Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, nous donnons une démonstration alternative du théorème d'aplatissement par éclatements de Raynaud-Gruson. Celle-ci repose sur la construction et l'étude de certains espaces valuatifs, et nous permet de dégager la notion de $Phi$-anneau, qui fournit un substitut algébrique aux anneaux topologiques adiques : la notion correspondante de $Phi$-schéma est aux schémas ce que les espaces rigides sont aux schémas formels.Dans une seconde partie, nous nous inspirons de travaux de Laumon et de Deligne pour démontrer l'existence de facteurs $varepsilon$ locaux dans un cadre géometrique. Nous démontrons ensuite, en usant de la méthode la phase stationnaire $ell$-adique, une formule du produit pour le déterminant de la cohomologie d'un faisceau $ell$-adique sur une courbe en caractéristique $p neq ell$ positive : cela étend des résultats précédemment connus pour un corps de base fini. Parmi les outils utilisées figure la théorie du corps de classes géométrique, dont nous donnons une démonstration géométrique s'inspirant de l'approche de Deligne pour le cas non ramifié. / This thesis is divided in two parts. We first give an alternative proof of the Raynaud-Gruson's theorem regarding flattening by blow-ups. The argument rests upon the study of certain valuative spaces associated to a refined notion of ring, which we name $Phi$-rings : these are algebraic substitutes to adic topological rings, and the corresponding $Phi$-schemes can be considered as generic fibers of schemes, in the same way that rigid spaces are generic fibers of formal schemes.In the second part, we prove the existence of local $varepsilon$-factors in a geometric setting. These results, which are inspired by works of Laumon and Deligne, lead to a product formula for the determinant of the cohomology of an $ell$-adic sheaf on a curve over a perfect field of positive characteristic $p neq ell$, which was previously known for a finite base field. One of our main tools is geometric class field theory; we provide a detailed proof of its global version by extending Deligne's approach from the tamely ramified case to the general case.

This thesis consists of two papers with somewhat different flavours. In Paper I we compute the étale cohomology ring H^*(X,Z/nZ) for X the ring of integers of a number field K. As an application, we give a non-vanishing formula for an invariant defined by Minhyong Kim. We also give examples of two distinct number fields whose rings of integers have isomorphic cohomology groups but distinct cohomology ring structures. In Paper II we define stacky building data for stacky covers in the spirit of Pardini and give an equivalence of (2, 1)-categories between the category of stacky covers and the category of stacky building data. We show that every stacky cover is a flat root stack in the sense of Olsson and Borne–Vistoli and give an intrinsic description of it as a root stack using stacky building data. When the base scheme S is defined over a field, we give a criterion for when a stacky building datum comes from a ramified cover for a finite abelian group scheme over k, generalizing a result of Biswas–Borne. / Denna avhandling består av två artiklar som skiljer sig något i karaktär. I Artikel I beräknar vi den étala kohomologiringen H^*(X,Z/nZ) då X är ringen av heltal av en talkropp K. Som en tillämpning, ger vi ett kriterium i form av en formel för när en invariant definierad av Minhyong Kim är noll eller ej. Vi ger också exempel på två olika talkroppar vars ringar av heltal har isomorfa kohomologigrupper men olika kohomologiringstrukturer. I Artikel II definierar vi stackig byggnadsdata för stackiga övertäckningar i Pardinis anda och visar en ekvivalens av (2,1)-kategorier mellan kategorin av stackiga övertäckningar och kategorin av stackig byggnadsdata. Vi visar att varje stackig övertäckning är en platt rotstack i Olsson och Borne–Vistolis mening och vi ger en intrinsisk beskrivning av den som en rotstack med hjälp av stackig byggnadsdata. När basen S är definierad över en kropp, ger vi ett kriterium för när ett stackigt byggnadsdatum kommer från en ramifierad övertäckning för ett ändligt abelskt gruppschema över k. Detta generaliserar ett resultat av Biswas–Borne.

Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l’hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers. / We explicitly bound the Faltings height of a curve over the field of algebraic numbers in terms of the Belyi degree. Similar bounds are proven for three other Arakelov invariants: the discriminant, Faltings' delta invariant and the self-intersection of the dualizing sheaf. Our results allow us to explicitly bound these Arakelov invariants for modular curves, Hurwitz curves and Fermat curves. Moreover, as an application, we show that the Couveignes-Edixhoven-Bruin algorithmtime under the Riemann hypothesis for zeta-functions of number fields. This was known before only for certain congruence subgroups. Finally, we utilize our results to prove a conjecture of Edixhoven, de Jong and Schepers on the Faltings height of a branched cover of the projective line over the ring of integers.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique. / The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.