Η παρούσα εργασία έχει ως θέμα τη μαθηματική απόδειξη και την διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Στόχος της είναι αρχικά, να παρουσιάσει το θεωρητικό υπόβαθρο που διέπει αυτά τα δύο θέματα και να κάνει μια σύγκριση ώστε να αναδειχθούν οι διαφορές τους και οι ομοιότητες τους. Στην συνέχεια, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων των Μαθηματικών του Λυκείου για το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα έχοντας ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζετε ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές και τέλος, γίνετε μια σύντομη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron και μια συγκριτική παρουσίαση των αποδείξεων κάποιων θεωρημάτων του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου (Αργυρόπουλος Η.) και με τις δύο μορφές. / The objective of this Master Thesis is the presentation of the Mathematical Proof and Problem Solving. Its aim is initially to present the theoretical background behind these two issues and a comparison between the Mathematical Proof and Problem Solving with respect to their similarities and differences takes place. Then a brief presentation of the curriculum programs as well as the school books of mathematics is given. This presentation is about the time period from the late decade of 1980 up to date, mostly concerning the Mathematical Proof and Problem Solving. Moreover, using a suitably formulated activity, the role of the above over the students is studied. Finally, a concise analysis of Linear and Structural style of proof as it suggested by Uri Leron is given. The thesis is completed with the presentation of three theorems along with their proofs (Linear style) as they are stated in the section of "Inequality Relationships" of Geometry school book of A Lyceum class (Αργυρόπουλος Η. 2008), while for each proof its Structural style is also given.

Υπάρχουν πολλές ερευνητικές εργασίες σε σχέση με τη συμπεριφορά των μαθητών στην ατζέντα της επίλυσης προβλήματος. Η πλειονότητα αυτών των εργασιών αναφέρεται σε φοιτητές πανεπιστημίου ή σε μαθητές των τελευταίων τάξεων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Όσες από αυτές καταπιάνονται με μικρότερους μαθητές δίνουν περισσότερο έμφαση στη συμπεριφορά των μαθητών σε αντιπαραβολή με συγκεκριμένα στοιχεία της επίλυσης προβλήματος όπως η διατύπωση εικασιών, η επαλήθευση ή η λήψη αποφάσεων. Επιπλέον στα πλαίσια αυτής της παράδοσης της επίλυσης προβλήματος δε συνηθίζεται να δίνεται έμφαση σε κάποιο συγκεκριμένο μαθηματικό θέμα. Έτσι προτείνεται από την παρούσα εργασία η Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια (ΕΠΣΕ) (στην περίπτωσή μας αυτήν του εμβαδού) η οποία σε ένα πρώτο στάδιο μέσα από μια σειρά προβλημάτων με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο εφοδίασε τους μαθητές- λύτες με μια συλλογή τεχνικών σχετικών με τη συγκεκριμένη έννοια. Αργότερα η χρήση των τεχνικών αυτών δεν ενίσχυε πια την έννοια, και αντί γι αυτό οι λύτες ενέπλεξαν την καλή γνώση της έννοιας που πια κατείχαν προκειμένου να οργανώσουν τις γνωστές μεθόδους τις σχετικές με την έννοια ώστε να δρομολογήσουν στρατηγικές που θα οδηγούσαν στη λύση. Αυτή η πλατφόρμα της ΕΠΣΕ υποστηρίζει την επιχειρηματολογία του λύτη και οδηγεί στην ανάπτυξη ιδιαίτερα εντυπωσιακών στρατηγικών. Τα παραπάνω αποκτούν ενδιαφέρον και για έναν ακόμη λόγο, αυτόν της συμβολής του υπολογιστικού περιβάλλοντος σε κάποια από τα στοιχεία της επίλυσης προβλήματος, όπως αυτό της επαλήθευσης, όπου καταγράφηκαν τα περιθώρια που παρέχει ένα τέτοιο περιβάλλον για την ανάπτυξη επαληθευτικών διαδικασιών σε μεγάλη συχνότητα και ποικιλία ως προς τη μαθηματική τους βαρύτητα. Τέλος η πλατφόρμα που παρουσιάζουμε στην εργασία αυτή, αφήνεται ως ανοιχτή ιδέα για την εφαρμογή της και σε άλλες έννοιες πέρα από το εμβαδόν, του οποίου η περίπτωση πιστεύουμε ότι αποτελεί ένα καλό υπόδειγμα / There are many studies concerning students' behavior in the problem solving agenda. The majority of them refers either to college students or students of upper secondary school. Some of them who deal with younger pupils give more emphasis to the students' behavior vis-a-vis with certain problem solving elements such as conjecturing, verification or decision making. Moreover, this problem solving traditiondoes not usually stress a constant mathematical theme. This is why we propose the term 'Problem Solving Ancillary to a concept' (APS) in our case that of area. In a first stage APS equippes students-solvers with a set of techniques relevant to the specific concept through a series of problems with common conceptual backdrop (in our case that of the area). Later the usage of these techniques does not enhance the concept any more. Instead of this the solvers involved their knowledge of the concept they already possessed in order to organize the known methods that were relevant to the concept so as to set up effective strategies that could solve the problem. The APS platform gives an unusual support to solvers' reasoning and this results to developing quite impressive strategy-making. There is one more reason making all of the above mentioned important: the contribution of the computer environment to some of the problem solving elements such as verification. We recorded and present the development of verification processes in this environment. These processes were more frequent and in a great variety compared to the ones in paper and pencil environment. Finally APS-platform is presented as an open idea beyond area. The case of area however is an excellent example towards this perspective.

