Dans cette thèse, nous nous intéressons à la construction d'éléments finis d'ordre élevé adaptés aux maillages hybrides, pour la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en régimes harmonique et temporel. L'accent est plus particulièrement porté sur la construction d'éléments pyramidaux. On étudie trois formulations pour lesquelles on cherche des éléments finis "optimaux" au sens de la convergence dans la norme de l'espace considéré pour la formulation. Pour les formulations H^1 et H(rot), on construit des éléments finis "optimaux" nodaux et hp. Les matrices élémentaires sont évaluées grâce à des formules de quadrature adaptées et des estimations d'erreur sont effectuées pour vérifier la convergence des éléments optimaux construits. Pour la formulation discontinue LDG (Local Discontinuous Galerkin), on présente des éléments utilisant des fonctions de base orthogonales permettant de mettre au point une construction de la matrice de masse et un produit matrice-vecteur rapides. Dans le cas des trois formulations, on étudie les propriétés numériques des éléments construits, on vérifie que l'on retrouve bien numériquement la convergence théorique et on compare nos éléments avec d'autres éléments trouvés dans la littérature. Finalement, on présente des expériences numériques en 3D avec l'équation des ondes ou de Helmholtz, et les équations de Maxwell dans le cas des régimes temporels et harmoniques. On montre ainsi l'efficacité des maillages hybrides par rapport aux maillages purement tétraédriques ou aux maillages hexaédriques obtenus en découpant chaque tétraèdre d'un maillage purement tétraédrique en quatre hexaèdres.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des <br />équations de Maxwell en régime fréquentiel, afin de calculer<br />précisément la signature radar de cibles diverses. Pour avoir<br />une grande précision nécessaire pour des expérience de grande taille,<br /> nous utilisons des méthodes d'ordre élevé.<br /><br />Dans le cas scalaire, les éléments finis spectraux hexaédriques<br />avec condensation de masse, permettent d'obtenir un produit matrice vecteur <br />rapide et peux coûteux en stockage. Dans le cas vectoriel, les hexaèdres<br />de la première famille ne réalisent pas la condensation de masse, mais on peut<br />écrire un algorithme rapide de produit matrice-vecteur. Des résultats<br />numériques 3-D montrent la performance de l'algorithme proposé.<br /><br />Nous traitons également le cas où la géométrie présente<br />une symétrie de révolution. On est alors ramenés à une succession<br />de problèmes 2-D indépendants.<br />Nous proposons une méthode éléments finis d'ordre élevé <br />couplée à des équations intégrales d'ordre élevé.

Cette thèse porte sur l’étude d’une méthode de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT), afin de résoudre numériquement les équations de Maxwell instationnaires sur des maillages hybrides tétraédriques/hexaédriques en 3D (triangulaires/quadrangulaires en 2D) et non-conformes, que l’on note méthode GDDT-PpQk. Comme dans différents travaux déjà réalisés sur plusieurs méthodes hybrides (par exemple des combinaisons entre des méthodes Volumes Finis et Différences Finies, Éléments Finis et Différences Finies, etc.), notre objectif principal est de mailler des objets ayant une géométrie complexe à l’aide de tétraèdres, pour obtenir une précision optimale, et de mailler le reste du domaine (le vide environnant) à l’aide d’hexaèdres impliquant un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans la méthode GDDT considérée, nous utilisons des schémas de discrétisation spatiale basés sur une interpolation polynomiale nodale, d’ordre arbitraire, pour approximer le champ électromagnétique. Nous utilisons un flux centré pour approcher les intégrales de surface et un schéma d’intégration en temps de type saute-mouton d’ordre deux ou d’ordre quatre. Après avoir introduit le contexte historique et physique des équations de Maxwell, nous présentons les étapes détaillées de la méthode GDDT-PpQk. Nous réalisons ensuite une analyse de stabilité L2 théorique, en montrant que cette méthode conserve une énergie discrète et en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL sur le pas de temps, ainsi que l’analyse de convergence en h (théorique également), conduisant à un estimateur d’erreur a-priori. Ensuite, nous menons une étude numérique complète en 2D (ondes TMz), pour différents cas tests, des maillages hybrides et non-conformes, et pour des milieux de propagation homogènes ou hétérogènes. Nous faisons enfin de même pour la mise en oeuvre en 3D, avec des simulations réalistes, comme par exemple la