Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

La quantification par déformation et la correspondance de McKay forment les grands thèmes de l'étude qui porte sur des variétés algébriques singulières, des quotients d'algèbres de polynômes et des algèbres de polynômes invariants sous l'action d'un groupe fini. Nos principaux outils sont les cohomologies de Poisson et de Hochschild et la théorie des représentations. Certains calculs formels sont effectués avec Maple et GAP. Nous calculons les espaces d'homologie et de cohomologie de Hochschild des surfaces de Klein, en développant une généralisation du Théorème de HKR au cas de variétés non lisses et utilisons la division multivariée et les bases de Gröbner. La clôture de l'orbite nilpotente minimale d'une algèbre de Lie simple est une variété algébrique singulière sur laquelle nous construisons des star-produits invariants, grâce à la décomposition BGS de l'homologie et de la cohomologie de Hochschild, et à des résultats sur les invariants des groupes classiques. Nous explicitons les générateurs de l'idéal de Joseph associé à cette orbite et calculons les caractères infinitésimaux. Pour les algèbres de Lie simples B, C, D, nous établissons des résultats généraux sur l'espace d'homologie de Poisson en degré 0 de l'algèbre des invariants, qui vont dans le sens de la conjecture d'Alev et traitons les rangs 2 et 3. Nous calculons des séries de Poincaré à 2 variables pour des sous-groupes finis du groupe spécial linéaire en dimension 3, montrons que ce sont des fractions rationnelles, et associons aux sous-groupes une matrice de Cartan généralisée pour obtenir une correspondance de McKay algébrique en dimension 3. Toute l'étude a donné lieu à 4 articles.

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Systématiser : tel est le leitmotiv des résultats de cette thèse portant sur trois domaines d'étude en vision et en géométrie algorithmique. Dans le premier, nous étendons toute la machinerie du modèle sténopé des appareils photos classiques à un ensemble d'appareils photo (deux fentes, à balayage, oblique, une fente) jusqu'à présent étudiés séparément suivant différentes approches. Dans le deuxième, nous généralisons avec peu d'efforts aux convexes de R3 l'étude des épinglages de droites ou de boules, menée différemment selon la nature des objets considérés. Dans le troisième, nous tentons de dégager une approche systématique pour élaborer des stratégies d'évaluation polynomiale de prédicats géométriques, les méthodes actuelles étant bien souvent spécifiques à chaque prédicat étudié. De tels objectifs ne peuvent être atteints sans un certain investissement mathématique dans l'étude des congruences linéaires de droites, de propriétés différentielles des ensembles de tangentes à des convexes et de la théorie des invariants algébriques, respectivement. Ces outils ou leurs utilisations reposent sur la géométrie de P3 (R), construite dans la seconde moitié du XIXe siècle mais pas complètement assimilée en géométrie algorithmique et dont nous proposons une synthèse adaptée aux besoins de la communauté. / Systematize is the leitmotiv of the results in this thesis. Three problems are studied in the field of computer vision and computational geometry. In the first one, we extend all the machinery of the pinhole model for classical cameras to a whole set of cameras (two-slit, pushbroom, oblique, pencil), which were separately studied with different approaches. In the second one, we generalize to convex bodies in R3 the work on pinning lines by or balls, which had so far been tackled by techniques intimately linked to the geometry of the objects. In the third one, we attempt to work out a systematic approach in place of problem-specific methods in order to build polynomial evaluation trees for geometric predicates. Such goals could not be reached without a mathematical investigation in the study of linear line congruences, differential properties of sets of tangent lines to a convex and classical invariant theory respectively. These tools or their uses are mostly based on line geometry in P3 (R). This geometry was designed in the second half of the 19th century but its full power hos not yet been used by the computational geometry community. This thesis therefore also serves as an extended tutorial.

Systématiser: tel est le leitmotiv des résultats de cette thèse portant sur trois domaines d'étude en vision et en géométrie algorithmique. Dans le premier, nous étendons toute la machinerie du modèle sténopé des appareils photos classiques à un ensemble d'appareils photo (deux fentes, à balayage, oblique, une fente) jusqu'à présent étudiés séparément suivant différentes approches. Dans le deuxième, nous généralisons avec peu d'effort aux convexes de $\R^3$ l'étude des épinglages de droites ou de boules, menée différemment selon la nature des objets considérés. Dans le troisième, nous tentons de dégager une approche systématique pour élaborer des stratégies d'évaluation polynomiale de prédicats géométriques, les méthodes actuelles étant bien souvent spécifiques à chaque prédicat étudié. De tels objectifs ne peuvent être atteints sans un certain investissement mathématique dans l'étude des congruences linéaires de droites, des propriétés différentielles des ensembles de tangentes à des convexes et de la théorie des invariants algébriques, respectivement. Ces outils ou leurs utilisations reposent sur la géométrie des droites de $\p^3(\R)$, construite dans la seconde moitié du XIX\ieme{} siècle mais pas complètement assimilée en géométrie algorithmique et dont nous proposons une synthèse adaptée aux besoins de la communauté.

