A partir de l'établissement d'une approximation in stationnaires en 3D des potentiels retardés pour des courants électromagnétiques sur des polyèdres non-nécessairement convexes, une méthode de résolution pour la simulation de la diffraction par un ensemble non-connexe d'objets est formulée. Une partition de ce dernier est effectuée suivant les inhomogénéités présentes. Le problème est alors traduit en un système d'équations de Maxwell couplées, chacune étant homogène hors d'un élément correspondant de la partition, qui induit la construction d'une solution du problème initial. Par approximation des termes de couplage, il s'en suit une méthode naturellement hybride et parallèle sur un système stable et bien-posé. La restriction de chaque sous-système à un voisinage du support de ses inhomogénéités est obtenue par introduction de conditions aux limites absorbantes de type "PML" dont un formalisme généralisé est étudié. Des exemples numériques illustrent l'ensemble de ces développements.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations de Maxwell dans une structure périodique constituée d'un anneau mince de matériau diélectrique de rayon moyen r à l'intérieur duquel s'enroulent deux nappes de fils hélicoïdaux. L'épaisseur de l'anneau et la distance entre deux fils consécutifs sont du même ordre de grandeur d et nous supposons que d est bien inférieur à la longueur d'onde de l'onde incidente ainsi qu'au rayon moyen r. La présence des deux échelles rend les simulations numériques directes difficiles (il est alors nécessaire de mailler la structure à l'échelle du fil). C'est pourquoi nous construisons des modèles approchés dans lesquels l'anneau périodique est remplacé par une condition de transmission posée sur l'interface médiane S. La résolution du modèle approché par une méthode d'éléments finis est bien moins coûteuse que celle du problème exact car il n'y a plus besoin de mailler les fils. La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution en fonction du petit paramètre d. Nous utilisons une méthode couplant les techniques d'homogénéisation et des développements asymptotiques raccordés. Les conditions de transmission approchées se construisent alors à l'aide du développement asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation des modèles approchés ainsi qu'à leur justification théorique. Enfin, nous validons nos modèles par des simulations numériques.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'impact des courbures sur les guides d'onde qui interviennent dans la confection des dispositifs optiques. Ces guides doivent être conçus pour minimiser la perte du signal causée par la courbure. Nous nous proposons, dans ce travail, de résoudre les équations de Maxwell vectorielles qui modélisent la propagation du champ électromagnétique, pour différents types de guide d'onde. Ainsi, nous développons une formulation en coordonnées curvilignes générales de ces équations basée sur l'approche modale. Pour discrétiser notre problème, nous utilisons une méthode numérique basée sur les éléments finis, ce qui requiert la troncature du domaine de calcul et la considération d'une frontière artificielle. Cette frontière fictive induit des réflexions numériques importantes dans le cas des guides courbés. Pour remédier à ce problème, des conditions de frontières absorbantes sont utilisées. Notre choix porte sur les PML (couches parfaitement adaptées) qui ont montré leur efficacité dans plusieurs cas de problèmes posés sur des domaines ouverts. Pour satisfaire l'exigence de précision requise pour la détermination des constantes de propagation de ces guides, des éléments finis mixtes d'ordre élevé ont été développés. Dans le cas des géométries rectangulaires, nous proposons une nouvelle famille d'éléments quadrangulaires d'ordre 1 et 2 pour discrétiser les équations écrites en coordonnées cylindriques. Pour les géométries circulaires, où une transformation en coordonnées toroïdales est considérée, nous utilisons une nouvelle famille d’éléments axisymétriques d'ordre 1 et 2. Des analyses comparatives montrent la robustesse des formulations et l'efficacité des éléments finis d'ordre élevé développés.

