縮基法(RBM) 是對參數化的曲線求逼近解的一個方法，基本上乃使用投影法將解曲線投射到解空間的一子空間中，如此一來，可將原問題轉換成一較小的系統，並經由數值計算出小系統的解，來求得大系統的一逼近解。在本篇論文中主要的乃探討RBM在常微分方程組初始值問題上的應用，並發展一套含有誤差控制的演算法。 本篇論文中所採用的ODE Solver 乃由Gordon 和Shampine 基於Adams PECE方法所發展的。在求解的過程中，對於計算解誤差的控制我們除了利用ODE Solver 的誤差估計，另外我們又發展對縮基解(reduced basis solution) 的後(Aposteriori) 誤差估計，以確保數值計算解的準確性。我們所考慮使用的子空間有三種Taylor, Lagrange , Hermite 。同時為了要增加數值的特定性及簡化小系統的求解工作，我們先行將子空間的基底直交化。因此，除了誤差的控制外，我們也討論了roundoff error 對向量直交化及形成小系統時所造成的影響，並設立誤差標準以判別何時誤差過大到嚴重影響縮基解的準確度。 本篇論文的目的是希望利用RBM發展出一套解常微分方程組初始值問題的求算法，以期計算解能在較短的時間內準確的被計算出來。 / The reduced basis method(RBM) is a scheme for approximating parametric solution curves. The basic technique of RBM is projection. By applying the method, we can find an approximate solution of the original system which satisfies a system of smaller size. In this paper, we mainly concern the applications of RBM for ODE initial value problems and develop an algorithm which contains a set of error controls. The ODE solver used in this paper is developed by Gordon and Shampine based on Adams PECE formulas. To assure the accuracy of the reduced basis approximation, we set up an appropriate automatic error control in calling GS solver and develop an a posteriori error estimate to keep the reduction error under control. The subspaces considered are Taylor, Lagrange and Hermite subspaces.In the meantime, in order to improve the numerical stability and simplify the computation of the reduced basis solution, we orthogonalize the generators of reduced subspaces. We also discuss the roundoff errors in the orthogonalization process and build up a criterion for identifying the case the accuracy of the reduced basis solution up a criterion for identifying the case the accuracy of the reduced basis solution is destroyed by the errors. The aim of this paper is to develop an algorithm to solve the ODE initial value problems efficiently.

縮減資料維度一直是多變量資料分析的主要技術, 運用投影追蹤法(Projection Purs -uit) 將高維度多變量資料投影至低維度空間, 亦是一種縮減維度的方法, 將更有助 於了解資料結構特性。 投影追蹤法最重要的部份是投影指數(Projection Index)的定義, 投影指數指出了使 用者的興趣與意圖, 并針對不同問題定義不同的投影指數, 也因此許多多變量分析技 術亦可視為投影追蹤法的特例, 例如: 將投影指數定義為投影后資料的變異數, 則推 導出主成分分析; 定義為一分類規則的錯誤率, 則可推導出線性判別分析……等等。 在探測性資料分析方面, 亦可定義出適當的投影指數以戡察資料的叢聚及非線性結構 等特性。定義投影指數之后, 則必須選取適當的數值分析方法(Numerical Method), 并輔以電腦功能來施行。除了縮減資料維度外, 投影追蹤法亦已於無毋數回歸分析(N -onparametric Regression Analysis)及密度估計(Density Estimation)的應用上大 有斬獲。 到目前為止, 投影追蹤法在多變量資料分析上, 仍為一新發展的技術, 在國內尚未見 有關此一研究範疇的報告及著作, 本文將就投影追蹤法這項新技術的起源、發展、沿 革、理論與應用做一廣泛而密集的探討。

線性規劃的求解方法依幾何觀點可區分為單體法(Simplex Method)和起源於Karmarkar的內點法(Interior Point Method)，無論在理論上或應用上這兩者的許多變體仍然不斷地在改進中。Dantzig的單體法和它變體的演算法是從邊上角點走到另一角點直至到達最佳點，內點法則是透過這個可行地區的內部的可行點走到可行點的方法。眾所週知，當遭遇最壞案例時單體法求解速度的函數表示成指數形式；而內點法卻成多項式形式。就一般案例而言，實驗證據提議，當問題大小為小型時，以單體法求解速度較佳。而內點法僅僅在很大規模的線性規劃時，其解法優於以單體法為基礎的方法。 儘管內點法求解速度較單體法為快，但大多數運用內點法求得最佳解的原理，都使用一個可行解區域內部的點作為起點(或稱為中心)，然而就原始線性規劃問題而言，求得一可行解其複雜度和求得最佳解的複雜度是相同的。倘若能以單體法製造起始點的方法，搭配內點法的優點，產生一不同於過去單體法和內點法之新演算法，能降低求解速度，則是吸引人的課題。是故作者希望能以線性規劃問題的搜尋方向為主題加以整理，探討如何結合單體法及內點法的特性，深入研究搜尋方向在邊界上可能會發生的問題，並以一演算法為例，設計程式，作數據實驗，實際觀察問題發生的原因及提供解決的方法。

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(人間・環境学) / 甲第23965号 / 人博第1017号 / 新制||人||240(附属図書館) / 2022||人博||1017(吉田南総合図書館) / 京都大学大学院人間・環境学研究科共生人間学専攻 / (主査)教授 船曳 康子, 教授 大倉 得史, 准教授 松本 卓也, 教授 深尾 憲二朗 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Human and Environmental Studies / Kyoto University / DGAM