Σε αυτή την εργασία μελετώνται οι διαφορές μεταξύ της δια ζώσης και της εξ αποστάσεως συνεργασίας στα πλαίσια μιας υπολογιστικά υποστηριζόμενης άσκησης μοντελοποίησης. Ένα μαθηματικό πρόβλημα σχεδιάστηκε και δόθηκε στους συμμετέχοντες. Εξετάστηκε σε βάθος η διαδικασία μοντελοποίησης στο ModellingSpace, ένα υπολογιστικά υποστηριζόμενο και συνεργατικό περιβάλλον μάθησης. Δεκαέξι μαθητές γ’ Γυμνασίου συμμετείχαν στην έρευνα και δούλεψαν σε δυάδες. Οι μισές δυάδες εργάστηκαν δια ζώσης, ενώ οι υπόλοιπες δούλεψαν εξ αποστάσεως. Η ανάλυση δεδομένων εστίασε στην αναγνώριση γνωστικών στρατηγικών μοντελοποίησης. Τα αποτελέσματα προτείνουν ότι οι δυάδες που εργάστηκαν εξ αποστάσεως έδωσαν έμφαση στην ανάλυση και στη σύνθεση, καθώς παρουσίασαν υψηλότερη μαθησιακή απόδοση (διαφορά προτεστ και μετατεστ), ενώ οι δια ζώσης δυάδες χρειάστηκαν την υποστήριξη του δασκάλου και παρουσίασαν ισχυρότερες κοινωνικές αλληλεπιδράσεις. Παρόλο το γεγονός ότι οι ενέργειες των δυάδων δια ζώσης ήταν περισσότερες σε αριθμό, οι δυάδες που εργάστηκαν εξ αποστάσεως φαίνεται ότι εστίασαν περισσότερο στη δραστηριότητα. Σχετικά με τις αλληλεπιδράσεις και στις δύο ομάδες παρουσιάστηκε διερευνητική ομιλία προς την επίλυση του προβλήματος. Επιπλέον λιγότερες φάνηκαν να είναι οι διαφωνίες μεταξύ των συνεργατών. Τα αποτελέσματα μπορούν να δώσουν ερμηνείες για τη σχεδίαση μαθησιακών προγραμμάτων και για τη διευκόλυνση των συνεργατικών δραστηριοτήτων. / In this study, the differences between online and face-to-face collaboration in the context of a computer-supported modeling task are examined. A mathematical problem was designed and given to the participants. Their modeling process using ModellingSpace, a collaborative computer-supported educational environment, was closely monitored. Sixteen ninth grade students participated in the study, who worked in groups of two. Half of the groups worked face-to-face, whereas the rest collaborated online. The data analysis focused on the identification of cognitive modeling strategies. The obtained results suggest that pairs who worked online emphasized on analysis and synthesis and demonstrated a higher learning gain, whereas face-to-face pairs needed the teacher’s support and demonstrated stronger social interaction. Despite the fact that the actions of face-to-face dyads were more in number, the dyads that worked online seemed to present more task oriented actions. Regarding the interactions, in both groups a mutual exploration of the problem is depicted. Moreover, few disagreements were observed. The findings, which are discussed extensively, may have a number of implications for the design of learning programs and the facilitation of collaborative tasks.

