Ce travail est consacré à l'étude du couplage des équations de Navier-Stokes et de la chaleur posées dans un domaine polygonal non convexe. Après avoir analysé le comportement singulier des solutions de ces équations près des coins du domaine considéré, nous présentons une formulation mixte duale de ces équations basée sur l'introduction de deux nouvelles inconnues : a qui est le tenseur gradient de la vitesse et le champ vectoriel ^ qui désigne le gradient de la température. Ensuite, en considérant une famille de maillage Th du domaine fi, nous analysons une méthode d'éléments finis mixte duale basée sur cette dernière formulation en utilisant l'élément fini de Raviart-Thomas de plus bas degré pour approximer les nouvelles inconnues cr et <^ sur chaque triangle K de la triangulation Th. Tandis que les variables n, p et T seront approximées par des polynômes de degré zéro sur chaque triangle K. En particulier, nous montrons que l'on peut retrouver l'ordre de convergence quasi-optimal si le maillage est raffiné suivant certaines règles qui sont essentiellement celles introduites par G. Raugel et basées sur le fait que les solutions sont régulières dans des espaces de Sobolev à poids. Nous discutons les aspects d'implémentation de la méthode d'éléments finis mixte duale raffinée pour ces équations en utilisant un algorithme de point fixe combiné à une formulation hybride de deux systèmes issus du découplage du problème discret : l'un correspondant aux équations de Navier-Stokes et l'autre à l'équation de la chaleur. Nos résultats numériques obtenus, en plus de confirmer l'ordre de convergence optimal pour un problème test posé dans un domaine polygonal non convexe, sont tout-à-fait comparables avec ceux existants dans la littérature pour la convection naturelle dans une cavité carrée.

L'objectif des travaux présentés dans la thèse concerne la résolution par itérations de systèmes algébriques à grande échelle. Ces systèmes sont issus de la discrétisation par éléments finis de problèmes aux limites. Dans la majorité des cas en 3D, la phase de résolution s'avère l'étape la plus exigeante en terme de ressources informatiques. Ainsi, il est impératif de développer des méthodes itératives efficaces et robustes pour un large éventail de problèmes aux limites. Dans cette thèse, nous nous plaçons dans le cadre des méthodes itératives de Krylov à préconditionneur variable, c'est-à-dire autorisant une flexibilité au niveau du choix du préconditionnement en cours d'itération. Nous visons principalement des problèmes de type convection-diffusion, d'élasticité et de Navier-Stokes discrétisés par des éléments finis quadratiques. Afin de réduire les coûts inhérents aux éléments quadratiques, nous proposons une méthode de résolution multi-niveaux basée sur la hiérarchie naturelle entre les éléments finis linéaires et quadratiques d'où le nom de méthode hiérarchique. Elle possède plusieurs points en commun avec les méthodes multi-grilles mais a l'avantage de s'appliquer aux géométries complexes et aux maillages non-structures. L'utilisation de cette méthode comme préconditionneur à une méthode de Krylov à préconditionneur variable permet d'obtenir une méthode très efficace. L'autre partie de la thèse, concerne la résolution globale et itérative des systèmes de type point selle. Ces systèmes proviennent de la discrétisation des équations linéarisées du problème de Navier-Stokes. La résolution efficace de ces systèmes joue un rôle majeur dans le traitement numérique des équations de Navier-Stokes. Pour cela, nous avons mis en place un préconditionneur adroite de format triangulaire par bloc. Pour rendre ce préconditionneur efficace, nous avons fait appel à trois ingrédients : l'ajout du terme rV(div(u)) aux équations continues de Navier-Stokes, une résolution efficace en vitesse par la méthode hiérarchique et une bonne approximation du complément de Schur. Nos tests numériques montrent l'efficacité des méthodes présentées dans ce travail.

