèmes de Laplace et de Helmholtz en dehors des objets à frontière régulière lipschitzienne, et en dehors des surfaces bidimensionnelles ouvertes dans un espace tridimensionnel. La formulation intégrale des problèmes de Laplace et de Helmholtz pour ces cas est décrite formellement. La mise en oeuvre d'une méthode numérique utilisant la méthode des éléments finis de frontière est également décrite. Les avantages et les défis inhérents à la méthode sont abordés : la complexité du calcul numérique (de mémoire et algorithmique) et le mal conditionnement inhérentes à des systèmes linéaires associés.Dans une deuxième partie on expose une technique optimale de préconditionnement (indépendante de la discrétisation) sur la base des opérateurs intégraux de frontière. On montre comment cette technique est facilement réalisable dans le cas de problèmes définis en dehors d'un objet régulier à frontière lipschitzienne, mais qu'elle pose des problèmes quand ils sont définis en dehors d'une surface ouverte dans un espace tridimensionnel. On montre que les opérateurs intégraux de frontière associés à la résolution des problèmes de Dirichlet et Neumann définis en dehors des surfaces ont des inverses bien définis. On montre également que ceux-ci pourraient conduire à des techniques de préconditionnement optimales, mais que ses formes explicites ne sont pas faciles à obtenir. Ensuite, on montre une méthode pour obtenir de tels opérateurs inverses de façon explicite lorsque la surface sur laquelle ils sont définis est un disque unitaire dans un espace tridimensionnel. Ces opérateurs inverses explicites seront, cependant, en forme des séries, et n'auront pas une adaptation immédiate pour leur utilisation dans des méthodes des éléments finis de frontière.Dans une troisième partie on montre comment certaines modifications aux opérateurs inverses mentionnés permettent d'obtenir des expressions variationnelles explicites et fermées, non plus sous la forme des séries, en conservant certaines caractéristiques importantes pour l'effet de préconditionnement cherché. Ces formes explicites sont en effet applicables aux méthodes des éléments finis frontière. On obtient des expressions variationnelles précises et on propose des calculs numériques pour leur utilisation avec des éléments finis frontière. Ces méthodes numériques sont testées en utilisant différentes identités obtenues dans la théorie développée, et sont ensuite utilisées pour produire des matrices préconditionnantes. Leur performance en tant que préconditionneurs de systèmes linéaires associés à des problèmes de Laplace et Helmholtz à l'extérieur du disque est testée. Enfin, on propose extension de cette méthode pour couvrir les cas de surfaces diverses. Ceci est illustré et étudié dans les cas précis des problèmes extérieurs à des surfaces en forme de carré et en forme de L dans un espace tridimensionnel. / This thesis is about some boundary integral operators defined on the unit disk in a three-dimensional spaces, their relation with the exterior Laplace and Helmholtz problems, and their application to the preconditioning of the systems arising when solving these problems using the boundary element method.We begin by describing the so-called integral method for the solution of the exterior Laplace and Helmholtz problems defined on the exterior of objects with Lipschitz-regular boundaries, or on the exterior of open two-dimensional surfaces in a three-dimensional space. We describe the integral formulation for the Laplace and Helmholtz problem in these cases, their numerical implementation using the boundary element method, and we discuss its advantages and challenges: its computational complexity (both algorithmic and memory complexity) and the inherent ill-conditioning of the associated linear systems.In the second part we show an optimal preconditioning technique (independent of the chosen discretization) based on operator preconditioning. We show that this technique is easily applicable in the case of problems defined on the exterior of objects with Lipschitz-regular boundary surfaces, but that its application fails for problems defined on the exterior of open surfaces in three-dimensional spaces. We show that the boundary integral operators associated with the resolution of the Dirichlet and Neumann problems defined on the exterior of open surfaces have inverse operators, and that these operators would provide optimal preconditioners, but that they are not easily obtainable. Then we show a technique to explicitly obtain such inverse operators for the particular case when the open surface is the unit disk in a three-dimensional space. Their explicit inverse operators will be given, however, in the form of series, and will not be immediately applicable in the use of boundary element methods.In the third part we show how some modifications to these inverse operators allow us to obtain variational explicit and closed form expressions, no longer expressed as series, but also conserve nonetheless some characteristics that are relevant for their preconditioning effect. These explicit and closed forms expressions are applicable in boundary element methods. We obtain precise variational expressions for them and propose numerical schemes to compute the integrals needed for their use with boundary elements. The proposed numerical methods are tested using identities available within the developed theory and then used to build preconditioning matrices. Their performance as preconditioners for linear systems is tested for the case of the Laplace and Helmholtz problems for the unit disk. Finally, we propose an extension of this method that allows for the treatment of cases of open surfaces other that the disk. We exemplify and study this extension in its use on a square-shaped and an L-shaped surface screen in a three-dimensional space.

