Ce travail porte sur l'étude d'une méthode d'éléments finis discontinus (ou méthode de type Galerkin Discontinu, DGTD) basée sur l'utilisation d'un maillage héxaédrique régulier, proposée pour la résolution des équations de Maxwell dans le domaine temporel, afin de l'adapter à la caractérisation de structures rayonnantes et de l'associer à des techniques de domaines fictifs.<br />On présente tout d'abord une méthode Galerkin Discontinu s'appuyant sur une formulation centrée pour approcher les flux numériques aux interfaces du maillage et sur un schéma en temps explicite de type saute-mouton. Ainsi, le schéma obtenu est non-diffusif, stable, peu dispersif, parfaitement adapté à l'utilisation de maillages localement raffinés de manière non-conforme. La méthode a été dotée de parois absorbantes performantes (modèle Unsplit-PML), permettant de prendre en compte facilement des objets à cheval entre le domaine de calcul et la couche absorbante. Nous avons ensuite utilisé la méthode pour effectuer des calculs d'impédances, de paramètres S et de T.O.S. sur des structures rayonnantes planaires. La comparaison entre la simulation et la mesure de ces structures montre le bon fonctionnement de la méthode.<br />Nous avons alors couplé une méthode de domaines fictifs avec la méthode DGTD afin de prendre en compte la présence d'objets métalliques à géométries complexes. La méthode des domaines fictifs utilise deux maillages de manière indépendante: un maillage cartésien, pour faire évoluer le champ électromagnétique dans l'espace libre, et un maillage surfacique qui permet de prendre en compte l'objet métallique. La convergence de la méthode (pour la méthode FDTD) est liée à une relation de compatibilité entre le maillage volumique et le maillage surfacique: le plus petit élément du maillage surfacique impose la taille des éléments du maillage volumique. Ainsi, pour des objets présentant de tout petits détails, cette condition n'est assurée que si le maillage volumique est de l'ordre du plus petit élément du maillage surfacique, ce qui peut devenir extrêmement contraignant sans le recours à des techniques de raffinement local, telle que celle rendue possible par la méthode Galerkin Discontinu et utilisée ici.

Le but de cette thèse est la construction de schémas numériques pour la simulation de phénomènes de propagation d'ondes acoustiques et électromagnétiques basés sur des discrétisations en espace par éléments finis conformes, ces schémas ayant pour vocation à être d'ordre arbitrairement élevé et aussi efficaces que possible. Dans le cadre de l'équation des ondes scalaire nous reprenons le problème de la condensation de la matrice de masse issue des éléments finis de Lagrange (cf. Cohen-Joly-Tordjmann) pour en décrire un algorithme de construction général. Cet algorithme nous a permis de déterminer un nouvel élément fini avec condensation de masse de type $P_6$. Nous présentons aussi une nouvelle approche permettant une condensation partielle de la matrice de masse. Dans le cadre de la propagation d'ondes électromagnétiques modélisée par les équations de Maxwell, nous présentons une méthode de couplage conforme d'éléments finis d'arête rectangulaires (avec condensation de la matrice de masse) et triangulaires, permettant d'optimiser le profil de la matrice de masse (et donc d'en optimiser l'inversion) pour les simulations dans des domaines à géométrie complexe. Nous présentons aussi une discrétisation en temps d'ordre arbitrairement élevé, basée sur une procédure de type Cauchy-Kowalewski, que l'on a stabilisée. Toutes les discrétisations présentées ont été implémentées, testées de manière exhaustive et leur efficacité a été comparée, dans une série de tests numériques, à celle des discrétisations couramment utilisées pour ce type d'applications telles que les discrétisations en espace par éléments finis de Lagrange standards, et les discrétisations symplectiques ou de Runge-Kutta en temps