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage.

Ce mémoire est consacré à la théorie des invariants des hypermatrices. <br />L'origine de la théorie des invariants date du milieu du XIX ième siècle. Le problème général, tel qu'il fut énoncé par Cayley en 1843, consiste à trouver une description de l'algèbre des polynômes invariants dans le but d'automatiser le raisonnement géométrique. <br />Assez rapidement de fortes limitations dues à la taille des calculs se manifestèrent et cette discipline se trouva de moins en moins étudiées jusque dans les années 1950 lorsque fut développée la théorie géométrique des invariants. De nos jours, l'accroissement de la puissance de calcul permet de compléter d'anciens travaux qui n'avaient pu aboutir faute de moyen informatique ainsi que de traiter de nouveaux cas. L'intérêt de cette discipline s'est accru depuis peu grâce à la découverte d'un lien avec une notion issue de la mécanique quantique et qui est à la base de l'informatique quantique: l'intrication. Le phénomène d'intrication est apparu en 1937, sous la plume sceptique de trois physiciens, Einstein , Podolsky et Rozen qui voyaient en lui une preuve de la non consistance de la théorie quantique, et est connu depuis sous le nom de paradoxe EPR. Depuis, de nombreuses expériences, dont la célèbre expérience d'Alain Aspect, ont confirmé l'existence des états intriqués.<br />Ce mémoire se décompose en deux parties. Dans la première, nous exposons les techniques fondamentales de la théorie des invariants ainsi que le lien avec l'intrication tel qu'il a été proposé par A. Klyachko. Nous montrons que l'implémentation de l'algorithme de Gordan sur un système de calcul formel permet de calculer des ensembles fondamentaux d'invariants et de covariants de certaines formes multilinéaires. En particulier, nous illustrons ce type de calcul en donnant un système complet de générateurs de l'algèbre des covariants pour une forme quadrilinéaire (système de 4-qubits). Nous montrons aussi les limites de cette approche : en donnant des éléments de calcul de la forme quintilinéaire (système de 5-qubits), nous voyons que la complexités sur-exponentielle des algèbres d'invariants interdit la généralisation de cette méthode. Pire, même si la description de ces algèbres en terme de générateurs et relations pouvait être obtenue, celle-ci serait humainement inexploitable. Nous proposons alors des pistes consistant à ne considérer que certains invariants ayant des propriétés remarquables (par exemple en étudiant la structure de Cohen-Macaulay de ces algèbres). La seconde partie est consacrée à un invariant particulier, l'hyperdéterminant. Ce polynôme généralise le déterminant de la façon la plus simple possible : il s'agit d'une somme multi-alternée sur le produit de plusieurs groupes symétriques. Après avoir donné quelques propriétés générales, nous étudions certains cas particuliers comme les hyperdéterminants de Hankel, ou les hyperdéterminants de tenseurs dont les entrées ne dépendent que du pgcd des indices etc... De nombreux résultats de cette partie sont appliqués au calcul d'intégrales itérés. En particulier, nous donnons une généralisation du théorème de Heine, une preuve alternative de l'intégrale de Selberg et des généralisations des intégrales de de Bruijn.

