Dans cette thèse nous étudions la géométrie basique des feuilletages riemanniens. Nous reprenons d’abord le point de vue d’A. El Kacimi sur les opérateurs différentiels transversalement elliptiques. Nous traitons le cas particulier des feuilletages par fibration et des feuilletages par suspension. Nous traitons également des exemples de calcul d’indice basique et étudions les propriétés d’invariance de la signature basique. Nous nous intéressons ensuite au cas d’un feuilletage riemannien muni d’une action de groupe de Lie compact. Nous montrons alors qu’un opérateur différentiel basique transversalement elliptique au feuilletage et à l’action du groupe admet un indice distributionnel basique. Nous traitons le cas particulier des actions libres et établissons les propriétés de multiplicativité et excision. Nous finissons par établir le lien avec le point de vue d’A. El Kacimi / In this paper we study the basic geometry of a Riemannian foliation. First we return on A. El Kacimi’s point of view on transversally elliptic basic differential operator. We study the particular case of fibration and foliation defined by suspension. We study some examples of computation of basic index and study invariance property for the basic signature. After, we study a Riemannian foliation with the action of a compact Lie group. We prove then that a basic differential operator which is transversally elliptic to the foliation and to the group action has a distributional basic index. We study the particular case of free action and prove the multiplicativity and excision property. We end by study the link with El Kacimi’s point of view

Ici nous étudions les extensions de feuilletage

Considérons une variété régulière analytique M sur le corps réel ou complexe, un faisceau d'idéaux J défini sur M, un diviseur à croisement normaux simples E et une distribution singulière involutive Θ tangent à E.L'objectif principal de ce travail est d'obtenir une résolution des singularités du faisceau d'idéaux J qui préserve certaines ``bonnes" propriétés de la distribution singulière Θ. Plus précisément, la propriété de R-monomialité : l'existence d'intégrales premières monomiales. Ce problème est naturel dans le contexte où on doit étudier l'interaction d'une variété et d'un feuilletage et, donc, est aussi reliée au problème de la monomilisation des applications et de résolution ``quasi-lisse" des familles d'idéaux.- Le premier résultat donne une résolution globale si le faisceau d'idéaux J est invariant par la distribution singulière;- Le deuxième résultat donne une résolution globale si la distribution singulière Θ est de dimension 1 ;- Le troisième résultat donne une uniformisation locale si la distribution singulière Θ est de dimension 2.On présente aussi deux utilisations des résultats précédents. La première application concerne la résolution des singularités en famille analytique, soit pour une famille d'idéaux, soit pour une famille de champs de vecteurs. Pour la deuxième, on applique les résultats à un problème de système dynamique, motivé par une question de Mattei. / Let M be an analytic manifold over the real or complex field, J be a coherent and everywhere non-zero ideal sheaf over M, E be a reduced SNC divisor and Θ an involutive singular distribution everywhere tangent to E. The main objective of this work is to obtain a resolution of singularities for the ideal sheaf J that preserves some ``good" properties of the singular distribution Θ. More precisely, the R-monomial property : the existence of local monomial first integrals. This problem arises naturally when we study the ``interaction" between a variety and a foliation and, thus, is also related with the problem of monomialization of maps and of ``quasi-smooth" resolution of families of ideal sheaves.- The first result is a global resolution if the ideal sheaf J is invariant by the singular distribution Θ;- The second result is a global resolution if the the singular distribution Θ has leaf dimension 1;- The third result is a local uniformization if the the singular distribution Θ has leaf dimension 2;We also present two applications of the previous results. The first application concerns the resolution of singularities in families, either of ideal sheaves or vector fields. For the second application, we apply the results to a dynamical system problem motivated by a question of Mattei.

A toute fonction de Morse généralisée f sur un feuilletage mesuré, nous associons un complexe longitudinal dont nous montrons qu'il calcule la cohomologie longitudinale introduite par A. Connes. L'espace d'indice q de ce complexe est donné par le champ d'espaces $E^q=(l^2(C^q \cap L))_L$ , où C^q est la variété des points critiques longitudinaux d'indice q de f, et où L désigne la feuille générique . Les différentielles $\delta^q:E^q \rightarrow E^{q+1}$ expriment comment l'orientation de la variété instable se transporte le long d'une trajectoire du champ de gradient feuilleté reliant un point critique d'indice q à un point critique d'indice q+1. Pour montrer que ce complexe calcule la cohomologie longitudinale, nous l'identifions au complexe obtenu comme limite, lorsque tau tend vers l'infini, du complexe feuilleté $(W^q_{\tau,L},d^q_{\tau,L})$ considéré par A. Connes et T. Fack. Ce travail étend au cas des feuilletages celui de B. Helffer et J. Sjörstrand.