propagation d’une onde électromagnétique dans un modèle hétérogène de tête humaine. Nous montrons alors la cohérence entre les résultats mathématiques et numériques de cette méthode GDDT-PpQk, ainsi que ses apports en termes de précision et de temps de calcul. / This thesis is concerned with the study of a Discontinuous Galerkin Time-Domain method (DGTD), for the numerical resolution of the unsteady Maxwell equations on hybrid tetrahedral/hexahedral in 3D (triangular/quadrangular in 2D) and non-conforming meshes, denoted by DGTD-PpQk method. Like in several studies on various hybrid time domain methods (such as a combination of Finite Volume with Finite Difference methods, or Finite Element with Finite Difference, etc.), our general objective is to mesh objects with complex geometry by tetrahedra for high precision and mesh the surrounding space by square elements for simplicity and speed. In the discretization scheme of the DGTD method considered here, the electromagnetic field components are approximated by a high order nodal polynomial, using a centered approximation for the surface integrals. Time integration of the associated semi-discrete equations is achieved by a second or fourth order Leap-Frog scheme. After introducing the historical and physical context of Maxwell equations, we present the details of the DGTD-PpQk method. We prove the L2 stability of this method by establishing the conservation of a discrete analog of the electromagnetic energy and a sufficient CFL-like stability condition is exhibited. The theoritical convergence of the scheme is also studied, this leads to a-priori error estimate that takes into account the hybrid nature of the mesh. Afterward, we perform a complete numerical study in 2D (TMz waves), for several test problems, on hybrid and non-conforming meshes, and for homogeneous or heterogeneous media. We do the same for the 3D implementation, with more realistic simulations, for example the propagation in a heterogeneous human head model. We show the consistency between the mathematical and numerical results of this DGTD-PpQk method, and its contribution in terms of accuracy and CPU time.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’amélioration du schéma de Yee pour traiter demanière plus efficace et pertinente les problèmes industriels auxquels nous sommes confrontés à l’heureactuelle. Pour cela, nous cherchons avant tout à diminuer les erreurs numériques de dispersion et àaméliorer les modélisations des géométries courbes ainsi que des réseaux de câbles. Pour répondre àces besoins, une solution basée sur un schéma Galerkin discontinu pourrait être envisagée. Toutefois,l’utilisation d’une telle technique sur la totalité du volume de calcul est relativement coûteuse. De plus,la prise en compte de structures filaires sur un tel schéma n’est pas encore opérationnelle. C’est pourquoi,dans l’optique d’avoir un outil industriel, et après une étude bibliographique, nous nous sommes plutôtorientés sur l’étude d’un schéma éléments finis (FEM) sur maillage cartésien qui possède toutes lesbonnes propriétés du schéma de Yee. Notamment, à l’ordre d’approximation spatiale égal à 0 ce schémaFEM est exactement le schéma de Yee, et, pour des ordres supérieurs, il permet de réduire fortementl’erreur de dispersion numérique de ce dernier. Dans le travail de cette thèse, pour ce schéma, nous avons notamment donné un critère de stabilité théorique, étudié sa convergence théorique et fait une analyse de l’erreur de dispersion. Pour tenircompte des possibilités d’ordre d’approximation spatiale variable par direction, nous avons mis en placeune stratégie d’affectation des ordres suivant le maillage donné. Ceci nous a permis d’obtenir un pas detemps optimal pour une précision souhaitée tout en réduisant les coûts de calcul. Après avoir porté ceschéma sur des machines de production, différents problèmes de CEM, antennes, IEM ou foudre ont ététraités afin de montrer les avantages et le potentiel de celui-ci. En conclusion de ces expérimentationsnumériques, il s’avère que la méthode est limitée par le manque de précision pour prendre en comptedes géométries courbes. Afin d’améliorer cela, nous avons proposé une hybridation entre ce schéma et leschéma GD que l’on peut étendre aux autres schémas comme les méthodes différences finies (FDTD) etvolumes finis (FVTD). Nous avons montré que la technique d’hybridation proposée conserve l’énergie etest stable sous une condition que nous avons évaluée de manière théorique. Des exemples de validationont ensuite été montrés. Enfin, pour tenir compte des réseaux de câbles, un modèle de fils minces d’ordred’approximation spatiale élevé