Dans cette thèse, nous étudions quelques opérateurs présentant un changement de signe dans leur partie principale. Ces opérateurs apparaissent notamment en électromagnétisme lorsqu'on s'intéresse à la propagation des ondes dans des structures constituées de matériaux usuels et de matériaux négatifs en régime harmonique. Ici, nous appelons matériau négatif un matériau modélisé par une permittivité diélectrique et/ou une perméabilité magnétique négative(s). En raison du changement de signe des coefficients physiques, on ne peut utiliser les outils classiques pour étudier ce problème. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous concentrons sur le problème de transmission scalaire auquel on peut réduire les équations de Maxwell lorsque la géométrie et les données présentent une invariance dans une direction. Avec la technique de la T-coercivité, basée sur des arguments géométriques, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour prouver le caractère bien posé de ce problème en domaine borné dans H^1. Nous montrons également comment on peut utiliser cette approche pour justifier la convergence des méthodes usuelles d'approximation par éléments finis. Dans un deuxième temps, au moyen de techniques différentes, issues de l'étude des équations elliptiques dans des domaines à géométrie singulière, nous définissons un nouveau cadre fonctionnel pour recouvrer le caractère Fredholm lorsque celui-ci est perdu dans H^1. Il apparaît alors un phénomène surprenant de trou noir. Tout se passe comme si des ondes étaient aspirées en un point. Nous réalisons ensuite une étude asymptotique par rapport à une petite perturbation de l'interface entre le matériau positif et le matériau négatif dans ce cadre fonctionnel. Au cours de notre analyse, nous mettons en évidence un curieux phénomène de valeur propre clignotante. La troisième partie de ce document est consacrée à l'étude des équations de Maxwell. Nous travaillons d'abord sur les équations de Maxwell 2D en exploitant les résultats obtenus pour le problème scalaire. Puis, nous nous intéressons aux équations de Maxwell 3D. Nous montrons qu'elles sont bien posées dès lors que les problèmes scalaires associés sont bien posés. Enfin, dans une quatrième partie, nous étudions le problème de transmission intérieur apparaissant en théorie de la diffraction. L'opérateur pour ce problème présente également un changement de signe dans sa partie principale. Nous abordons son étude en utilisant l'analogie existant avec le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif. Certaines configurations pour ce problème de transmission intérieur conduisent à considérer un problème de transmission du quatrième ordre avec changement de signe. Nous prouvons que cet opérateur présente des propriétés étonnamment différentes de celles de l'opérateur scalaire du second ordre.

Mes travaux concernent deux systèmes d'équations utilisés dans la modélisation mathématique de semi-conducteurs et de plasmas : le système d'Euler-Poisson et le système d'Euler-Maxwell. Le premier système est constitué des équations d'Euler pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement couplées à l'équation de Poisson pour le potentiel électrostatique. Le second système décrit le phénomène d'électro-magnétisme. C'est un système couplé, qui est constitué des équations d'Euler pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement et les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz. Les équations de Maxwell sont dues aux lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de Lorentz. En utilisant une technique de développement asymptotique, nous étudions les limites en zéro du système d'Euler-Poisson dans les modèles unipolaire et bipolaire. Il est bien connu que la limite formelle du système d'Euler-Poisson est gouvernée par les équations de dérive-diffusion lorsque le temps de relaxation tend vers zéro. Par des estimations d'énergie aux systèmes hyperboliques symétriques, nous justifions rigoureusement cette limite lorsque les conditions initiales sont bien préparées. Le phénomène des conditions initiales mal préparées est interprété par l'apparition de couches initiales. Dans ce cas, nous faisons une analyse mathématique de ces couches initiales en ajoutant des termes de correction dans le développement asymptotique. En utilisant les techniques itératives des systèmes hyperboliques symétrisables et la technique de développement asymptotique, nous étudions la limite de relaxation en zéro du système d'Euler-Maxwell, avec des conditions initiales bien préparées ainsi que l'étude des couches initiales, dans le modèle évolutif bipolaire et unipolaire.

Cette thèse, à dominante expérimentale, explore la physique d'une cavité Fabry Pérot dont les miroirs sont des réseaux, en l'occurrence un guide multimode à cristal photonique bidimensionnel, autour de thèmes appliqués, aux télécommunications optiques autour de 1,55µm, et fondamentaux. Les parois d'un tel guide sont constituées d'un réseau périodique de trous d'air gravés au travers d'une hétérostructure semi-conductrice à base d'InP et sont, dans la bande interdite photonique, parfaitement réfléchissantes pour toute onde incidente dans le plan de périodicité. La périodicité le long du guide couple par diffraction de Bragg, des modes guidés de vitesse de groupe "ordinaire" et des modes guidés très lents, analogues à des modes résonnants. L'originalité essentielle de ce couplage est qu'il n'intervient que pour des fenêtres de fréquences et de vecteur d'onde étroites, restant pratiquement silencieux ailleurs. Ce couplage est tout d'abord exploité pour la conception d'un coupleur/découpleur de longueurs d'onde, à extraction latérale et sélective de tout ou partie du signal optique guidé. La suite de la thèse, plus fondamentale, explore les potentialités des régions spectrales autour de ces fenêtres de couplage pour l'émission et le contrôle de photons dans ces structures confinantes et diffractives. Nous présentons un effet expérimental spectaculaire d'exaltation de l'émission spontanée, associé à une augmentation locale de la densité d'états photoniques. Le dernier volet aborde la mesure du spectre ed gain modal: l'effet du ralentissement du mode guidé aux abords de la fenêtre de couplage sur l'amplification ressentie par un signal se propageant sur ce mode y est discutée.