J'ai principalement étudié la classification des champs de vecteurs holomorphes Z , ayant une singularité isolée en (0,0) de type noeud-col, sous l'action des changements de coordonnées holomorphes locaux. On montre comment celle-ci se réduit à l'étude de deux équations homologiques, une pour la classification du feuilletage sous-jacent et l'autre pour la classification du flot à feuilletage fixé. On complète ainsi les invariants fonctionnels dégagés par Martinet/Ramis pour les feuilletages. Les invariants de classification expriment les obstructions à l'existence d'une fonction holomorphe F solution d'une équation du type Z(F)=G . En intégrant le second membre selon des chemins tangents à Z , on localise ces obstructions dans la non-nullité de certaines intégrales le long de cycles asymptotiques. Cette approche géométrique se distingue des méthodes utilisées par Meshcheryakova/Voronin pour obtenir indépendament et à la même époque un résultat similaire, en particulier puisqu'elle permet de donner une représentation intégrale "naturelle" aux invariants de Martinet/Ramis. En estimant ces quantités on dégage finalement de nombreuses classes explicites de champs (et d'équations différentielles) mutuellement non conjugué(e)s, alors que dans d'autre cas on peut donner des formes normales.

D'une part, á partir des propriétés de la cohomologie de Floer, invariant associé á une variété symplectique, je définis et étudie une notion d'hyperbolicité symplectique et une capacité symplectique la mesurant. D'autre part, pour une variété , on dispose des notions classiques d'hyperbolicités complexes, définies à partir des courbes pseudo-holomorphes. J'étudie donc les liens entre ces deux notions d'hyperbolicités quand une variété est munie de structures pseudo-complexe et symplectique compatibles. J'explique principalement comment la non-hyperbolicité symplectique implique l'existence de courbes pseudo-holomorphes, et donc ainsi la non-hyperbolicité complexe. Cette analyse me permet à la fois de mieux comprendre la cohomologie de Floer, et d'obtenir de nouveaux résultats sur l'hyperbolicité complexe. J'établis notamment des résultats de stabilité pour la non-hyperbolicité complexe par déformation de la structure pseudo-complexe dans l'ensemble des structures pseudo-complexes compatibles à une structure symplectique non-hyperbolique fixée, généralisant ainsi un théorème de Bangert énoncant ce même résultat dans le cas particulier du tore standard. Par ailleurs, j'aborde la question de l'hyperbolicité complexe des feuilletages: en exhibant un tenseur invariant associé au feuilletage, j'étudie l'existence de cylindres holomorphes feuilletés.

Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés ergodiques du feuilletage horosphérique d'une variété géométriquement finie à courbure négative $M$. Un de nos principaux résultats est la classification des mesures transverses quasi-invariantes dont la dérivée de Radon-Nikodym est un cocycle höldérien fixé, associé à une mesure de Gibbs. À un tel cocycle, nous associons certaines moyennes sur les horosphères et montrons qu'elles s'équidistribuent vers la mesure de Gibbs correspondante lorsque $M$ est compacte ou convexe-cocompacte. Lorsqu'elle n'est ni compacte ni convexe-cocompacte, nous limitons l'étude aux moyennes associées à la mesure d'entropie maximale. Nous montrons qu'elles forment une suite tendue, ce qui, dans le cas des surfaces, nous permet d'obtenir leur équidistribution vers cette mesure d'entropie maximale. En corollaire, nous obtenons l'équidistribution des orbites du flot horocyclique d'une surface hyperbolique géométriquement finie mais de volume infini.