a été proposé. Malheureusement, celui-ci ne peut pas couvrir l’ensembledes cas industriels et pour remédier à cela, nous avons proposé une hybridation de notre approche avecune équation de ligne de transmission. L’intérêt de cette hybridation a été montré sur un certain nombred’exemples, que nous n’aurions pas pu traiter par un modèle de structure filaire simple. / In this thesis, we study the improvement of the Yee’s scheme to treat efficiently and in arelevant way the industrial issues we are facing nowadays. For that, we first of all try to reduce thenumerical errors of dispersion and then to improve the modeling of the curved surfaces and of theharness networks. To answer these needs, a solution based on a Galerkin Discontinuous (GD) methodhas been first considered. However, the use of such method on the entire modeling volume is quite costly ;moreover the wires are not taken into account in this method. That is the reason why, with the objectiveof an industrial tool and after a large bibliographic research, we headed for the study of finite elementsscheme (FEM) on a Cartesian mesh which has all the good properties of the Yee’s scheme. Especially,this scheme is exactly the Yee’s scheme when the spatial order of approximation is set to zero. Forthe higher orders, this new scheme allows to greatly reduce the numerical error of dispersion. In theframe of this thesis and for this scheme, we give a theoretical criterion of stability, study its theoreticalconvergence and we perform an analysis of the error of dispersion. To take into account the possibilityof the variable spatial orders of approximation in each direction, we put in place a strategy of orderaffectation according to the given mesh. This strategy allows to obtain an optimal time step for a givenselected precision while reducing the cost of the calculations. Once this new scheme has been adaptedto large industrial computing means, different EMC, antennas, NEMP or lightning problems are treatedto demonstrate the advantages and the potential of this scheme. As a conclusion of these numericalsimulations we demonstrate that this method is limited by a lack of precision when taking into accountcurved geometries. To improve the treatment of the curved surfaces, we propose an hybridization between this scheme andthe GD scheme. This hybridization can also be applied to other methods such as Finite Differences(FDTD) or Finite Volumes (FVTD). We demonstrate that the technique of hybridization proposed,allows to conserve the energy and is stable under a condition that we study theoretically. Some examplesare presented for validation. Finally and to take into account the cables, a thin wire model with a highorder of spatial approximation is proposed. Unfortunately, this model does not allow to cover all theindustrial cases. To solve this issue we propose an hybridization with a transmission line method. Theadvantage of this hybridization is demonstrated thanks to different cases which would not have beenfeasible with a more simple thin wire method.

Cette thèse traite des équations de Maxwell en domaine temporel. Le principal objectif est de proposer des méthodes de type éléments finis d'ordre élevé pour les équations de Maxwell et des schémas d'intégration en temps efficaces sur des maillages localement raffinés. Nous considérons des méthodes GDDT (Galerkine Discontinues en Domaine Temporel) s'appuyant sur une interpolation polynomiale d'ordre arbitrairement élevé des composantes du champ électromagnétique. Les méthodes GDDT pour les équations de Maxwell s'appuient le plus souvent sur des schémas d'intégration en temps explicites dont la condition de stabilité peut être très restrictive pour des maillages raffinés. Pour surmonter cette limitation, nous considérons des schémas en temps qui consistent à appliquer un schéma implicite localement, dans les régions raffinées, tout en préservant un schéma explicite sur le reste du maillage. Nous présentons une étude théorique complète et une comparaison de deux méthodes GDDT localement implicites. Des expériences numériques en 2D et 3D illustrent l'utilité des schémas proposés. Le traitement numérique de milieux de propagation complexes est également l'un des objectifs. Nous considérons l'interaction des ondes électromagnétiques avec les tissus biologiques qui est au cœur de nombreuses applications dans le domaine biomédical. La modélisation numérique nécessite alors de résoudre le système de Maxwell avec des modèles appropriés de dispersion. Nous formulons une méthode GDDT localement implicite pour le modèle de Debye et proposons une analyse théorique et numérique complète du schéma.