Le chauffage par induction électromagnétique est un procédé efficace permettant de chauffer directement une zone d'épaisseur contrôlée sous la surface de pièces métalliques en vue de les tremper. Cette thèse présente un modèle mathématique couplé électromagnétique/thermique et des approches numériques pour modéliser le procédé. Le modèle électromagnétique est basé sur une formulation en potentiel vecteur magnétique. Les courants de source sont imposés à l'aide d'une formulation en potentiel scalaire électrique permettant de modéliser des inducteurs de forme géométrique arbitraire. Le problème du transfert de chaleur est modélisé à l'aide de l'équation classique de diffusion de la chaleur. Le modèle électromagnétique est entièrement transitoire, afin de permettre l'introduction des effets non linéaires. La discrétisation spatiale est basée sur une approche éléments d'arêtes en utilisant un domaine global air/pièce/inducteur. Le système linéaire d'équations issu de la formulation implicite est creux et défini semi-positif ; il possède un noyau de taille importante. Il est démontré qu'un préconditionneur basé sur une méthode multigrille algébrique construit conjointement avec un solveur du type Krylov réduit substantiellement le temps de calcul du problème électromagnétique par rapport aux méthodes classiques de solution et peut être très efficace pour le calcul parallèle. Des exemples d'application pour le traitement thermique d'un pignon et pour un vilebrequin automobile sont présentés. Le traitement thermique des surfaces des pièces aux géométries complexes nécessite l'introduction d'un mouvement relatif de la pièce et de l'inducteur pour assurer un traitement homogène de la surface. Une nouvelle méthode est proposée, basée sur une représentation discrète d'une fonction level set du mouvement de l'inducteur qui peut être utilisée pour générer des maillages éléments finis conformes dans le cadre d'une configuration lagrangienne.

Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d'ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie, une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présente dans ce modèle des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s'annulent. La relation de dispersion met en évidence deux phénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d'onde s'annule ou tend vers l'infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d'une solution résonante. En effet, à cause des coefficients s'annulant continument en changeant de signe, la solution peut être singulière, i.e. avoir une composante non intégrable. Cependant, grâce au principe d'absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite de solutions intégrables du problème régularisé. L'expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passage à la limite. La partie II concerne l'approximation numérique. Elle comprend la mise en place d'une nouvelle méthode numérique adaptée aux coefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la formulation variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques, construites comme approximations locales du problème adjoint. L'analyse de convergence est effectuée en dimension un, en dimension deux la construction des fonctions de base et leur propriété d'interpolation sont détaillées. La méthode d'ordre élevé obtenue permet de simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.

Mes travaux concernent deux systèmes d’équations utilisés dans la modélisation mathématique de semi-conducteurs et de plasmas : le système d’Euler-Poisson et le système d’Euler-Maxwell. Le premier système est constitué des équations d’Euler pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement couplées à l’équation de Poisson pour le potentiel électrostatique. Le second système décrit le phénomène d’électro-magnétisme. C’est un système couplé, qui est constitué des équations d’Euler pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement et les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz. Les équations de Maxwell sont dues aux lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l’électromagnétisme, avec l’expression de la force électromagnétique de Lorentz. En utilisant une technique de développement asymptotique, nous étudions les limites en zéro du système d’Euler-Poisson dans les modèles unipolaire et bipolaire. Il est bien connu que la limite formelle du système d’Euler-Poisson est gouvernée par les équations de dérive-diffusion lorsque le temps de relaxation tend vers zéro. Par des estimations d’énergie aux systèmes hyperboliques symétriques, nous justifions rigoureusement cette limite lorsque les conditions initiales sont bien préparées. Le phénomène des conditions initiales mal préparées est interprété par l’apparition de couches initiales. Dans ce cas, nous faisons une analyse mathématique de ces couches initiales en ajoutant des termes de correction dans le développement asymptotique. En utilisant les techniques itératives des systèmes hyperboliques symétrisables et la technique de développement asymptotique, nous étudions la limite de relaxation en zéro du système d’Euler-Maxwell, avec des conditions initiales bien préparées ainsi que l’étude des couches initiales, dans le modèle évolutif bipolaire et unipolaire. / My work is concerned with two different systems of equations used in the mathematical modeling of semiconductors and plasmas : the Euler-Poisson system and the Euler-Maxwell system. The first is given by the Euler equations for the conservation of the mass and momentum, with a Poisson equation for the electrostatic potential. The second system describes the phenomenon of electromagnetism. It is given by the Euler equations for the conservation of the mass and momentum, with a Maxwell equations for the electric field and magnetic field which are coupled to the electron density through the Maxwell equations and act on electrons via the Lorentz force. Using an asymptotic expansion method, we study the zero relaxation limit of unipolar Euler-Poisson system and of two-fluid multidimensional Euler-Poisson equations, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic expansion and some error estimate. By employing the classical energy estimate for symmetrizable hyperbolic equations, we justify rigorously the convergence of Euler-Poisson system with well-prepared initial data. For ill-prepared initial data, the phenomenon of initial layers occurs. In this case, we also add the correction terms in the asymptotic expansion. Using an iterative method of symmetrizable hyperbolic systems and asymptotic expansion method, we study the zero-relaxation limit of unipolar and bipolar Euler-Maxwell system. For well-prepared initial data, we construct an approximate solution by an asymptotic expansion up to any order. For ill-prepared initial data, we also construct initial layer corrections in the asymptotic expansion.

