Cette thèse porte principalement sur l’étude des groupoïdes étales. On étudie dans un premier temps l’action propre d’un groupe discret sur un espace localement compact et séparé, qui fournit un exemple de groupoïde étale (propre), puis de voir sous quelle condition le groupe de K-théorie équivariante peut être décrit à l’aide de K-cocyles de fibrés vectoriels complexes G-équivariant et dimension finie. Dans une deuxième partie, on donne la définition de la moyennabilité à l’infi pour un groupoïde étale localement compact, sigma-compact et séparé. On étudie dans certains cas la relation entre l’exactitude de la C*-*algèbres réduites du groupoïde et la moyennabilité à l’infini du groupoïde. Dans une dernière partie, en s’inspirant d’un article de Hilsum et Skandalis, on construit pour toute immersion K-orientée entre groupoïdes étales, un morphisme entre les groupes de K-théorie des C*-algèbres réduites de ces groupoïdes étales et on étudie la fonctorialité d’une telle construction. Cette dernière partie contient aussi la démonstration d’une conjecture annoncée en 1987 par Hilsum et Skandalis / The etale groupoid are the central subject of this thesis. We first study the proper action of a discrete group on a locally compact and Hausdorff space, which gives an example of proper etale groupoid and we find some conditions for which the group of equivariant K-theory defined by phillips is completely described by equivariant complex bundles of finite dimension. In the second part of the thesis, we consider locally compact, sigma-compact and Hausdorff etale groupoid and we give a definition of amenability at infinity of such groupoid. We study in some cases the relation between the exactness of the reduced C*-algebra of the groupoid and the amenability at infinity. In the last part of the thesis, we consider K oriented immersion between etales groupoids and we associate a morphism between group of K-theory of the reduced C* algebras of this etales groupoids. We study the functoriality of such morphism. This part contains a proof of a conjecture of Hilsum and Skandalis

Cette thèse comprend deux parties. <br /> 1. Quantification conformément équivariante des fibrés supercotangents.<br /> Nous entendons par quantification du fibré supercotangent d'une variété M, un isomorphisme linéaire entre l'espace des superfonctions polynomiales en les fibres et l'espace des opérateurs différentiels spinoriels sur M. Nous montrons qu'il existe une unique quantification pour les fibrés supercotangents des variétés (M,g) conformément plates, qui soit équivariante sous l'action des transformations conformes de M. <br /> 2. Sur la géométrie projective du supercercle: une construction unifiée des super birapport et dérivée schwarzienne.<br /> Nous établissons, pour trois supergroupes agissant sur le supercercle, une correspondance entre le supergroupe, les invariants caractéristiques de son action et le 1-cocycle associé, définissant ainsi trois géométries sur le supercercle. L'invariant de la géométrie projective est le super birapport, son 1-cocycle associé étant la dérivée schwarzienne.

Les grassmanniennes symplectiques et, plus généralement, les variétés de drapeaux symplectiques, sont les variétés de sous-espaces isotropes, respectivement de drapeaux de sous-espaces isotropes, relativement à une 2-forme antisymétrique non dégénérée. Ce sont les variétés projectives homogènes du groupe symplectique.<br />Nous étudions les grassmanniennes et les variétés de drapeaux symplectiques impaires, qui sont des objets analogues associés à une 2-forme antisymétrique générique sur un espace vectoriel complexe de dimension impaire. Ces variétés sont munies d'actions naturelles du groupe symplectique impair des transformations linéaires qui préservent la forme antisymétrique. Nous montrons que, bien que ces actions ne soient pas transitives, ces variétés partagent de nombreuses propriétés avec les variétés homogènes.<br />En particulier, nous calculons le groupe d'automorphismes des grassmanniennes symplectiques impaires et obtenons que tous ces automorphismes proviennent de l'action du groupe symplectique impair. De même, nous établissons un théorème de type Borel-Weil pour le groupe symplectique impair et explicitons le lien entre certaines classes de représentations de ce groupe construites par Proctor et par Shtepin. Nous étudions également la cohomologie équivariante de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux. Nous obtenons une formule de type Chevalley-Pieri et nous donnons une présentation à la Borel de l'anneau de cohomologie équivariante. De cette dernière, nous déduisons que l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux est isomorphe à l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété de drapeaux quadratiques.