Cette thèse porte sur l'étude d'une méthode de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT), afin de résoudre numériquement les équations de Maxwell instationnaires sur des maillages hybrides tétraédriques/hexaédriques en 3D (triangulaires/quadrangulaires en 2D) et non-conformes, que l'on note méthode GDDT-PpQk. Comme dans différents travaux déjà réalisés sur plusieurs méthodes hybrides (par exemple des combinaisons entre des méthodes Volumes Finis et Différences Finies, Éléments Finis et Différences Finies, etc.), notre objectif principal est de mailler des objets ayant une géométrie complexe à l'aide de tétraèdres, pour obtenir une précision optimale, et de mailler le reste du domaine (le vide environnant) à l'aide d'hexaèdres impliquant un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans la méthode GDDT considérée, nous utilisons des schémas de discrétisation spatiale basés sur une interpolation polynomiale nodale, d'ordre arbitraire, pour approximer le champ électromagnétique. Nous utilisons un flux centré pour approcher les intégrales de surface et un schéma d'intégration en temps de type saute-mouton d'ordre deux ou d'ordre quatre. Après avoir introduit le contexte historique et physique des équations de Maxwell, nous présentons les étapes détaillées de la méthode GDDT-PpQk. Nous réalisons ensuite une analyse de stabilité L2 théorique, en montrant que cette méthode conserve une énergie discrète et en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL sur le pas de temps, ainsi que l'analyse de convergence en h (théorique également), conduisant à un estimateur d'erreur a-priori. Ensuite, nous menons une étude numérique complète en 2D (ondes TMz), pour différents cas tests, des maillages hybrides et non-conformes, et pour des milieux de propagation homogènes ou hétérogènes. Nous faisons enfin de même pour la mise en oeuvre en 3D, avec des simulations réalistes, comme par exemple la propagation d'une onde électromagnétique dans un modèle hétérogène de tête humaine. Nous montrons alors la cohérence entre les résultats mathématiques et numériques de cette méthode GDDT-PpQk, ainsi que ses apports en termes de précision et de temps de calcul.

Cette thèse traite des équations de Maxwell en domaine temporel. Le principal objectif est de proposer des méthodes de type éléments finis d'ordre élevé pour les équations de Maxwell et des schémas d'intégration en temps efficaces sur des maillages localement raffinés. Nous considérons des méthodes GDDT (Galerkine Discontinues en Domaine Temporel) s'appuyant sur une interpolation polynomiale d'ordre arbitrairement élevé des composantes du champ électromagnétique. Les méthodes GDDT pour les équations de Maxwell s'appuient le plus souvent sur des schémas d'intégration en temps explicites dont la condition de stabilité peut être très restrictive pour des maillages raffinés. Pour surmonter cette limitation, nous considérons des schémas en temps qui consistent à appliquer un schéma implicite localement, dans les régions raffinées, tout en préservant un schéma explicite sur le reste du maillage. Nous présentons une étude théorique complète et une comparaison de deux méthodes GDDT localement implicites. Des expériences numériques en 2D et 3D illustrent l'utilité des schémas proposés. Le traitement numérique de milieux de propagation complexes est également l'un des objectifs. Nous considérons l'interaction des ondes électromagnétiques avec les tissus biologiques qui est au cœur de nombreuses applications dans le domaine biomédical. La modélisation numérique nécessite alors de résoudre le système de Maxwell avec des modèles appropriés de dispersion. Nous formulons une méthode GDDT localement implicite pour le modèle de Debye et proposons une analyse théorique et numérique complète du schéma.

L’objectif de cette thèse est de développer une méthode Galerkine discontinue d’ordre élevé capable de prendre en considération des simulations réalistes liées à la nanophotonique. Au cours des dernières décennies, l’évolution des techniques de lithographie a permis la création de structure géométriques de tailles nanométriques, révélant ainsi une large gamme de phénomènes nouveaux nés de l’interaction lumière-matière à ces échelles. Ces effets apparaissent généralement pour des objets de taille égale ou (très) inférieure à la longueur d’onde du champ incident. Ce travail repose sur le développement et l’implémentation de modèles de dispersion appropriés (principalement pour les métaux), ainsi que sur un large éventail de méthodes computationnelles classiques. Deux développements méthodologiques majeurs sont présentés et étudiés en détails: (i) les éléments courbes, et (ii) l’ordre d’approximation local. Ces études sont accompagnées de plusieurs cas-tests réalistes tirés de la nanophotonique. / The goal of this thesis is to develop a discontinuous Galerkin time-domain method to be able to handle realistic nanophotonics computations. During the last decades, the evolution of lithography techniques allowed the creation of geometrical structures at the nanometer scale, thus unveiling a variety of new phenomena arising from light-matter interactions at such levels. These effects usually occur when the device is of comparable size or (much) smaller than the wavelength of the incident field. This work relies on the development and implementation of appropriate models for dispersive materials (mostly metals), as well as on a large panel of classical computational techniques. Two major methodological developments are presented and studied in details: (i) curvilinear elements, and (ii) local order of approximation. This work is complemented with several physical studies of real-life nanophotonics applications.

