Cette thèse est consacrée à l'analyse algorithmique des systèmes hybrides. Nous examinons plusieurs problèmes liés à l'étude et au controle des systèmes hybrides linéaires par morceaux. Dans une première partie, nous présentons les notions de base de la théorie. Nous illustrons notre propos grace à de nombreux exemples. La deuxième partie est dédiée au calcul algorithmique des exécutions acceptées par un système hybride. Une méthode de détection des événements (changement de valeur de la variable discrète du système) est proposée. Le cas des exécutions périodiques est également examiné. Dans la troisième partie, nous abordons le problème du calcul de l'ensemble atteignable des systèmes hybrides. Nous apportons un soin particulier aux systèmes où les dynamiques continues sont connues de manière incertaine. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons au controle des systèmes hybrides. Nous construisons une analyse multirésolution de l'espace des entrées d'un système linéaire et calculons une base d'ondelettes associée. Les propriétés de cette base se révèlent intéressantes pour la synthèse de signaux d'entrée d'un système hybride. Dans la dernière partie nous montrons que les techniques développées pour les systèmes hybrides linéaires par morceaux peuvent etre utilisées pour analyser des systèmes dynamiques non-linéaires.

Pour les équations différentielles ordinaires linéaires d'ordre 2 et 3, des algorithmes de résolution exacte avec des temps de calcul réalistes existent, se fondant sur une étude préalable précise des groupes de Galois différentiels potentiels de ces équations. Plusieurs études de l'ordre 4 ont déjà eu lieu mais ne concernaient qu'un aspect particulier de la classification des groupes. Dans cette thèse, on donne les bornes optimales pour le degré du polynôme minimal des dérivées logarithmiques des solutions liouvilliennes de telles équations (travail commun avec D. Boucher et F. Ulmer) puis on présente une stratégie algorithmique de recherche du groupe de Galois différentiel d'une équation en connaissant ses semiinvariants de degré 2 et 4, obtenue après avoir en particulier complété les travaux précédents par les cas imprimitif-monomial de la classification des groupes. On trouve alors plus efficacement des semi-invariants produits de formes linéeaires. Dans le chapitre 4 de cette thèse, on s'intérresse aux chutes d'ordre de la puissance symétrique quatrième d'une équation. Plus précisément, on montre qu'une chute d'ordre de un implique l'existence d'au moins un semi-invariant de degré 4, ce qui permet d'obtenir des informations sur le groupe de l'équation. En cas de chute d'ordre de deux et plus, des conditions de finitude du groupe sont données par un théorème de M.F. Singer. Dans le chapitre 5, on traite deux exemples. Dans le premier, on applique la stratégie algorithmique décrite dans le chapitre 3 en vue de trouver le groupe de Galois diff érentiel d'une équation dont on calcule ensuite les solutions (à l'aide d'une méthode décrite par F. Ulmer). Le second est un exemple de résolution du problème inverse pour le groupe SO(4, C) à l'aide de la méthode décrite par C. Mitschi et M.F. Singer (équation qui n'admet donc pas de solutions liouvilliennes). On trouvera en annexe la liste explicite des semiinvariants de degré 2 et 4 des sous-groupes monomiaux de SL(4, C).