Mes travaux de recherches concernent les différentes théories cohomologiques associées aux actions de groupes de Lie compacts sur des variétés différentiables: cohomologie équivariante, K-théorie équivariante, et la théorie des opérateurs transversalement elliptiques. Ils se situent au carrefour entre la géométrie symplectique et la théorie des représentations. Le fil conducteur de ma recherche a été le programme de (\it localisation non-abélienne) de Witten. Dans ce mémoire, je rappelle les techniques mises en oeuvre pour réaliser ce programme, et les résultats qui en découlent.

Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment les différentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative) sont reliées les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules combinatoires pour les fibrés vectoriels usuels sur le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Parallèlement à ces questions, nous étudions le comportement multiplicatif du théorème de Bridgeland, King \& Reid construisant la correspondance de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Dans une dernière partie, nous calculons les classes de Chern du fibré tangent au schéma de Hilbert de points sur le plan affine.

Depuis 1980, il est un problème ouvert de donner des formules cohomologiques pour l'indice basique d'un opérateur différentiel basique transversalement elliptique sur un fibré vectoriel au dessus d'une variété feuilletée. Dans les années 1990, El Kacimi-Alaoui a proposé d'utiliser la théorie de Molino pour étudier cette indice. Molino a montré qu'à tout feuilletage Riemannien transversalement orienté, nous pouvons associer une variété, appelée variété basique, qui est munie d'une action du groupe orthogonal, El Kacimi-Alaoui a montré comment associer à l'opérateur basique transversalement elliptique un opérateur sur un fibré vectoriel, appelé fibré utile, au dessus de la variété basique.L'idée est d'obtenir la formule cohomologique espérée à partir des résultats sur l'opérateur sur le fibré utile. Cette thèse est une première étape dans cette direction. Lorsque le feuilletage Riemannien est de Killing, Goertsches et Töben ont remarqué qu'il existe un isomorphisme cohomologique naturel entre la cohomologie basique équivariante du feuilletage de Killing et la cohomologie équivariante de la variété basique.Le résultat principal de cette thèse est de donner une réalisation géométrique de l'isomorphisme cohomologique ci-dessus à travers les caractères de Chern sous certaine Hypothèse. / From 1980s, it is an open problem of proposing cohomologic formula for the basic index of a transversally elliptic basic differential operator on a vector bundle over a foliated manifold. In 1990s, El Kacimi-Alaoui has proprosed to use the Molino theory for study this index. Molino has proved that to every transversally oriented Riemannien foliation, we can associate a manifold, called basique manifold, which is équiped with an action of orthogonal group, El Kacimi-Alaoui has shown how to associate a transversally elliptic basic differential operator an operator on a vector bundle, called useful bundle, over the basique manifold.The idea is to obtain the desired cohomologic formula from résultats about the operator on the useful bundle. This thesis is a first step in this direction. While the Riemannien foliation is Killing, Goertsches et Töben have remarked that there exists a naturel cohomologic isomorphism between the equivariant basique cohomology of the Killing foliation and the equivariant cohomology of the basique manifold.The principal result of this thesis is the geometric realisation of the cohomologic isomorphism by Chern characters under some hypothèses.