Le chauffage par induction électromagnétique est un procédé efficace permettant de chauffer directement une zone d'épaisseur contrôlée sous la surface de pièces métalliques en vue de les tremper. Cette thèse présente un modèle mathématique couplé électromagnétique/thermique et des approches numériques pour modéliser le procédé. Le modèle électromagnétique est basé sur une formulation en potentiel vecteur magnétique. Les courants de source sont imposés à l'aide d'une formulation en potentiel scalaire électrique permettant de modéliser des inducteurs de forme géométrique arbitraire. Le problème du transfert de chaleur est modélisé à l'aide de l'équation classique de diffusion de la chaleur. Le modèle électromagnétique est entièrement transitoire, afin de permettre l'introduction des effets non linéaires. La discrétisation spatiale est basée sur une approche éléments d'arêtes en utilisant un domaine global air/pièce/inducteur. Le système linéaire d'équations issu de la formulation implicite est creux et défini semi-positif ; il possède un noyau de taille importante. Il est démontré qu'un préconditionneur basé sur une méthode multigrille algébrique construit conjointement avec un solveur du type Krylov réduit substantiellement le temps de calcul du problème électromagnétique par rapport aux méthodes classiques de solution et peut être très efficace pour le calcul parallèle. Des exemples d'application pour le traitement thermique d'un pignon et pour un vilebrequin automobile sont présentés. Le traitement thermique des surfaces des pièces aux géométries complexes nécessite l'introduction d'un mouvement relatif de la pièce et de l'inducteur pour assurer un traitement homogène de la surface. Une nouvelle méthode est proposée, basée sur une représentation discrète d'une fonction level set du mouvement de l'inducteur qui peut être utilisée pour générer des maillages éléments finis conformes dans le cadre d'une configuration lagrangienne. / Electromagnetic induction heating is an efficient process allowing to directly heat up a prescribed area beneath the surface of metallic workpieces to enable quenching. This work presents a mathematical model for the coupled electromagnetic/heat transfer process as well as numerical solution methods. The electromagnetic model is based on a magnetic vector potential formulation. The source currents are prescribed using a voltage potential formulation enabling the modelling of arbitrary inductor geometries. The heat transfer problem is modelled using the classical heat diffusion equation. The electromagnetic model is fully transient, in order to allow the introduction of non-linear effects. The space discretisation is based on an edge finite element approach using a global domain including air, workpiece and inductor. The resulting linear system of equations of the implicit formulation is sparse and semi-definite, including a large kernel. It is demonstrated that a preconditioner based on the auxiliary space algebraic multigrid method in connection with a Krylov solver substantially reduces the solution time of the electromagnetic problem in comparison to classical solution methods and can be effectively applied in parallel. Applications for the heat treatment of a gearwheel and for an automotive crankshaft are presented. The surface heat treatment of complex geometrical parts requires the introduction of a relative movement of workpiece and inductor to ensure a homogeneous surface treatment. A novel method is proposed, which is based on a discrete level set representation of the inductor motion that can be used to generate conforming finite element meshes in a Lagrangian setting.

Ce document synthétise un ensemble de travaux portant sur le développement et l'analyse de méthodes de volumes finis utilisées pour l'approximation numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la physique. Le mémoire aborde dans sa première partie des schémas colocalisés de type Godunov d'une part pour les équations de l'électromagnétisme, et d'autre part pour l'équation des ondes acoustiques, avec une étude portant sur la perte de précision de ce schéma à bas nombre de Mach. La deuxième partie est consacrée à la construction d'opérateurs différentiels discrets sur des maillages bidimensionnels relativement quelconques, en particulier très déformés ou encore non-conformes, et à leur utilisation pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles modélisant des phénomènes de diffusion, d'électrostatique et de magnétostatique et d'électromagnétisme par des schémas de type volumes finis en dualité discrète (DDFV) sur maillages décalés. La troisième partie aborde ensuite l'analyse numérique et les estimations d'erreur a priori et a posteriori associées à la discrétisation par le schéma DDFV de l'équation de Laplace. La quatrième et dernière partie est consacrée à la question de l'ordre de convergence en norme $L^2$ de la solution numérique du problème de Laplace, issue d'une discrétisation volumes finis en dimension un et en dimension deux sur des maillages présentant des propriétés d'orthogonalité. L'étude met en évidence des conditions nécessaires et suffisantes relatives à la géométrie des maillages et à la régularité des données du problème afin d'obtenir la convergence à l'ordre deux de la méthode.