Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

A transformada de Fourier da densidade de estados de grafos quˆanticos unidimensionais apresenta picos d localizados precisamente nos valores da ac¸ ˜ao de trajet´orias Newtonianas e n˜ao-Newtonianas. Introduzindo fios extendendo-se ao infinito, investigamos o problema de espalhamento correspondente; atrav´es do espectro transformado, encontramos picos que indicam que a condutˆancia tamb´em apresenta uma assinatura destas ´orbitas. C´alculos indicam que resultados de trabalhos anteriores para grafos fechados podem ser extendidos para sistemas abertos. Em particular, uma f´ormula do trac¸o ´e apresentada para trˆes exemplos em particular. / The Fourier transform of the density of states of one-dimensional, closed quantum graph exhibits d-peaks located precisely at the actions of Newtonian and non-Newtonian orbits. By introducing leads extending to infinity, we investigate the corresponding scattering problem; through the Fourier-transformed spectra, peaks are found indicating that also the conductance displays a signature of such periodic orbits. Our calculations indicate that results from previous work on closed graphs can be extended to open systems. In particular, we indicate a trace formula for three different cases.

O objetivo desta dissertação é estudar a dinâmica de uma partícula sujeita ao potencial de um fio circular homogêneo de uma massa unitária. Estudamos o problema no ponto de vista analítico, mas com principal objetivo o estudo de vista numérico. Numa primeira etapa, identificamos as propriedades do Potencial ao fio circular em casos particulares. No caso geral estudamos a dinâmica, determinando as Secções de Poincaré, determinada através do hamiltoniano associado do problema, obtidas por rotinas numéricas e com a implementação de um integrador. Através da análise das Secções de Poincaré determinamos numericamente as famílias de órbitas periódicas como também a bifurcação das mesmas. Por fim provamos algumas propriedades da dinâmica.

Orientador: Marco Antonio Teixeira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T09:38:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mereu_AnaCristinadeOliveira_D.pdf: 1463250 bytes, checksum: 9bbe3e5b625f68effb7acc05409359ea (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho é voltado ao estudo de existência e persistência de órbitas periódicas e órbitas homoclínicas em perturbações de sistemas dinamicos reversíveis. Primeiramente, rompemos a reversibilidade de centros no plano e em dimensões superiores e detectamos condições para a existência de ciclos limites e toros invariantes. A seguir, estudamos a existência de soluções periódicas simétricas de perturbações de uma família de equações diferencias reversíveis. A existência e persistência de órbitas homoclínicas em tais equações também foram discutidas. / Abstract: In this work we study the existence and persistence of some minimal sets in perturbations of reversible systems. First we make non reversible perturbations of centers in R2 and R4 and we detect conditions for the existence of limit cycles and invariant tori. We study the existence of periodic solutions of the perturbations of a family of di_erential equations expressed by x(2n) + a (2n-2)/2 +¿+ a1x(2) + x = 0 ; for n = 2; 3. The existence and persistence of homoclinic orbits in such equations are also discussed. / Doutorado / Geometria e Topologia / Doutor em Matemática

Uma órbita bilhar em um triângulo é uma poligonal cujos segmentos começam e terminam nos lados do triângulo e que se refletem elasticamente nestes lados. É como o movimento de uma bola numa mesa de bilhar sem atrito (logo a bola tem velocidade constante e jamais para) cujas laterais formam um triângulo. Esta órbita é periódica se ela retorna infinitas vezes ao mesmo ponto com a mesma direção. A existência de órbitas bilhares periódicas em polígonos é uma questão aberta da matemática. Mesmo para um triângulo ainda não há resposta. Para triângulos agudos, a resposta é bem conhecida, pois o triângulo formato pelos pés das alturas do triângulo é uma órbita periódica. Para triângulos obtusos, em geral, pouco se sabe. O objetivo desta dissertação é coletar resultados e técnicas sobre órbitas bilhares periódicas em triângulos obtusos. Começamos introduzindo o trabalho de Vorobets, Galperin e Stepin, que no início dos anos 90 unificaram os casos conhecidos de triângulos que possuem órbita bilhar periódica, introduziram o conceito de estabilidade e mostraram novos resultados, como uma família infinita de órbitas estáveis. Temos também o teorema de 2000 de Halbeisen e Hungerbühler que estende as famílias de órbitas estáveis. Mencionamos em seguida os trabalhos de Schwartz de 2006 e 2009 que utilizam auxílio computacional para mostrar que todo triângulo com ângulos menores que $100\\degree$ possui órbita bilhar periódica. Depois temos os resultados de 2008 de Hooper e Schwartz sobre órbitas bilhares periódicas em triângulos quase isósceles e sobre estabilidade de órbitas em triângulos de Veech. Todos os casos abordados neste trabalho incluem uma vasta variedade de triângulos, mas a questão de existência de órbitas bilhares periódicas para todo triângulo está longe de ser totalmente contemplada. / A billiard orbit in a triangle is a polygonal with vertices at the boundary of the triangle such that its angles reflect elastically. It is similar to a moving ball on a billiard table without friction (so the ball has constant speed and never stops) whose sides form a triangle. This orbit is periodic if it returns infinitely to the same point with the same direction. The existence of periodic billiard orbits in polygons is an open problem in mathematics. Even for a triangle there is still no answer. For acute triangles the answer is well known since the triangle whose vertices are the base points of the three altitudes of the triangle is a periodic orbit. For obtuse triangles, in general, little is known. The aim of this thesis is to collect results and techniques on periodic billiard orbits in obtuse triangles. We start by introducing the work of Vorobets, Gal\'perin and Stepin, who unified in the early 1990s the known cases of triangles that have periodic billiard orbits, introduced the concept of stability and proved new results, such as an infinite family of stable orbits. We also have the theorem of Halbeisen and Hungerbühler of 2000 extending the families of stable orbits. Next, we mention the works of Schwartz of 2006 and 2009 that use computational assistance to prove that every triangle whose angles are at most $100\\degree$ have periodic billiard orbits. Then, we have the results of 2008 by Hooper and Schwartz on periodic billiard orbits in nearly isosceles triangles and on stability of billiard orbits in Veech triangles. All cases covered in this work include a wide variety of triangles, but the question of the existence of periodic billiard orbits for all triangles is far from being fully contemplated.