Ο βασικός σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση του κατά πόσον: κατά τη διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος εντός ενός ευνοϊκού μαθησιακού περιβάλλοντος μιας τάξης πρωτοσχολικής ηλικίας, τα παιδιά, αλληλεπιδρώντας μεταξύ τους και με τη νηπιαγωγό, εμπλέκονται σε διεργασίες οι οποίες προάγουν την ανάπτυξη δεξιοτήτων. Ο πιο πάνω σκοπός διερευνάται μέσα από τρία βασικά ερευνητικά ερωτήματα καθένα από τα οποία αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα: 1. πώς λειτουργεί η εκτενής σε χρονική διάρκεια, τακτική (καθημερινή) και οργανωμένη από την νηπιαγωγό ενασχόληση παιδιών με διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος, μέσα σε ένα ευνοϊκό μαθησιακό περιβάλλον; 2. πώς επιδρά στα παιδιά η διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων (α) εμπλοκής στην επίλυση του μαθηματικού προβλήματος : (i) το παιδί χρησιμοποιεί το υλικό αναπαράστασης του προβλήματος και καταγραφής των λύσεών του με τρόπο που οδηγεί σε επίλυση του προβλήματος; (ii) το παιδί εργάζεται με τρόπο που δείχνει ότι έχει λάβει υπόψη τα δεδομένα του προβλήματος; (iii) το παιδί εργάζεται με τρόπο που οδηγεί σε επίλυση του προβλήματος; (β) ανάπτυξης στρατηγικών επίλυσης του μαθηματικού προβλήματος: (i) ποιες στρατηγικές αναπτύσσουν τα παιδιά κατά τη διαδικασία επίλυσης του κάθε μαθηματικού προβλήματος; (ii) τα παιδιά εφαρμόζουν την ίδια στρατηγική και σε επόμενες διαδικασίες επίλυσης του ίδιου μαθηματικού προβλήματος; (iii) παρατηρείται ανάπτυξη ή βελτίωση της στρατηγικής από τα παιδιά σε επόμενη εφαρμογή της διαδικασίας επίλυσης του ίδιου μαθηματικού προβλήματος; (γ) ανίχνευσης των λύσεων του μαθηματικού προβλήματος: (i) μπορούν τα παιδιά να ανιχνεύσουν όλες τις λύσεις του μαθηματικού προβλήματος (ii) με ποιους τρόπους καταφέρνουν τα παιδιά να ανιχνεύσουν όλες τις λύσεις του προβλήματος; (δ) γραφικής αναπαράστασης των λύσεων του μαθηματικού προβλήματος: (i) πώς επιλέγουν τα παιδιά να αναπαραστήσουν γραφικά τις λύσεις του κάθε προβλήματος; (ii) πώς χρησιμοποιούν τα παιδιά τις γραφικές αναπαραστάσεις των λύσεων του προβλήματος στη διαδικασία επίλυσής του; 3. μπορούν οι γλωσσικές αλληλεπιδράσεις που αναπτύσσονται σε μια τάξη πρωτοσχολικής εκπαίδευσης μεταξύ παιδιών αλλά και μεταξύ παιδιών και νηπιαγωγού να συνεισφέρουν στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος; : (ι)σε ποια από τις κατηγορίες σωρευτικός λόγος, λόγος αμφισβήτησης, διερευνητικός λόγος εμπίπτει ο διάλογος μεταξύ παιδιών και πού οδηγεί; (ii) που οδηγεί ο διάλογος μεταξύ παιδιού/παιδιών και νηπιαγωγού; (iii) πού οδηγεί ο μονόλογος του παιδιού; Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι (α) μέσα από την αλληλεπίδραση, τόσο μεταξύ τους όσο και με τη νηπιαγωγό, ακόμη και τετράχρονα παιδιά μπορούν να καταστούν ικανά να εφαρμόσουν διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος (β) η συστηματική, εκτενής και οργανωμένη ενασχόληση παιδιών με διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος προάγει την ανάπτυξη δεξιοτήτων (γ) βασικό ρόλο στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων παίζει η νηπιαγωγός και ο τρόπος με τον οποίο η ίδια οργανώνει το μαθησιακό περιβάλλον της τάξης. Η παρούσα εργασία αποτελείται από τέσσερα Κεφάλαια. Στο πρώτο Κεφάλαιο μελετάται η διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος στο νηπιαγωγείο και ο όρος του ευνοϊκού μαθησιακού περιβάλλοντος. Ο καθορισμός των στοιχείων του ευνοϊκού μαθησιακού περιβάλλοντος γίνεται μέσα από βιβλιογραφική ανασκόπηση σχετικά με το ρόλο της εκπαιδευτικού στη δημιουργία του όλου περιβάλλοντος και της προαγωγής γλωσσικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ της ίδιας και των παιδιών και μεταξύ των παιδιών. Στο δεύτερο Κεφάλαιο αναλύεται η μεθοδολογία της έρευνας. Στο τρίτο Κεφάλαιο παρουσιάζονται και αναλύονται τα δεδομένα της παρούσας έρευνας. Στο τέταρτο, και τελευταίο, Κεφάλαιο συνοψίζονται τα σημαντικότερα