Les écoulements en milieu peu profond sont en général modélisés par les équations de Navier-Stokes incompressibles dans un domaine dont une des frontières, en l'occurrence la surface du fluide, est elle même une inconnue du problème. On peut penser notamment aux rivières et fleuves, ainsi qu'aux écoulements côtiers et aux atmosphères planétaires. En réalité tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres. Il est naturel, malgré la complexité des modèles établis notamment par leur forte non linéarité de s'intéresser à leur forme en tenant compte de la variabilité de la densité. Le travail présenté dans cette thèse s'articule autour de deux parties indépendantes. La première concerne une étude théorique d'un modèle unidimensionnel d'écoulement compressible, comprenant sa dérivation à partir des équations de Navier-Stokes, suivie de la démonstration d'un résultat d'existence de solutions faibles globales pour ce système. La seconde partie est consacrée à une analyse de Fourier de la discrétisation spatio-temporelle d'un modèle bidimensionnel d'écoulement à faible profondeur. Cette analyse met en oeuvre trois types de discrétisation en espace (P0 - P1 P1NC - P1 et RT0 — P0) combinés chacun à cinq types de discrétisation en temps qui sont : Euler Implicite (El), Euler Explicite (EE), Crank-Nicolson (CN), Adams-Bashforth d'ordre 2 (AB2) et 3 (AB3).

Titre de l'écran-titre (visionné le 6 novembre 2023) / Le but est d'étudier l'athérosclérose comme une application de la mécanique des fluides qui porte sur l'écoulement sanguin dans une artère sténosée. Le sang et la forme de l'accumulation des graisses sur la paroi artérielle jouent un rôle fondamentale dans le comportement de l'écoulement. Pour se mettre dans le cadre mathématique, un survol sur la mécanique des fluides permet d'obtenir la formulation de Navier-Stokes que l'on résout numériquement à l'aide des schémas de projection. L'adaptation de maillage est un outil numérique performant pour un tel type de calcules. Les conditions aux limites en pression à l'entrée et à la sortie de l'artère sont plus recommandés pour ce type de problèmes, mais leurs insertion exige des espaces d'interpolation particuliers que l'on explore en parcourant la littérature correspondante.

La thèse est consacrée essentiellement à l'étude de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq : couplage entre les équations de Navier-stokes avec un second membre F(µ), où F est une force de gravité proportionnelle à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de l'énergie.<br />Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution faible-renormalisée du système de Boussinesq en dimension 2, dans le cas où F est bornée.<br />Dans le chapitre 2, on aborde le cas de fonctions F plus générales : F vérifie une hypothèse de croissance. On démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données initiales petites selon la croissance de F.<br />Dans le chapitre 3, nous faisons une généralisation des résultats du chapitre 2 mais sans le terme de convection.<br />Dans le chapitre 4, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation dans L1(Q) en dimension 3, nous contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq. On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en dimension 3.

Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes de stabilisation exponentielle par retour d'état ou "feedback" des équations de Navier-Stokes dans un domaine borné Ω ⊂ Rd, d = 2 ou 3. Le cas d'un contrôle localisé sur la frontière du domaine est considéré. Le contrôle s'exprime en fonction du champ de vitesse à l'aide d'une loi de feedback non-linéaire. Celle-ci est fournie grâce aux techniques d'estimation a priori via la procédure de Faedo-Galerkin laquelle consiste à construire une suite de solutions approchées en utilisant une base de Galerkin adéquate. Cette loi de feedback assure la décroissance exponentielle de l'énergie du problème discret correspondant et grâce au résultat de compacité, nous passons à la limite dans le système satisfait par les solutions approchées. Le chapitre 1 étudie le problème de stabilisation des équations de Navier- Stokes autour d'un état stationnaire donné, tandis que le chapitre 2 examine le problème de stabilisation autour d'un état non-stationnaire prescrit. Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la stabilisation du problème de Navier-Stokes avec des conditions aux bords mixtes (Dirichlet- Neumann) autour d'un état d'équilibre donné. Enfin, nous présentons dans le chapitre 4, des résultats numériques dans le cas d'un écoulement autour d'un obstacle circulaire / In this thesis we study the exponential stabilization of the two and three-dimensional Navier- Stokes equations in a bounded domain Ω, by means of a boundary control. The Control is expressed in terms of the velocity field by using a non-linear feedback law. In order to determine a feedback law, we consider an extended system coupling the Navier-Stokes equations with an equation satisfied by the control on the domain boundary. While most traditional approaches apply a feedback controller via an algebraic Riccati equation, the Stokes-Oseen operator or extension operators, a Galerkin method is proposed instead in this study. The Galerkin method permits to construct a stabilizing boundary control and by using energy a priori estimation technics, the exponential decay is obtained. A compactness result then allows us to pass to the limit in the nonlinear system satisfied by the approximated solutions. Chapter 1 deals with the stabilization problem of the Navier-Stokes equations around a given steady state, while Chapter 2 examines the stabilization problem around a prescribed non-stationary state. Chapter 3 is devoted to the stabilization of the Navier-Stokes problem with mixed-boundary conditions (Dirichlet-Neumann), around to a given steady-state. Finally, we present in Chapter 4, numerical results in the case of a flow around a circular obstacle

