Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation des petites échelles de la turbulence afin d'obtenir des équations fermées pour les grandeurs à grande échelle (ou moyennées). Nous nous basons sur des modèles de type stochastique ou statistique afin d'étudier les trois problèmes suivants : - Les grandeurs globales dans un écoulement fortement turbulent, en turbulence hydrodynamique. En adoptant une paramétrisation stochastique des petites échelles, nous prédisons la distribution statistique du couple reçu par la turbulence. - l'effet dynamo engendé par un écoulement turbulent. Une modélisation stochastique permet de dériver une équation pour la distribution de probabilité du champ magnétique et d'identifier un seuil d'effet dynamo en présence de turbulence. - les états d'équilibre de la turbulence axisymétrique aussi bien hydrodynamique que magnétohydrodynamique. Nous les étudions via une approche de mécanique statistique.

Nous élaborons des modèles macroscopiques d'EDP pour les mélanges gazeux réactifs ionisés et nous effectuons diverses études mathématiques puis quelques simulations numériques. On détermine les équations macroscopiques ainsi que des expressions des flux de<br />transport à partir d'un modèle de type Boltzmann par un développement de Enskog. Nous étudions alors les propriétés de symétrie apportées par l'entropie de ces équations couplées avec celles de Maxwell pour obtenir un théorème d'existence locale en temps d'une solution bornée et régulière pour le problème de Cauchy. Nous étudions ensuite un modèle de plasma ambipolaire en considérant la masse de l'électron comme un paramètre. Nous démontrons que la solution globale dépend continument de la masse de l'électron lorsque celle-ci s'annule. Nous calculons enfin des flammes ionisées planes et étirées d'un mélange hydrogène-air et obtenons des structures de flammes typiques avec un faible impact de l'ionisation.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties traitant des problèmes de Cauchy ou des problèmes périodiques. Dans la première partie, on étudie la stabilité de solutions régulières au voisinage d'états d'équilibre non constants pour un système d'Euler-Maxwell isentropique compressible bipolaire. Par des estimations d'énergie classiques et un argument de récurrence sur l'ordre des dérivées des solutions, on montre l'existence globale et l'unicité des solutions régulières du système lorsque les données initiales sont proches des états d'équilibre. On obtient aussi le comportement asymptotique des solutions quand le temps tend vers l'infini. Dans la deuxième partie, on considère la stabilité en temps long des solutions régulières de systèmes d'Euler-Maxwell et de Navier-Stokes-Maxwell compressibles dans le cas non isentropique lorsque les états d'équilibre sont constants. Grâce à des choix convenables de symétriseurs des systèmes et à des estimations d'énergie, on montre l'existence globale et l'unicité des solutions régulières des systèmes avec données initiales petites. De plus, par le principe de Duhamel et l'outil d'analyse de Fourier, on obtient des taux de décroissance des solutions quand le temps tend vers l'infini. / This thesis is essentially composed of two parts dealing with Cauchy problems and periodic problems. In the first part, we study the stability of smooth solutions near non constant equilibrium states for a two-fluid isentropic compressible Euler-Maxwell system.By classical energy estimates together with an induction argument on the order of the derivatives of solutions, we prove the existence and uniqueness of global solutions to the system when the given initial data are near the equilibrium states. We also obtain the asymptotic behavior of solutions when the time goes to infinity. In the second part, we consider the long time stability of the global smooth solutions for compressible Euler-Maxwell and Navier-Stokes-Maxwell systems in non isentropic case when the equilibrium solutions are constants. With the help of suitable choices of symmetrizers and energy estimates, we prove the existence and uniqueness of global solutions to the systems with given small initial data. Furthermore, using the Duhamel principle and the Fourier analysis tool, we obtain the decay rates of smooth solutions as the time goes to infinity.