Depuis 1980, il est un problème ouvert de donner des formules cohomologiques pour l'indice basique d'un opérateur différentiel basique transversalement elliptique sur un fibré vectoriel au dessus d'une variété feuilletée. Dans les années 1990, El Kacimi-Alaoui a proposé d'utiliser la théorie de Molino pour étudier cette indice. Molino a montré qu'à tout feuilletage Riemannien transversalement orienté, nous pouvons associer une variété, appelée variété basique, qui est munie d'une action du groupe orthogonal, El Kacimi-Alaoui a montré comment associer à l'opérateur basique transversalement elliptique un opérateur sur un fibré vectoriel, appelé fibré utile, au dessus de la variété basique.L'idée est d'obtenir la formule cohomologique espérée à partir des résultats sur l'opérateur sur le fibré utile. Cette thèse est une première étape dans cette direction. Lorsque le feuilletage Riemannien est de Killing, Goertsches et Töben ont remarqué qu'il existe un isomorphisme cohomologique naturel entre la cohomologie basique équivariante du feuilletage de Killing et la cohomologie équivariante de la variété basique.Le résultat principal de cette thèse est de donner une réalisation géométrique de l'isomorphisme cohomologique ci-dessus à travers les caractères de Chern sous certaine Hypothèse. / From 1980s, it is an open problem of proposing cohomologic formula for the basic index of a transversally elliptic basic differential operator on a vector bundle over a foliated manifold. In 1990s, El Kacimi-Alaoui has proprosed to use the Molino theory for study this index. Molino has proved that to every transversally oriented Riemannien foliation, we can associate a manifold, called basique manifold, which is équiped with an action of orthogonal group, El Kacimi-Alaoui has shown how to associate a transversally elliptic basic differential operator an operator on a vector bundle, called useful bundle, over the basique manifold.The idea is to obtain the desired cohomologic formula from résultats about the operator on the useful bundle. This thesis is a first step in this direction. While the Riemannien foliation is Killing, Goertsches et Töben have remarked that there exists a naturel cohomologic isomorphism between the equivariant basique cohomology of the Killing foliation and the equivariant cohomology of the basique manifold.The principal result of this thesis is the geometric realisation of the cohomologic isomorphism by Chern characters under some hypothèses.

La pâte feuilletée cuite se caractérise par une texture singulière aérée et friable, qui est générée par une alternance de fines couches laminées de matière grasse et de détrempe. L'objectif de la présente étude est d'observer les couches et de quantifier leur structure dans la pâte levée feuilletée. L'effet du nombre de couches sera étudié afin de faire varier leur structure. Deux techniques d'imagerie permettant d'accéder à des résolutions spatiales différentes (1.24µm et 0.5mm/pixel) ont été combinées : la MCBL pour caractériser les couches de matière grasse après laminage, et l'IRM pour étudier en dynamique l'évolution des couches pendant la fermentation. La méthode de traitement développée à partir des images MCBL a permis de quantifier l'épaisseur de chaque couche, et la rétractation des couches de détrempe après le laminage. Deux échelles de taille de ruptures dans les couches de matière grasse ont été identifiées grâce à la complémentarité des techniques d'imagerie. Une nouvelle méthode de quantification des proportions de trois composants (gaz, détrempe sans air et matière grasse) dans chaque pixel, appliquée aux images IRM pendant la fermentation a été utilisée. Elle a permis de suivre l'évolution de chaque couche de détrempe. Le nombre de couches (4,8 et 12), aussi bien que la position de chaque couche de détrempe, n'ont pas d'effet sur la vitesse d'expansion. L'étape de fermentation contribue le plus à l'expansion de la pâte levée feuilletée mais les couches de matière grasse n'ont pas de rôle à cette étape. Pendant la cuisson l'expansion relative de la pâte augmente de 20 à 65% de 4 à 32 couches de matière grasse et reste stable au-delà de 48 couc / Laminated dough is characterized after baking by a unique light and flaky texture which is the result of alternating thin sheeted layers of dough and fat. The aim of the present study was to visualize the layers and quantify their feature in Danish pastry like laminated dough. The effect of the number of layers was studied in order to have different structures of the layers. Two imaging techniques offering different spatial resolutions (1.24µm and 0.5mm/pixel) were combined: CLSM to characterize the fat layers after sheeting and MRI to study dynamically the layers during proving. The developed method from CLSM images allowed quantification of layers thickness and of the elastic recoil of dough layers. Two scales of fat breaches after sheeting were measured by complementary of the two imaging methods. A new method of quantification of the three components (gas, paste and fat) on each pixel in MRI images with partial volume during proving, was used. It made possible to monitor expansion of individual dough layers. Neither the number of fat layers (4, 8 and 12), nor the height position of dough layer, had an effect on the expansion rate. The proving step contributed to most of the expansion of Danish pastry, but with no specific role of fat layers. During baking, relative expansion of Danish pastry ranged from 20 to 65% for 4 to 32 fat layers and remained unchanged above 48 layers.