Dans cette thèse nous étudions trois modèles décrivant la dynamique de l’écoulement d’un fluide à densité variable, dans des échelles spatio-temporelles grandes. Dans ce cadre, le mouvement relatif induit par des forces extérieures,comme la force de Coriolis ou la poussée hydrostatique, s’avère être beaucoup plus important que le mouvement intrinsèque du fluide induit par le transport des particules. Une tel déséquilibre contraint ainsi le mouvement, induisant des structures persistantes dans l’écoulement du fluide.D’un point de vue mathématique, l’une des difficultés consiste en l’étude des perturbations induites par les forces extérieures, qui se propagent à grande vitesse.Ce type d’analyse peut être effectué au moyen de plusieurs outils mathématiques ;on choisit ici d’employer des techniques caractéristiques de l’analyse de Fourier,comme l’analyse des propriétés dispersives des intégrales oscillantes.Tout au long de cette thèse, on se restreint à considérer des domaines spatiaux sans frontière : c’est le cas de l’espace entier, ou encore de l’espace périodique. Les modèles considérés sont donc les suivants: équations primitives dont les nombres de Froude et de Rossby sont comparables,et pour lesquelles la diffusion verticale est nulle, fluides stratifiés dans un régime à faible nombre de Froude, fluides faiblement compressibles et tournants dans un régime où les nombres de Mach et de Rossby sont comparables.On prouve que ces systèmes propagent globalement dans le temps des donnés peu régulières. Nous n’imposons jamais de condition de petitesse sur les données initiales. Toutefois, on prendra en compte certaines hypothèses spécifiques de régularité, lorsque des raisons techniques l’imposent. / In this thesis we discuss three models describing the dynamics of density-dependent fluids in long lifes pans and on a planetary scale. In such setting the relative displacement induced by various external physical forces, such as the Coriolis force and the stratification buoyancy, is far more relevant than the intrinsic motion generated by the collision of particles of the fluid itself. Such disproportion of balance limits hence the motion, inducing persistent structures in the velocity flow.On a mathematical level one of the main difficulties relies in giving a full description of the perturbations induced by the external forces, which propagate at high speed. This analysis can be performed by the aid of several tools, we chose here to adopt techniques characteristic of harmonic analysis, such as the analysis of the dispersive properties of highly oscillating integrals.All along the thesis we consider boundary-free, three-dimensional domains, and inspecific we study only the case in which the domain in either the whole space or the periodic space . The models we consider are the following ones : primitive equations with comparable Froude and Rossby number and zero vertical diffusivity, density-dependent stratified fluids in low Froude number regime, weakly compressible and fast rotating fluid in a regime in which Mach and Rossbynumber are comparable. We prove that these systems propagate globally-in-time data with low-regularity. Nosmallness assumption is ever made, specific constructive hypothesis are assumed on the initial data when required.