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Alain Guy Jacquemard / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-05T23:50:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pereira_WeberFlavio_D.pdf: 1832947 bytes, checksum: 58bb202e90151fc6830fbc0cd1cf430e (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: De acordo com a classificação feita por Anosov em 1959, obtemos diferentes tipos topológicos de sistemas "semi-lineares" descontínuos em JR4. Esta pré-classificação é feita através da apresentação das respectivas formas normais. Neste trabalho, consideramos perturbações não lineares de tais formas normais. As singularidades típicas são genericamente classificadas e o comportamento dos sistemas em torno destes pontos é analisado. Nosso foco é encontrar condições para a existência de uma família a l-parâmetro de órbitas periódicas terminando em singularidades no sentido do Teorema Centro de Lyapounov. As técnicas principais usadas são elementos do cálculo simbólico e da Teorida das Singularidades de Aplicações / Abstract: According to the classification made by Anosov in 1959, we derive several different topological types of semi-linear"discontinuous systems in R4. This pre-classification is done via pre-sentation of the respective normal forms. In this work, we consider non-linear perturbations of such normal forms. The typical singularities are generically classified and the behavior of the systems around these points is analyzed. Our focus is find conditions for the existence of 1-parameter family of periodic orbit terminating at the singularities in the sense of Lya- pounov Center Theorem. The main techniques used are elements of Symbolic Computation and Theory of Singularities of Mappings / Doutorado / Doutor em Matemática

O estudo da região de estabilidade é de extrema importância nas ciências, aplicações em engenharia e nos sistemas de controle não linear. Neste trabalho, uma caracterização completa da região de estabilidade e da fronteira da região de estabilidade de pontos fixos estáveis de uma classe ampla de sistemas dinâmicos discretos não lineares é desenvolvida. Os resultados deste trabalho estendem a caracterização da região de estabilidade já proposta na literatura para uma ampla classe de sistemas, modelados por difeomorfismos e que admitem a presença de órbitas periódicas e pontos fixos na fronteira da região de estabilidade. Caracterizações dinâmicas e topológicas são propostas para a fronteira da região de estabilidade. Além disso, são dadas condições necessárias e suficientes para que um ponto fixo ou órbita periódica pertença à fronteira da região de estabilidade. Exemplos numéricos, incluindo o modelo de uma rede neural simétrica com 2-neurônios, ilustram os resultados propostos neste trabalho. / The study of the stability region is very important in the sciences, engineering applications, and in nonlinear control systems. In this work, a complete characterization for both the stability region and the stability boundary of stable xed points of a nonlinear discrete dynamical systems is developed. The results of this work extend the characterization of the stability region already proposed in the literature for a larger class of systems, which are modeled by dieomorphisms and which admit the presence of periodic orbits and xed points on the stability boundary. Several dynamical and topological characterizations are proposed to the stability boundary. Moreover, several necessary and sucient conditions for xed points and periodic orbits to lie on the stability boundary are derived. Numerical examples, including the model of a symmetric neural network with 2-neurons, illustrate the results proposed in this work.