Les strates de l'espace de modules des di__erentielles ab_eliennes sont naturellementmunies d'un feuilletage holomorphe, appel_e feuilletage isop_eriodique (ou feuilletagesdes p_eriodes aboslues, ou encore feuilletage du noyau). Celui-ci a _et_e introduit il y a25 ans, d'abord par A. Eskin et M. Kontsevitch, puis par K. Calta et C. McMullenavant de devenir un objet important en dynamique de Teichmuller. La questiong_en_erale abord_ee dans ce texte est la suivante :Comment les feuilles du feuilletage isop_eriodique se r_epartissent-ellesdans l'espace de module ?McMullen a d_emontr_e l'ergodicit_e du feuilletage dans les strates principales (o_u toutesles singularit_es sont simples) en genre 2 et 3 en utilisant des techniques issue dela dynamique homog_ene. Calsamiglia, Deroin & Francaviglia ont ensuite _etenduce resulat et obtenu une classi_cation _a la Ratner des ensembles ferm_es satur_espar le feuilletage. Simultan_ement, Hamenstadt a fourni une preuve alternative del'ergodicit_e, toujours dans la strate principale. De fa_con _etonnante, le seul r_esulatconnu pour les autres strates est d^u _a P. Hooper et B. Weiss : les feuilles des surfacesde Arnoux-Yoccoz sont denses dans les strates qui les contiennent.La question de la dynamique du feuilletage isop_eriodique peut ^etre formul_ee dansle contexte plus g_en_eral des sous vari_et_es a_nes. Avila, Eskin et Moller ont prouv_eque la codimension des feuilles est alors paire. Le cas de la codimension 2, ou rang1, est d_ej_a riche. Nous _etablissons un cri_ete de densit_e des feuilles et l'appliquons_a di__erentes familles de vari_et_es a_nes de rang 1. Parmi celles-la, les lieux Prymoccupent une place importante. Nous d_emontrons dans ce cadre que les feuilles sontsoit ferm_ees, soit denses, en fonction de l'artithm_eticit_e du lieu. Dans le cas nonarithm_etique, nous prouvons que le feuilletage est ergodique pour la mesure a_neassoci_ee. Cela aboutit _a la d_ecouverte de nouvelles feuilles denses dans des strates _asingularit_es multiples. Ces r_esultats sugg_erent une connection entre la g_eometrie desvari_et_es a_nes et la dynamique isop_eriodique. L'exploitation de cette connection engenre 3 aboutit _a la classi_cation des vari_et_es a_nes non arithm_etiques ne provenantpas d'orbites ferm_ees dans les strates _a deux singularit_es. / The strata of the moduli space of abelian di_erentials are endowed with a naturalholomorphic foliation, known as the isoperiodic foliation (or absolute period foliationor kernel foliation). It has been introduced 25 years ago by A. Eskin and M. Kontsevichand later by K. Calta and C. McMullen before it became a central object inTeichmuller dynamics. The general question addressed in this text is the following:How do the leaves of the isoperiodic foliation wander around in themoduli space ?McMullen proved the ergodicity of the foliation in the principal stratum (where thesingularities of the abelian di_erentials are all simple) in genus 2 and 3 using resultsfrom group actions on homogeneous space. Calsamiglia, Deroin & Francavigliageneralized this result in higher genera and obtained a Ratner-like classi_cation ofthe closed saturated subsets. Simultaneously, Hamenstadt gave an alternative proofof the ergodicity. Surprisingly enough, for the strata where at least one zero isnot simple, the only result available was due to Hooper and Weiss: the leaf of theArnoux-Yoccoz surface is dense in the stratum in which it belongs.The question of the dynamics of the isoperiodic foliation can be rephrased in the moregeneral context of a_ne manifolds. Avila, Eskin, M^oller proved that the codimensionof the leaves is even. The codimension 2 case, also known as rank 1, already displaysa rich and contrasted picture. We give a criterion for density of the leaves, and applyit to di_erent families of rank one a_ne manifolds. Among those, special attention isdedicated to the Prym eigenform loci. We prove that the leaves are either compactor dense, depending on the arithmeticity of the locus. In the non arithmetic case, weprove that the foliation is ergodic with respect to the a_ne measure. In turn, thisgives new examples of dense leaves in strata where at least one of the singularity isnot simple. The aforementioned results suggest a connection between the dynamicsof the isoperiodic foliation and the geometry of a_ne manifolds. This connection isanalyzed in genus 3 and results in a classi_cation of the proper non arithmetic a_nemanifolds in strata with 2 singularities.