Le problème de diffraction électromagnétique gouverné par les équations de Maxwell admet une formulation équivalente par une équation intégrale volumique fortement singulière. Cette thèse a pour but d'examiner l'opérateur intégral qui décrit cette équation. La première partie de ce manuscrit porte sur l'étude de son spectre essentiel. Cette analyse est intéressante en vue d'obtenir les conditions nécessaires et suffisantes pour avoir l'unicité de solutions du problème surtout quand il s'agirait de la diffraction des ondes par des matériaux négatifs où les techniques classiques perdent leurs utilité. Après avoir justifié le bon choix du cadre fonctionnel, nous étudions tout d'abord le cas où les paramètres caractéristiques du milieu à savoir la permittivité électrique et la perméabilité magnétique sont constants par morceaux avec discontinuité au travers du bord de la cible. Dans ce cadre, nous donnons une réponse complète à la question pour les domaines réguliers et Lipschitziens. Ensuite, et à l'aide d'une technique de localisation, nous donnons une extension de ces résultats dans le cas des paramètres réguliers par morceaux pour deux opérateurs intégraux, l'un qui correspond à la version diélectrique du problème et l'autre pour sa version magnétique. Nous terminons cette thèse par l'étude de la dérivée de forme des opérateurs diélectrique et magnétique et nous en déduisons une nouvelle caractérisation de la dérivée de forme des solutions des deux problèmes de diffraction. / The electromagnetic diffraction problem which is governed by the Maxwell equations admits an equivalent formulation in terms of a strongly singular volume integral equation. This thesis aims to examine the integral operator that describes this equation. The first part of this document focuses on the study of its essential spectrum. This analysis is interesting to get the necessary and sufficient conditions of solution uniqueness of the problem especially when we consider the diffraction of waves by negative materials where classic tools lose their usefulness. After justifying the adequate choice of the functional framework, we first study the case where the characteristics parameters of the medium like the electric permittivity and magnetic permeability are piecewise constant with discontinuity across the boundary of the target. In this context, we give a full answer to the question for smooth and Lipschitz domains. Then, by using a localization technique, we give an extension of those results in the case of piecewise regular parameters for two integrals operators, one which corresponds to the dielectric version of the problem and the other for its magnetic version. We end this thesis by the study of the shape derivative of the dielectric and magnetic operators and we derive a new characterization of the shape derivative of the two diffraction problems solution.

L'objet de ma thése est la conception rationnelle d'une bobine utilisable par une sonde de RMN pour des échantillons solides d'origine biologique, tels que les milieux membranaires ou les biopsies. L'étude de la distribution du champ électromagnétique créée pendant l'impulsion radiofréquence s'est avérée indispensable pour permettre d'une part une meilleure homogénéité du champ B1 et d'autre part une redistribution du champ électrique dans un plan normal à l'axe principal de la bobine. Auparavant, cette distribution de champ avait été considérée homogène au centre de l'échantillon, et seule la composante axiale était prise en compte. La démarche scientique suivie ici est originale en cela qu'elle se sert d'une résolution numérique des équations de Maxwell, et permet la mise en évidence des composantes radiales du champ B1 jusqu'alors ignorées. La première partie présente les caractéristiques instrumentales de la méthode HR-MAS. Il s'en suit une partie plus théorique sur les concepts d'électromagnétisme nécessaires pour aborder la cartographie de champ radiofréquence B1 dans une bobine. Ce travail utilise une résolution de l'équation maîtresse de l'évolution des spins (Liouville von Neumann) où l'Hamiltonien de champ B1 est construit en tenant compte de la forme particulière du champ magnétique dans une bobine hélicoïdale. Une étude de l'impact du champ électrique sur un échantillon aqueux dispersif est introduite dans la quatrième partie. Finalement une bobine innovante a été conçue, celle-ci permet d'éloigner le champ électrique du centre de l'échantillon, où le champ magnétique est dominant et homogène ses performances sont décrites à travers une série d'expériences sur les bicelles.