Estudamos o comportamento dinâmico de séries temporais experimentais obtidas de um circuito de Chua quando dois parâmetros de controle, $Delta R_1$ e $Delta R_2$, são variados.Investigamos os comportamentos caótico e periódico, analisando as séries temporais ao redor e no interior de duas janelas periódicas presentes no espaço de parâmetros $(Delta R_1,Delta R_2)$ do circuito. Na vizinhança da janela de período três, analisamos como a dinâmica simbólica se altera quando construída em diferentes seções de Poincaré de um mesmo atrator, e investigamos a dimensão dos mapas de retorno, uni ou bidimensional, para diferentes atratores caóticos presentes nessa região do espaço de parâmetros. Ainda nessa vizinhança, empregamos técnicas de caracterização topológica para confirmar a existência de fibras caóticas, que são curvas de codimensão um no espaço de parâmetros onde as propriedades caóticas dos atratores são preservadas.Ao redor da janela de período quatro, investigamos a transição entre os três comportamentos caóticos para os quais construímos os respectivos moldes topológicos. Propusemos também um molde topológico para o regime caótico após a crise por fusão ocorrer no circuito. Finalizando, investigamos as bifurcações e a estrutura topológica das órbitas periódicas que formam as janelas de período três e de período quatro, construindo um espaço de parâmetros topológico, baseado em um mapa bi-modal, para descrever as duas janela periódicas. / We have studied the dynamical behavior of experimental time series obtained from a Chua's circuit by variation of two parameter control, $Delta R_1$ and $Delta R_2$. We investigated the chaotic and periodic behaviors of the circuit, analyzing temporal series around and inside of two periodic windows in the two-parameter space $(Delta R_1,Delta R_2)$. In the period-three window neighborhood, we analyzed how the symbolic dynamics changes when it is built by different Poincaré sections of an attractor, and we studied the dimension of return map, one- or two-dimensional, for many chaotic attractors in this region of the parameter space. In this neighborhood, we also applied topological techniques to confirm the existence of chaotic fibers: codimension one curves where the chaotic properties of the attractors remain unchanged in the two-parameter space.Around the period-four window, we investigated, by template analysis, the transition between three chaotic attractors found in the Chua's circuit. We proposed a template for chaotic regime of the circuit after merge-crisis. Finally, we investigated the bifurcations and topological structure of periodic orbits in period-three and period-four windows and also proposed a topological parameter space, based in a bimodal map model, that describe these two periodic windows.

O estudo da região de estabilidade é de extrema importância nas ciências, aplicações em engenharia e nos sistemas de controle não linear. Neste trabalho, uma caracterização completa da região de estabilidade e da fronteira da região de estabilidade de pontos fixos estáveis de uma classe ampla de sistemas dinâmicos discretos não lineares é desenvolvida. Os resultados deste trabalho estendem a caracterização da região de estabilidade já proposta na literatura para uma ampla classe de sistemas, modelados por difeomorfismos e que admitem a presença de órbitas periódicas e pontos fixos na fronteira da região de estabilidade. Caracterizações dinâmicas e topológicas são propostas para a fronteira da região de estabilidade. Além disso, são dadas condições necessárias e suficientes para que um ponto fixo ou órbita periódica pertença à fronteira da região de estabilidade. Exemplos numéricos, incluindo o modelo de uma rede neural simétrica com 2-neurônios, ilustram os resultados propostos neste trabalho. / The study of the stability region is very important in the sciences, engineering applications, and in nonlinear control systems. In this work, a complete characterization for both the stability region and the stability boundary of stable xed points of a nonlinear discrete dynamical systems is developed. The results of this work extend the characterization of the stability region already proposed in the literature for a larger class of systems, which are modeled by dieomorphisms and which admit the presence of periodic orbits and xed points on the stability boundary. Several dynamical and topological characterizations are proposed to the stability boundary. Moreover, several necessary and sucient conditions for xed points and periodic orbits to lie on the stability boundary are derived. Numerical examples, including the model of a symmetric neural network with 2-neurons, illustrate the results proposed in this work.

Orientador: Marco Antonio Teixeira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T12:10:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Roberto_LuciAnyFrancisco_D.pdf: 627926 bytes, checksum: 0c8cb4e26df805282fa716847859d82f (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho estudamos sistemas dinâmicos possuindo estruturas Hamiltonianas e reversíveis( / Abstract: In this work we study dynamical systems possessing Hamiltonian and time-reversible structures. The reversibility concept is de¯ned in terms of an involution. Initially we discuss the dynamics of Hamiltonian vector ¯elds with 2 and 3 degrees of freedom around an elliptic equilibrium in the presence of an involution which preserves the symplectic structure. The main results discuss the existence of one-parameter families of reversible periodic solutions terminating at the equilibrium. The main techniques that are used in the proofs are Belitskii and Birkho® normal forms and the Liapunov-Schmidt Reduction. Next we consider a case of the 3-body restricted problem in rotating coordinates. In this case the two primaries are oving in an elliptic collision orbit. By the continuation method of Poincare we characterize that the periodic circular orbits and the symmetric periodic elliptic orbits from the Kepler problem which can be prolonged to pseudo periodic orbits of the planar restricted 3{body problem in rotating coordinates with the two primaries moving in an elliptic collision orbit / Doutorado / Topologia e Geometria / Doutor em Matemática