En physique des plasmas, le transport des électrons peut être décrit d'un point de vue cinétique ou d'un point de vue hydrodynamique.En théorie cinétique, une équation de Fokker-Planck couplée aux équations de Maxwell est utilisée habituellement pour décrire l'évolution des électrons dans un plasma collisionnel. Plus précisément la solution de l'équation cinétique est une fonction de distribution non négative f spécifiant la densité des particules en fonction de la vitesse des particules, le temps et la position dans l'espace. Afin d'approcher la solution de ce problème cinétique, de nombreuses méthodes de calcul ont été développées. Ici, une méthode déterministe est proposée dans une géométrie plane. Cette méthode est basée sur différents schémas numériques d'ordre élevé . Chaque schéma déterministe utilisé présente de nombreuses propriétés fondamentales telles que la conservation du flux de particules, la préservation de la positivité de la fonction de distribution et la conservation de l'énergie. Cependant, le coût de calcul cinétique pour cette méthode précise est trop élevé pour être utilisé dans la pratique, en particulier dans un espace multidimensionnel.Afin de réduire ce temps de calcul, le plasma peut être décrit par un modèle hydrodynamique. Toutefois, pour les nouvelles cibles à haute énergie, les effets cinétiques sont trop importants pour les négliger et remplacer le calcul cinétique par des modèles habituels d'Euler macroscopiques. C'est pourquoi une approche alternative est proposée en considérant une description intermédiaire entre le modèle fluide et le modèle cinétique. Pour décrire le transport des électrons, le nouveau modèle réduit cinétique M1 est basé sur une approche aux moments pour le système Maxwell-Fokker-Planck. Ce modèle aux moments utilise des intégrations de la fonction de distribution des électrons sur la direction de propagation et ne retient que l'énergie des particules comme variable cinétique. La variable de vitesse est écrite en coordonnées sphériques et le modèle est défini en considérant le système de moments par rapport à la variable angulaire. La fermeture du système de moments est obtenue sous l'hypothèse que la fonction de distribution est une fonction d'entropie minimale. Ce modèle satisfait les propriétés fondamentales telles que la conservation de la positivité de la fonction de distribution, les lois de conservation pour les opérateurs de collision et la dissipation d'entropie. En outre une discrétisation entropique avec la variable de vitesse est proposée sur le modèle semi-discret. De plus, le modèle M1 peut être généralisé au modèle MN en considérant N moments donnés. Le modèle aux N-moments obtenu préserve également les propriétés fondamentales telles que les lois de conservation et la dissipation de l'entropie. Le schéma semi-discret associé préserve les propriétés de conservation et de décroissance de l'entropie. / In plasma physics, the transport of electrons can be described from a kinetic point of view or from an hydrodynamical point of view.Classically in kinetic theory, a Fokker-Planck equation coupled with Maxwell equations is used to describe the evolution of electrons in a collisional plasma. More precisely the solution of the kinetic equations is a non-negative distribution function f specifying the density of particles as a function of velocity of particles, the time and the position in space. In order to approximate the solution of such problems, many computational methods have been developed. Here, a deterministic method is proposed in a planar geometry. This method is based on different high order numerical schemes. Each deterministic scheme used presents many fundamental properties such as conservation of flux particles, preservation of positivity of the distribution function and conservation of energy. However the kinetic computation of this accurate method is too expensive to be used in practical computation especially in multi-dimensional space.To reduce the computational time, the plasma can be described by an hydrodynamic model. However for the new high energy target drivers, the kinetic effects are too important to neglect them and replace kinetic calculus by usual macroscopic Euler models.That is why an alternative approach is proposed by considering an intermediate description between the fluid and the kinetic level. To describe the transport of electrons, the new reduced kinetic model M1 proposed is based on a moment approach for Maxwell-Fokker-Planck equations. This moment model uses integration of the electron distribution function on the propagating direction and retains only the energy of particles as kinetic variable. The velocity variable is written in spherical coordinates and the model is written by considering the system of moments with respect to the angular variable. The closure of the moments system is obtained under the assumption that the distribution function is a minimum entropy function. This model is proved to satisfy fundamental properties such as the non-negativity of the distribution function, conservation laws for collision operators and entropy dissipation. Moreover an entropic discretization in the velocity variable is proposed on the semi-discrete model. Moreover the M1 model can be generalized to the MN model by considering N given moments. The N-moments model obtained also preserves fundamental properties such as conservation laws and entropy dissipation. The associated semi-discrete scheme is shown to preserve the conservation properties and entropy decay.