ευρήματα της παρούσας εργασίας και διατυπώνονται τα βασικά της συμπεράσματα, μέσα από την απάντηση των ερευνητικών της ερωτημάτων και παρουσιάζονται εισηγήσεις για μελλοντική διερεύνηση ερωτημάτων που προέκυψαν από την παρούσα εργασία. / The aim of this study is to investigate whether: during the process of mathematical problem solving within a favorable learning environment of a pre-school classroom setting, while child-child and child-teacher interaction takes place, children involve themselves in processes promoting skill development. The above hypothesis is studied through three basic research questions, each of which is analysed in further and more specific questions: 1. how does the extensive, frequent (daily) and organized by the teacher, occupation of children with mathematical problem solving process, within a favorable learning environment, function? 2. how does the mathematical problem solving process effect children’s skill development in (a)their involvement in the mathematical problem solving process : (i)can the child use the material created for the mathematical problem representation in a way that leads to the solution of the problem? (ii) does the child’s work show that he/she has considered the problem’s data, (iii) does the child’s work lead to the solution of the mathematical problem? (b)the development of strategies in order to solve the mathematical problem : (i)which strategies do the children develop during the mathematical problem solving process? (ii) do the children apply the same strategy every time they engage in the process of solving the same mathematical problem? (iii) is there a development or an improvement of the children’s strategy during future processes of solving the same mathematical problem? (c)the detection of all possible solutions of a mathematical problem : (i)can children detect all possible solutions of the mathematical problem? (ii) in which ways do the children manage to detect all possible solutions of the mathematical problem? (d)graphically representing the solutions of the mathematical problem : (i)how do children chose to graphically represent the solutions of the mathematical problem? (ii) how do children use graphical representations of problem solutions during the problem solving process? 3. can child-child and child-teacher language interactions, which develop within a pre-school classroom setting, contribute to the problem solving process (i)in which of the categories cumulative talk, investigative talk, exploratory talk does children’s dialogue fall and where does it lead? (ii) where does child-child and child-teacher dialogue lead? (iii) where does child monologue lead? The results show that (a) through child-child and child-teacher interaction children as young as four years old can become capable of applying the mathematical problem solving process, (b) extensive, frequent and organized occupation of young children with the mathematical problem solving process leads to skill development, (c) the teacher’s role is central to the development of skills in the way she organizes the classroom’s learning environment. The present study consists of four chapters. Chapter I studies the problem solving process in pre-school and the term “favorable learning environment”. The determination of the elements of such an environment is established through bibliographical research relative to the teacher’s role in the creation of the classroom environment and the promotion of language interaction between herself and children and between children. Chapter II analyses the methodology of the current study. Chapter III presents and studies the research findings. Chapter IV summarizes the basic findings of the study and presents its conclusions through answering its research questions and gives suggestions for future investigation of questions that have emerged from the present study.