Pour les équations différentielles ordinaires linéaires d'ordre 2 et 3, des algorithmes de résolution exacte avec des temps de calcul réalistes existent, se fondant sur une étude préalable précise des groupes de Galois différentiels potentiels de ces équations. Plusieurs études de l'ordre 4 ont déjà eu lieu mais ne concernaient qu'un aspect particulier de la classification des groupes. Dans cette thèse, on donne les bornes optimales pour le degré du polynôme minimal des dérivées logarithmiques des solutions liouvilliennes de telles équations (travail commun avec D. Boucher et F. Ulmer) puis on présente une stratégie algorithmique de recherche du groupe de Galois différentiel d'une équation en connaissant ses semiinvariants de degré 2 et 4, obtenue après avoir en particulier complété les travaux précédents par les cas imprimitif-monomial de la classification des groupes. On trouve alors plus efficacement des semi-invariants produits de formes linéeaires. Dans le chapitre 4 de cette thèse, on s'intérresse aux chutes d'ordre de la puissance symétrique quatrième d'une équation. Plus précisément, on montre qu'une chute d'ordre de un implique l'existence d'au moins un semi-invariant de degré 4, ce qui permet d'obtenir des informations sur le groupe de l'équation. En cas de chute d'ordre de deux et plus, des conditions de finitude du groupe sont données par un théorème de M.F. Singer. Dans le chapitre 5, on traite deux exemples. Dans le premier, on applique la stratégie algorithmique décrite dans le chapitre 3 en vue de trouver le groupe de Galois diff érentiel d'une équation dont on calcule ensuite les solutions (à l'aide d'une méthode décrite par F. Ulmer). Le second est un exemple de résolution du problème inverse pour le groupe SO(4, C) à l'aide de la méthode décrite par C. Mitschi et M.F. Singer (équation qui n'admet donc pas de solutions liouvilliennes). On trouvera en annexe la liste explicite des semiinvariants de degré 2 et 4 des sous-groupes monomiaux de SL(4, C).

Pour toute variété affine W munie d'une opération d'un groupe réductif G, le schéma de Hilbert invariant est un espace de modules qui classifie les sous-schémas fermés de W, stables par l'opération de G, et dont l'algèbre affine est somme directe de G-modules simples avec des multiplicités finies préalablement fixées. Dans cette thèse , on étudie d'abord le schéma de Hilbert invariant, noté H, qui paramètre les sous-schémas fermés GL(V)-stables Z de W=n1 V oplus n2 V^* tels que k[Z] est isomorphe à la représentation régulière de GL(V) comme GL(V)-module. Si dim(V)<3,on montre que H est une variété lisse, et donc que le morphisme de Hilbert-Chow gamma: H -> W//G est une résolution des singularités du quotient W//G. En revanche, si dim(V)=3, on montre que H est singulier. Lorsque dim(V)<3, on décrit H par des équations et aussi comme l'espace total d'un fibré vectoriel homogène au dessus d'un produit de deux grassmanniennes. On se place ensuite dans le cadre symplectique en prenant n1=n2 et en remplaçant W par la fibre en 0 de l'application moment mu: W -> End(V). On considère alors le schéma de Hilbert invariant H' qui paramètre les sous-schémas contenus dans mu^{-1}(0). On montre que H' est toujours réductible, mais que sa composante principale Hp' est lisse lorsque dim(V)<3. Dans ce cas, le morphisme de Hilbert-Chow est une résolution (parfois symplectique) des singularités du quotient mu^{-1}(0)//G. Lorsque dim(V)<3, on décrit Hp' comme l'espace total d'un fibré vectoriel homogène au dessus d'une variété de drapeaux. Enfin, on obtient des résultats similaires lorsque l'on remplace GL(V) par un autre groupe classique (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) que l'on fait opérer d'abord dans W=nV, puis dans la fibre en 0 de l'application moment. / Let W be an affine variety equipped with an action of a reductive group G. The invariant Hilbert scheme is a moduli space which classifies the G-stable closed subschemes of W such that the affine algebra is the direct sum of simple G-modules with previously fixed finite multiplicities. In this thesis, we first study the invariant Hilbert scheme, denoted H. It parametrizes the GL(V)-stable closed subschemes Z of W=n1 V oplus n2 V^* such that k[Z] is isomorphic to the regular representation of GL(V) as GL(V)-module. If dim(V)<3, we show that H is a smooth variety, so that the Hilbert-Chow morphism gamma: H -> W//G is a resolution of singularities of the quotient W//G. However, if dim(V)=3, we show that H is singular. When dim(V)<3, we describe H by equations and also as the total space of a homogeneous vector bundle over the product of two Grassmannians. Then we consider the symplectic setting by letting n1=n2 and replacing W by the zero fiber of the moment map mu: W -> End(V). We study the invariant Hilbert scheme H' which parametrizes the subschemes included in mu^{-1}(0). We show that H' is always reducible, but that its main component Hp' is smooth if dim(V)<3. In this case, the Hilbert-Chow morphism is a resolution of singularities (sometimes a symplectic one) of the quotient mu^{-1}(0)//G. When dim(V)=3, we describe Hp' as the total space of a homogeneous vector bundle over a flag variety. Finally, we get similar results when we replace GL(V) by some other classical group (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) acting first on W=nV, then on the zero fiber of the moment map.