Ce manuscrit décrit analytiquement et numériquement les instabilités d'un fluide magnétique dans une cellule de Hele-Shaw. On considère l'interface entre un fluide magnétique et un autre fluide non magnétique, miscible ou non, soumise à un champ magnétique homogène normal à la cellule ou à l'interface. Le champ démagnétisant est inhomogène à cette interface et génère un mouvement convectif des fluides. Dans la première partie, nous avons utilisé une analyse linéaire de stabilité entre deux liquides miscibles pour une distribution donnée de concentration à l'interface. Les résultats s'appliquent aussi à la stabilité d'un réseau de concentration induit par une expérience de Rayleigh forcé. Nous avons démontré que l'équation de Brinkman décrit mieux la dissipation visqueuse dans une cellule de Hele-Shaw que celle de Darcy. Nous avons trouvé que la viscosité (et non la diffusion massique) donnait à l'écoulement une échelle de longueur de l'ordre de l'épaisseur de la cellule dans le cas des forçages élevés. Dans la seconde partie de notre étude, nous avons modélisé la dynamique non linéaire de l'interface avec une tension superficielle par la méthode des intégrales de frontière. Nous avons décrit la modification des doigts de Saffman–Taylor par les forces magnétostatiques. Nous avons obtenu des structures dendritiques proches de celles observées expérimentalement et analysé quelques aspects de la formation des motifs.

Cette thèse aborde deux thématiques différentes. On s’intéresse d’abord au développement et à l’analyse de méthodes pour le sens électrique appliqué à la robotique. On considère en particulier la méthode des réflexions permettant, à l’image de la méthode de Schwarz, de résoudre des problèmes linéaires à partir de sous-problèmes plus simples. Ces deniers sont obtenus par décomposition des frontières du problème de départ. Nous en présentons des preuves de convergence et des applications. Dans le but d’implémenter un simulateur du problème direct d’électrolocation dans un robot autonome, on s’intéresse également à une méthode de bases réduites pour obtenir des algorithmes peu coûteux en temps et en place mémoire. La seconde thématique traite d’un problème inverse dans le domaine de la chimie quantique. Nous cherchons ici à déterminer les caractéristiques d’un système quantique. Celui-ci est éclairé par un champ laser connu et fixé. Dans ce cadre, les données du problème inverse sont les états avant et après éclairage. Un résultat d’existence locale est présenté, ainsi que des méthodes de résolution numériques. / This thesis tackle two different topics.We first design and analyze algorithms related to the electrical sense for applications in robotics. We consider in particular the method of reflections, which allows, like the Schwartz method, to solve linear problems using simpler sub-problems. These ones are obtained by decomposing the boundaries of the original problem. We give proofs of convergence and applications. In order to implement an electrolocation simulator of the direct problem in an autonomous robot, we build a reduced basis method devoted to electrolocation problems. In this way, we obtain algorithms which satisfy the constraints of limited memory and time resources. The second topic is an inverse problem in quantum chemistry. Here, we want to determine some features of a quantum system. To this aim, the system is ligthed by a known and fixed Laser field. In this framework, the data of the inverse problem are the states before and after the Laser lighting. A local existence result is given, together with numerical methods for the solving.