Dans cette thèse on étudie la contrôlabilité globale de quelques équations non linéaires issues de la mécanique des fluides, précisément des équations de type Burgers, une équation de Korteweg-de Vries, et un système de Navier-Stokes 2-D. La stratégie employée consiste, d'une part, à appliquer la méthode du retour de J.-M. Coron, et d'autre part, à jouer sur la non linéarité de l'équation considérée. <br />De cette manière, on montre dans la première partie la contrôlabilité globale exacte pour tout temps d'équations de type Burgers non visqueuses puis on utilise ensuite ce résultat pour obtenir un résultat de contrôlabilité globale approchée pour l'équation de Burgers visqueuse. Cette propriété, combinée avec un résultat de contrôlabilité locale, entraîne ainsi la contrôlabilité globale aux trajectoires de l'équation de Burgers visqueuse, pour tout temps. <br />Dans la deuxième partie, on procède d'une manière similaire pour obtenir la contrôlabilité globale exacte d'une équation de Korteweg-de Vries non linéaire, pour tout temps. <br />Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à un système de Navier-Stokes 2-D avec conditions aux bords de type Navier. On obtient, en utilisant cette fois des résultats sur l'équation d'Euler des fluides incompressibles, la contrôlabilité globale à zéro, pour tout temps.

Le but de cette thèse est d'approcher numériquement la solution des équations de Navier-Stokes stationnaires incompressibles dans un domaine extérieur tridimensionnel. Pour cela, nous imposons des conditions aux limites bien<br />choisies sur le bord libre de notre domaine de calcul. Nous discrétisons ensuite par des éléments finis de même ordre avec stabilisation, ce qui implique que la linéarisation de notre problème est un problème de point selle généralisé. Nous choisissons de résoudre le système complet par une méthode de Krylov. La difficulté réside dans deux problèmes de préconditionnement: celui du complément de Schur et celui du bloc convection-diffusion.<br /><br />Dans un premier temps, nous montrons que la matrice de masse est un<br />équivalent spectral du complément de Schur, ce qui implique que le nombre d'itérations de notre méthode est indépendant de la taille de l'espace de discrétisation. Nous étudions théoriquement le comportement des valeurs<br />propres du problème préconditionné en fonction du nombre de Reynolds dans le cas de<br />la cavité entraînée. Nous ajoutons ensuite l'influence du rayon de troncature pour le problème extérieur. Les résultats numériques tridimensionnels viennent confirmer la théorie et montrent la robustesse de la méthode.<br /><br />Ensuite, nous proposons une méthode de décomposition de domaines sans recouvrement pour le problème de convection-diffusion dans laquelle nous imposons la continuité de la solution par des multiplicateurs de Lagrange. Nous étudions les performances d'un préconditionneur pour le problème à l'interface et étendons ainsi à la dimension trois les résultats numériques bidimensionnels de la littérature.<br /><br />La dernière partie du manuscrit est indépendante du sujet de thèse: elle relate un travail portant sur la physique des plasmas effectué à l'occasion du CEMRACS 2003.

L'objectif de cette thèse est, d'une part l'analyse mathématique de la méthode de la frontière élargie (The Fat Boundary Method, F.B.M.), et d'autre part, son adaptation à la simulation numérique des écoulements fluides tridimensionnels incompressibles dans des géométries complexes (domaines perforés). Dans un premier temps, nous nous plaçons dans le cadre de problèmes elliptiques modèles de type Poisson ou Helmholtz posés dans un domaine perforé (typiquement un domaine parallélépipédique contenant des obstacles sphériques). En utilisant la F.B.M., le problème initial est remplacé par une résolution dans le domaine non perforé permettant l'utilisation d'un maillage cartésien, offrant ainsi un cadre approprié pour l'utilisation de solveurs rapides. Nous effectuons donc l'analyse mathématique de la F.B.M., notamment la convergence et l'estimation d'erreur dans ce cadre particulier. Les résultats théoriques ainsi obtenus sont également illustrés par des tests numériques. La deuxième partie est dédiée à l'application de ces outils pour la simulation numérique d'écoulements fluides incompressibles tridimensionnels. La stratégie adoptée consiste à discrétiser les équations de Navier-Stokes en combinant la F.B.M. (pour la discrétisation spatiale), un schéma de projection (pour la discrétisation temporelle) et la méthode des caractéristiques (pour le traitement du terme convectif). Nous présentons ainsi plusieurs simulations numériques tridimensionnelles correspondant aux écoulements fluides en présence d'obstacles fixes et mobiles (mouvements imposés).