Στην παρούσα έρευνα αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε ένα ψυχοεκπαιδευτικό πρόγραμμα για παιδιά δημοτικού. Ο στόχος ήταν η κατανόηση από μέρους των παιδιών των αλλαγών που έχουν συντελεστεί στο κοινωνικό και οικογενειακό περιβάλλον, λόγω της οικονομικής κρίσης και η ενδυνάμωσή τους για σωστή διαχείριση των παραπάνω αλλαγών. Σχεδιάστηκε και υλοποιήθηκε ένα ψυχοεκπαιδευτικό πρόγραμμα έξι συναντήσεων βασισμένο στις αρχές της Θετικής ψυχολογίας και της Γνωσιακής – Συμπεριφοριστικής ψυχολογίας. Οι συμμετέχοντες διδάχτηκαν στρατηγικές και δεξιότητες διαχείρισης της οικονομικής κρίσης. Από τη στατιστική ανάλυση των ποιοτικών και ποσοτικών στοιχείων των ερωτηματολογίων που συμπληρώθηκαν από τους συμμετέχοντες στο ψυχοεκπαιδευτικό πρόγραμμα εξήχθησαν τα παρακάτω συμπεράσματα: Οι περισσότεροι από τους συμμετέχοντες έμαθαν τις έννοιες των βασικών όρων της οικονομικής κρίσης. Εξέφρασαν τα συναισθήματά τους και αντιλήφθηκαν τις σωματικές αντιδράσεις που τα συνοδεύουν. Επίσης, φάνηκε μια τάση ανάπτυξης των τριών αξόνων της Θετικής ψυχολογίας δηλαδή, της ικανοποίησης από τη ζωή, της ευτυχίας και της αισιοδοξίας τους. Τέλος, έδειξαν κατανόηση των στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων. / In this survey was developed and implemented a psycho educational program for primary school children. The goal was the understanding, from the children, of changes that have occurred in the social and family environment due to the economic crisis and their empowerment for proper management of these changes. A six meetings psycho educational program has been designed and implemented based on the principles of positive psychology and cognitive-behavioral psychology. Participants were taught strategies and economic crisis management skills. From the statistical analysis of qualitative and quantitative data of the questionnaires that were completed by the participants, the following conclusions were reached: Most of the participants learned the concepts of key terms of the economic crisis. They expressed their feelings and perceived physical reactions that accompany them. Moreover a development trend of the three pillars of positive psychology was demonstrated, that is, life satisfaction, happiness and optimism. Finally, they showed understanding of problem solving strategies.

Σκοπός της παρούσης έρευνας είναι η μελέτη της συνεισφοράς που μπορεί να έχει η διδασκαλία μέσω επίλυσης προβλήματος στην κατανόηση των ανισώσεων και στην ανάπτυξη της ικανότητας μοντελοποίησης από μαθητές της Β΄ Γυμνασίου. Σχεδιάστηκε ένα οιονεί πείραμα που αφορούσε τη διαφοροποιημένη διδασκαλία του κεφαλαίου των ανισώσεων σε δύο τμήματα 17 μαθητών (πειραματική ομάδα και ομάδα ελέγχου). Αξιολογήθηκαν η κατάκτηση του γνωστικού αντικειμένου και η ικανότητα μοντελοποίησης-επίλυσης μιας κατάστασης-προβλήματος μέσω γραπτής δοκιμασίας, ενώ διενεργήθηκαν και συνεντεύξεις. Παράλληλα σκοπός μας ήταν η διερεύνηση της ικανότητας μοντελοποίησης-επίλυσης μιας κατάστασης-προβλήματος ενός ευρύτερου δείγματος μαθητών Β΄ Γυμνασίου, σχολείων αγροτικής, ημιαστικής και αστικής περιοχής. Πραγματοποιήθηκε επισκόπηση σε ένα δείγμα 39, 48 και 53 μαθητών αντίστοιχα, οι οποίοι κλήθηκαν να αντιμετωπίσουν γραπτώς μια κατάσταση-πρόβλημα, ενώ επίσης διενεργήθηκαν συνεντεύξεις. Από την ποσοτική και ποιοτική ανάλυση των αποτελεσμάτων προκύπτει ότι οι μαθητές μεσαίας επίδοσης είναι αυτοί που κυρίως επωφελήθηκαν από την διδασκαλία μέσω επίλυσης προβλήματος. Επιβεβαιώθηκε η διάκριση τεσσάρων επιπέδων ανάπτυξης στην ικανότητα δόμησης και χρήσης μαθηματικών μοντέλων από μέρους των μαθητών, ενώ κατέστησαν εμφανείς οι μεγάλες δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι τελευταίοι στην ανωτέρω διαδικασία. / The purpose of this research is to study the contribution of teaching through problem solving, in understanding inequalities and in the development of modeling capacity by students of the 2nd high school. A quasi-experiment was designed on differentiated instruction of inequalities in two classes of 17 students (experimental and control group). The achievement of the knowledge object and the ability to resolve a problem situation through mathematical modeling, were assessed by means of a written test and interviews. At the same time, our aim was to investigate the modeling capacity of a larger sample of 2nd high school students, of rural, suburban and urban schools. A survey was carried out in a sample of 39, 48 and 53 students respectively, who were invited to address a problem situation in writing, while interviews were also conducted. The quantitative and qualitative analysis of the results shows that medium performance students were the ones who largely benefited from the “teaching through problem solving” approach. The identification of four levels in the development of constructing and using mathematical models was confirmed, while became apparent major problems faced by the students in the above process.