Cette thèse porte sur la théorie de Galois différentielle. Elle est divisée en deux parties. La première concerne la théorie de Galois différentielle paramétrée, et la seconde, les équations aux q-différences. Dans le chapitre 2, nous exposons une généralisation de l'algorithme de Kovacic qui permet de calculer le groupe de Galois paramétré de certaines équations différentielles paramétrées d'ordre 2. Dans le chapitre 3, nous présentons une généralisation du théorème de densité de Ramis qui donne un ensemble de générateurs topologiques du groupe de Galois pour les équations différentielles linéaires paramétrées à coefficients dans un anneau convenable. Nous obtenons une contribution au problème inverse dans cette théorie de Galois, donnons un critère d'isomonodromie, et répondons partiellement à une question posée par Sibuya. Dans le chapitre 4, il est question de confluence et d'équations aux q-différences. Nous prouvons comment la transformée de Borel-Laplace d'une série formelle divergente solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients dans C(z) peut être uniformément approchée par un q-analogue de la transformée de Borel-Laplace appliqué à une série formelle solution d'une famille d'équations aux q-différences linéaires qui discrétise l'équation différentielle. Nous faisons directement les calculs dans le cas des séries hypergéométriques basiques, et nous prouvons sous des hypothèses raisonnables, qu'une matrice fondamentale d'une équation différentielle linéaire à coefficients dans C(z) peut être uniformément approchée par une matrice fondamentale d'une famille d'équations aux q-différences linéaires correspondante.

Il est connu qu’une équation différentielle linéaire, x^(k+1)Y' = A(x)Y, au voisinage d’un point singulier irrégulier non-résonant est uniquement déterminée (à isomorphisme analytique près) par : (1) sa forme normale formelle, (2) sa collection de matrices de Stokes. La définition des matrices de Stokes fait appel à un ordre sur les parties réelles des valeurs propres du système, ordre qui peut être perturbé par une rotation en x. Dans ce mémoire, nous avons établi le caractère intrinsèque de cette relation : nous avons donc établi comment la nouvelle collection de matrices de Stokes obtenue après une rotation en x qui change l’ordre des parties réelles des valeurs propres dépend de la collection initiale. Pour ce faire, nous donnons un chapitre de préliminaires généraux sur la forme normale des équations différentielles ordinaires puis un chapitre sur le phénomène de Stokes pour les équations différentielles linéaires. Le troisième chapitre contient nos résultats. / It is well known that a linear differential equation, x^(k+1)Y' = A(x)Y, near a non-resonant irregular singular point is uniquely determined (up to analytic isomorphism) by : (1) its formal normal form, (2) the collection of its Stokes matrices. By definition, the Stokes matrices depend on an order defined on the real parts of the eigenvalues of the system which can be perturbed by a rotation in the x coordinate. In this paper, we have established the intrinsic character of the dependency : we have described how the new Stokes collection is obtained from the first collection after a rotation in x which changes the order on the real parts of the eigenvalues. The first chapter contains preliminaries concerning the normal form of an ordinary differential equation and a chapter on the Stokes phenomenon for linear differential equations. The third chapter contains our results.

Les fonctions D-finies (ou holonomes) à une variable sont les solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. En calcul formel, il s'est avéré fructueux depuis une vingtaine d'années d'en développer un traitement algorithmique unifié. Cette thèse s'inscrit dans cette optique, et s'intéresse à l'évaluation numérique des fonctions D-finies ainsi qu'à quelques problèmes apparentés. Elle explore trois grandes directions. La première concerne la majoration des coefficients des développements en série de fonctions D-finies. On aboutit à un algorithme de calcul automatique de majorants accompagné d'un résultat de finesse des bornes obtenues. Une seconde direction est la mise en pratique de l'algorithme " bit burst " de Chudnovsky et Chudnovsky pour le prolongement analytique numérique à précision arbitraire des fonctions D-finies. Son implémentation est l'occasion de diverses améliorations techniques. Ici comme pour le calcul de bornes, on s'attache par ailleurs à couvrir le cas des points singuliers réguliers des équations différentielles. Enfin, la dernière partie de la thèse développe une méthode pour calculer une approximation polynomiale de degré imposé d'une fonction D-finie sur un intervalle, via l'étude des développements en série de Tchebycheff de ces fonctions. Toutes les questions sont abordées avec un triple objectif de rigueur (résultats numériques garantis), de généralité (traiter toute la classe des fonctions D-finies) et d'efficacité. Pratiquement tous les algorithmes étudiés s'accompagnent d'implémentations disponibles publiquement.