L'objectif de ce travail est l'étude de la K-théorie réelle connexe des 2-groupes abéliens élémentaires, c'est-à-dire, pour V un 2-groupe abélien élémentaire, l'objet kR^{\star}(BV ). Cet objet contient, entre autres, la K-théorie orthogonale connexe ko et la K-théorie unitaire connexe ku des 2-groupes abéliens élémentaires, et est naturellement muni d'une structure de Z[v1]-module, où v1 désigne la classe de Bott réelle, un relèvement équivariant en K-théorie réelle de la classe de Bott en K-théorie unitaire. En utilisant des outils provenant de la théorie d'homotopie stable Z/2-équivariante, et en particulier la tour des tranches, une tour naturelle dans la catégorie stable équivariante introduite dans les travaux récents de Hill, Hopkins et Ravenel, on montre que les éléments de torsion pour la classe de Bott réelle dans la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires sont annulés par la multiplication par v2 1. On effectue une étude détaillée de l'algèbre de Steenrod Z/2-équivariante A, constituée des opérations en HF2-cohomologie, et de sa relation avec l'algèbre de Steenrod classique modulo 2. On exhibe en particulier, pour tout entier n, des sous-algèbres extérieures de l'algèbre de Steenrod équivariante E(\beta_0,...,\beta_n), générées par certaines opérations \beta_ i, i entier, qui est une version Z/2-équivariante de la sous algèbre de l'algèbre de Steenrod modulo 2 engendrée par les n+1 premières opérations de Milnor. On s'intéresse ensuite l'algèbre homologique relative, dans la catégorie des E(\beta_0,\beta_1)-modules, relativement au sous-anneau E(\beta_0), et on introduit des outils de calcul très généraux permettant en particulier de déterminer tous les groupes d'extension relatifs Ext(F2,HF2^{\star}(BV )). On introduit ensuite la propriété de h-détection pour une tour d'objets dans une catégorie triangulée, et on relie les propriétés de h-détection à l'estimation de la v1-torsion de la K-théorie réelle connexe. On étudie ensuite l'obstruction pour qu'une tour vérifie la propriété de h-détection, pour h = 1 ou 2. On montre ensuite que l'obstruction pour que la tour des tranches de la K-théorie réelle vérifie la propriété de 2-détection est contrôlée par Ext(F2,HF2^{\star}(BV )), qu'on a calculé précédemment. Le résultat précédent concernant la v1-torsion de la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires suit. Une des applications de ce résultat est une détermination explicite de kR^{\star}(BV ).

Cette thèse s'inscrit dans l'étude de la KK-théorie équivariante par rapport à un groupe quantique localement compact. On généralise notamment certaines notions et certains résultats connus dans le cas des groupes : théorème de stabilisation, morphisme de descente, théorème de Green-Julg, K-moyennabilité. On cherche ensuite à introduire des outils géométriques utiles dans ce contexte, et on associe notamment à un groupe quantique discret et à un produit libre amalgamé de groupes quantiques discrets des objets qui peuvent s'interpréter comme des arbres quantiques. On étudie en particulier les opérateurs de Julg-Valette associés aux groupes quantiques libres de Wang-Banica : ce cas présente de nombreuses nouveautés par rapport au cadre classique, la principale étant la non-involutivité de l'opérateur de retournement des arêtes qui rend nécessaire la construction d'une représentation additionnelle du groupe quantique discret pour obtenir un élément de KK-théorie.

Le cadre du travail présenté dans cette thèse est celui de la théorie équivariante des courbes, c'est-à-dire l'étude des courbes munies d'une action d'un groupe G, qu'on considère toujours fini. Le résultat essentiel est un théorème de Riemann-Roch à valeurs dans l'anneau des caractères du groupe considéré, et qui relève le théorème classique. Il est obtenu pour des G-faisceaux de rang quelconque grâce à l'introduction d'un groupe de diviseurs à coefficients équivariants qui permet en particulier de définir le déterminant et le degré d'un tel faisceau. On applique ce théorème au calcul de structures galoisiennes d'origine géométrique.

Le point de départ de cette thèse est une version instable de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen qui dit que la cohomologie modulo 2 du classifiant des groupes linéaires définis sur Z[1/2] serait détectée par la cohomologie du classifiant du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes linéaires. On sait que la conjecture est vraie pour n=1, 2 et 3, mais qu'elle est fausse à partir de n=14. <br /><br />On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors nécessairement, il existe un certain carré cartésien en cohomologie à coefficients dans F_2 dans lequel apparaît le classifiant du groupe GL_2(Z[i,1/2]). L'espoir initial, motivé par des idées de Henn et Lannes, était que la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) rendrait ce carré non cartésien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen dès n=4.<br /><br />Nous avons calculé la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) et montré que le carré cartésien sus-nommé est bien cartésien.<br />La conjecture a ainsi passé un test avec succès et a encore des chances d'être vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d'un contre-exemple est plus délicate qu'on aurait pu l'espérer.<br /><br />Les moyens utilisés pour effectuer le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) ont été la construction d'un certain espace Z sur lequel le groupe PSL_2(Z[i]) agit avec de bonnes propriétés, et le calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) où Go est un certain sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel qu'on ai la décomposition en somme amalgamée PSL_2(Z[i,1/2])=PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient ensuite H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) en étudiant certains morphismes de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) vers H*(BGo,F_2) et plusieurs suites spectrales.