Ce travail de recherche présente la mise au point d’une méthodologie de conception par optimisation globale des machines synchrones sans encoches à aimants permanents à haute vitesse utilisant des matériaux magnétiques composites doux (SMC) au stator et des frettes au rotor éventuellement conductrices. Cette méthodologie tient compte des différentes contraintes imposées par la haute vitesse, notamment les courants de Foucault induits dans les pièces massives, les pertes, l’alimentation en commutation électronique et les efforts mécaniques sur le rotor. Un outil de dimensionnement générique est développé pour différentes structures de machines sans encoches fonctionnant en moteur ou en générateur et alimentées par divers types de convertisseurs statiques à commutation de tension ou de courant. Il utilise un modèle de dimensionnement analytique basé sur la prédiction du champ magnétique 2D par une résolution harmonique des équations de Maxwell en magnétodynamique en tenant compte des courants de Foucault induits dans les parties conductrices. Ce modèle intègre un modèle électrique équivalent global de l’ensemble convertisseur-machine et un modèle détaillé de calcul des pertes validés par un calcul numérique du champ en 2D. Une validation expérimentale des pertes magnétiques dans le stator en SMC est effectuée. Le modèle de dimensionnement est associé à une procédure d’optimisation et à un mécanisme de correction itératif, basé sur le calcul numérique du champ en 3D, pour tenir compte des effets de bord sur les pertes par courants de Foucault dans le stator. Lorsque la machine est couplée à un convertisseur à commutation de courant, un autre mécanisme de correction, permettant la résolution du couplage fort entre la machine et son convertisseur, est utilisé. Les différents outils de modélisation et de conception réalisés sont utilisés pour dimensionner et comparer plusieurs topologies de machines sans encoches pour des cahiers des charges spécifiques. Différentes études de faisabilité et de sensibilité sont aussi effectuées. / This research work presents the development of a design methodology with global optimization of high-speed permanent-magnet slotless synchronous machines using soft magnetic composite materials (SMC) in the stator and retaining sleeves in the rotor that can be conductive. This methodology takes into account the different constraints imposed by the high speed such as the eddy currents induced in the massive parts, the losses, the converter-machine interactions and the mechanical stress in rotor. A generic design tool is developed for different slotless machines structures used as motors or generators and coupled to different kind of static power converters with voltage or current commutation. It uses a design model based on analytical prediction of the two-dimensional magnetic field by a harmonic resolution of Maxwell equations taking into account the eddy currents induced in the conductive parts. This model includes an equivalent electric model of the converter-machine system and a detailed losses calculation model validated by 2D finite element analysis. Experimental validation of magnetic losses in the SMC stator is also performed. The design model is associated to an optimization procedure and an iterative correction mechanism performed by 3D finite element simulations to take into account the influence of end-effects on the SMC stator eddy current losses. When the machine is coupled to a current static converter, another correction mechanism is used in order to resolve the strong coupling between the machine and its converter. The developed modeling and design tools are used to design and compare different slotless machines topologies for specific requirements. Various feasibility and sensitivity studies are also performed.