Nous voulons déterminer les solitons spatiaux dans les bres optiques présentant un effet non-linéaire de type Kerr optique. Pour cela, nous proposons une nouvelle approche numérique basée sur la Méthode des Éléments Finis qui est particulièrement bien adaptée à l'étude de milieux inhomogènes. Un modèle scalaire du champ électrique dans les bres optiques est utilisé pour mettre en ÷uvre et valider notre méthode et comprendre la signication physique des nouvelles solutions dans un cas simple. Le champ est supposé harmonique en temps et suivant la direction d'invariance de la bre mais inhomogène selon sa section transverse. Plusieurs exemples dans les bres à saut d'indice et dans les bres optiques microstructurées (FOMs) à c÷ur plein de dimension transverse nie sont décrits. Pour chaque géométrie, une étude complète est réalisée pour obtenir et prouver numériquement l'existence d'une unique solution non-linéaire auto-cohérente ou soliton spatial de plus haute énergie atteignable avant l'autofocalisation instable. Le soliton spatial dépend du prol transverse ni de la structure, correspond au soliton de Townes dans le cas du milieu homogène mais est différent de celui-ci dans les bres optiques étudiées. Notre nouvelle approche de l'étude numérique de l'effet Kerr dans les bres optiques permet ainsi de généraliser le soliton de Townes. Cependant, le prol de l'indice de réfraction induit par l'effet Kerr optique montre que l'approximation du guidage faible n'est plus respectée et donc que les caractéristiques de la solution non-linéaire sont mal évalu ées dans le modèle scalaire. L'implémentation du cas vectoriel sans approximation est donc réalisée. La même étude que dans le cas scalaire est alors menée en consid érant toutes les composantes du champ électrique. Enn, pour étendre le champ d'application de notre méthode numérique, les solutions non-linéaires sont étudiées dans des FOMs avec un défaut creux au centre. Par analogie avec la physique du solide, les congurations donneur/accepteur sont dénies et les solutions non-linéaires sont analysées selon la taille du défaut. L'étude des effets Kerr positif et négatif à travers ces congurations nous permet de découvrir de nouveaux comportements non-linéaires dans ces structures.

Cette thèse a pour objet l'analyse et la discrétisation numérique des équations tridimensionnelles de l'électromagnétisme. Ces travaux débutent par l'étude de ces équations dans un domaine b orné multiplement connexe. Un théorème d'existence général a été établi, en proposant une nouvelle approche du problème, en le reformulant à l'aide d'un opérateur approprié, tenant compte des omplexités géométriques du domaine. Dans la suite, après avoir donnée un résultat de régularité, on propose une approximation numérique de la solution par une méthode spectrale. La méthode est, d'une part, analysée numériquement dans le cas d'une décomposition conforme du domaine, et d'autre, implantée dans le cadre d'un code 3D. Des tests numériques illustrant les prévisions théoriques sont exposés et comparés à ceux obtenus par une méthode d'éléments finis de type P1 qu'on présentera sommairement. En outre, les quatre premières valeurs propres du problème discret sont calculées et comparées à celui du spectre exact. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une décomposition de domaine par une méthode spectrale avec joints pour le problème de Maxwell. Il est utile de souligner que les paramètres physiques sont considérés dans cette partie comme pouvant être hétérogènes. On applique cette méthode à un problème type présenté. Ce dernier permet d'unifier deux approches qui habituellement sont distinguées: le problème d'évolution de Maxwell, et le problème de Maxwell en régime harmonique. Des estimations d'erreurs sont démontrées, elles reposent sur un lemme, qui est une variante du second lemme de Strang, permettant de décomposer l'erreur en la somme de trois erreurs principales: l'erreur sur la meilleure approximation, l'erreur de consistance et l'erreur d'intégration numérique. Cette dernière étant obtenue de ma ière classique, les deux autres erreurs ont nécessité une recherche plus approfondie, notamment, la définition d'opérateurs discrets et un Lemme d'augmentation de degré pour l'erreur sur la meilleure approximation. Enfin des courbes d'erreurs et des tests numériques sont exposés validant un code de calcul tridimensionnel développé pour l'approximation de la solution du problème type (pour des paramètres physiques homogènes et hétérogènes).

Récemment de nouvelles méthodes de simulation numérique ont fait leur apparition. Ces méthodes basées sur un nuage de noeuds ne font pas intervenir de maillage comme pour la méthode des éléments finis. Malgré leur nombre, leur base théorique est semblable. De plus, de part leur caractère récent, leurs développements sont encore à ce jour qu 'aux prémices. Ce travail récapitule les grandes lignes des procédures indispensables pour une résolution à l'aide d'une méthode sans maillage appelée méthode HP-Clouds. Entre autre, les fondements mathématiques par la création de nouvelles fonctions de forme sans maillage, supportées par des boules, sont présentés dans un premier chapitre. Puis, une procédure de résolution des équations de Maxwell en électromagnétisme à l'aide de la méthode HP-Clouds est présentée en décrivant précisément la méthode de. Ritz-Galerkin dans un cas simple. Nous avons d'autre part mis l'accent sur la structure rie données basée sur les boules, supports des fonctions de forme, permettant, ainsi de faciliter l'insertion de la méthode HP-Clouds dans un logiciel de simulation numérique. Dans toutes ces étapes nous nous sommes astreint à ne pas utiliser de maillage même intermédiaire ou fictif. Enfin, nous avons validé nos résultats sur trois problèmes concrets qui laisse présager un avenir prometteur pour les méthodes sans maillage.

Introduite récemment par Hughes et ses collaborateurs, l'Analyse Isogéométrique connaît un large succès pour des problèmes principalement industriels. L'idée est de faciliter la communication entre la C.A.O et la simulation numérique, sans avoir à repasser à chaque fois par des mailleurs. Ainsi, les fonctions définissants la géométrie sont utilisées pour approcher les solutions des équations à dérivées partielles. L' application aux problèmes issues de l'électromagnétisme ont été motivé par les travaux de Buffa et ses collaborateurs à Pavie. Dans cette thèse, nous avons appliqué cette méthode pour résoudre des problèmes issues de la physique des plasmas. S'il est vrai que la géométrie n'est pas définie, l'analyse isogéométrique dans sa version isoparamétrique, nous fournit un outil très puissant pour approcher les domaines de calculs. Dans un plasma, ce domaine est défini par la résolution d'un problème d'équilibre (MHD equilibrium). A partir de là, différents modèles sont utilisés pour décrire le plasma: cinétiques ( gyrocinétique) ou fluides. Nous avons passé en revue les méthodes les plus classiques et plus utilisées afin de révéler l'intérêt de la méthode. Se basant sur la structure de produit tensoriel, nous avons développé des solveurs rapides pour la résolution de certains problèmes. Nous avons aussi dérivé un solveur, se basant sur les complexes de Hilbert, pour les équations de Maxwell en "time domain".

Ce travail porte sur le développement d'une méthode Galerkin discontinue (GDDT) d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes non-conformes. On présente tout d'abord une méthode GDDT reposant sur des fonctions de base nodales pour approcher le champ électromagnétique dans un simplexe, un schéma centré pour évaluer les flux numériques aux interfaces entre cellules voisines et un schéma saute-mouton du second ordre pour l'intégration temporelle. De plus, cette méthode autorise l'utilisation de maillages non-conformes présentant un nombre arbitraire de noeuds flottants. La méthode résultante est non-dissipative, stable sous une condition de type CFL, conserve un équivalent discret de l'énergie électromagnétique, et très peu dispersive. Afin de diminuer le coût de calcul de cette méthode, on propose une méthode GDDT de type /hp/, qui combine /h-/raffinement et /p/-enrichissement locaux tout en préservant la stabilité. On réalise ensuite une étude numérique détaillée des méthodes GDDT sur la base d'une série de problèmes de propagation d'ondes en milieux homogène et hétérogène. En particulier, on effectue une comparaison des méthodes Galerkin discontinues conformes et non-conformes en termes de précision, convergence et coûts de calcul.<br />Afin d'améliorer la précision et la vitesse de convergence des méthodes GDDT précédentes, on étudie une famille de schémas saute-mouton d'ordre<br />arbitrairement élevé. Ces schémas temporels nous assurent sur tout maillage la conservation d'un équivalent discret de l'énergie électromagnétique ainsi que la stabilité des méthodes GDDT résultantes sous une condition de type CFL. On réalise aussi une étude de convergence /hp a priori/ ainsi qu'une étude de convergence de l'erreur sur la divergence. Des expériences numériques montrent que pour un maillage donné, le schéma saute-mouton du quatrième ordre est moins coûteux en temps de calcul et plus précis que le schéma saute-mouton du second ordre, en dépit d'une complexité arithmétique accrue.<br />De plus, on obtient une convergence exponentielle avec le schéma saute-mouton du quatrième ordre.