這次的金融海嘯重擊結構型商品市場，結構型商品市場目前正處於過度時期，商品設計勢必朝向簡單化及透明化，故本文選擇市場上常見的利率及股權商品，期望從投資人角度出發，讓投資人對於商品有更進一步的了解。在利率商品中，本文挑選累計區間贖回連動債，該債券連結標的為十年期交換利率，其計息方式為觀察每天交換利率是否落入區間，故本文採用在即期測度下之BGM模型來模擬每天之遠期利率。波動度結構之估計是採用參數化波動度函數來模擬市場上波動度之駝峰現象；相關係數矩陣之校準則是採用遞迴投影。在股權商品中，本文選擇元大證券所發行之一年期機不可失商品，該商品為連結台灣電子產業中之四檔股票，其報酬型態對投資人來說看似優渥，然而在模擬過程中發現其實不然，讓本文了解到如果不對商品有深入之探討，往往也遭受到表面之矇騙。

本論文先就一般不完全集區設計模型加以分析，分析的方法有兩種，一是集內分析, 另一是集間分析，以探討「處理」間是否有顯著差異，若有顯著差異，其差異有多少 ，並求其信賴區間。然後再就兩種特殊設計，推導出計算公式，此兩種設計，一是平 衡設計，另一是偏平衡設計。最後研究如何建立這兩種設計，建立平衡設計之方法有 四：（一）有限投影幾何方法，（二）有限歐幾里得幾何方法，（三）對稱重複差數 法，（四）垂直系列。建立偏平衡設計之方法亦有四：（一）基本設計，（二）分群 設計，（三）三角設計，（四）拉丁方格設計。 總而言之，本論文探討如何分析，如何設計。

自動化三維建模需要準確的三維點座標，而三維點的位置則依賴高精度的對應點，因此對應點的尋找一直是此領域的研究議題，而使用稀疏光束調整法(SBA：Sparse Bundle Adjustment)來優化相機參數也是常用的作法，然而若三維點當中有少數幾個誤差較大的點，則稀疏光束調整法會受到很大的影響。我們採用多視角影像做依據，找出對應點座標及幾何關係，在改善對應點位置的步驟中，我們藉由位移三維點法向量來取得各種不同位置的三維補綴面(3D patch)，並根據投影到影像上之補綴面的正規化相關匹配法(NCC：Normalized Cross Correlation)來改善對應點位置。利用這些改善過的點資訊，我們使用稀疏光束調整法來針對相機校正做進一步的優化，為了避免誤差較大的三維點影響到稀疏光束調整法的結果，我們使用穩健的計算方法來過濾這些三維點，藉由此方法來減少再投影誤差(reprojection error)，最後產生較精準的相機參數，使用此參數我們可以自動化建出外型架構較接近真實物體的模型。 / Automated 3D modeling of the need for accurate 3D points, and location of the 3D points depends on the accuracy of corresponding points, so the search for corresponding points in this area has been a research topic, and the use of SBA(Sparse Bundle Adjustment) to optimize the camera parameters is also a common practice, however, if there are a few more error 3D points, the SBA will be greatly affected. In this paper, we establish the corresponding points and their geometry relationship from multi-view images. And the 3D patches are used to refine point positions. We translate the normal to get many patches, and project them into visible images. The NCC(Normalized Cross Correlation) values between patches in reference image and patches in visible image are used to estimate the best correspondence points. And they are used to get better camera parameters by SBA(sparse bundle adjustment). Furthermore, it is because that it usually exist outliers in the data observed, and they will influence the results by using SBA. So, we use our robust estimation method to resist the outliers. In our experiment, SBA is used to filter some outliers to reduce the reprojection error. After getting more precise camera parameters, we use them to reconstruct the 3D model more realistic.

電腦視覺三維建模的精確度，仰賴影像中對應點的準確性。以前的研究大多採取兩張影像，透過極線轉換(epipolar transfer)取得影像間基礎矩陣(fundamental matrix)的關係，然後進行比對或過濾不良的對應點以求取精確的對應點。然極線轉換存在退化的問題，如何避免此退化問題以及降低兩張影像之間轉換錯誤的累積，成為求取精確三維建模中極待解決的課題。 本論文中，我們提出一套機制，透過三焦張量(trifocal tensor)的觀念來過濾影像間不良的對應點，提高整體對應點的準確度，從而能計算較精確的投影矩陣進行三維建模。我們由多視角影像出發，先透過Bundler求取對應點，然後採用三焦張量過濾Bundler產生的對應點，並輔以最小中值平方法(LMedS)提升選點之準確率，再透過權重以及重複過濾等機制來調節並過濾對應點，從而取得精確度較高的對應點組合，最後求取投影矩陣進行電腦視覺中的各項應用。 實作中，我們測詴了三組資料，包含一組以3ds Max自行建置的資料與兩組網路中取得的資料。我們先從三張影像驗證三焦張量的幾何特性與其過濾對應點的可行性，再將此方法延伸至多張影像，同樣也能證實透過三焦張量確實能提升對應點的準確度，甚至可以過濾出輸入資料中較不符合彼此間幾何性的影像。 / The accuracy of 3D model constructions in computer vision depends on the accuracy of the corresponding points extracted from the images. Previous studies in this area mostly use two images and compute the fundamental matrix through the use of the epipolar geometry and then proceed for corresponding point matching and filtering out the outliers in order to get accurate corresponding points. However, the epipoler transform suffers from the degenerate problems and, also, the accumulated conversion errors during the corresponding matches both will degrade the model accuracy. Solving these problems become crucial in reconstructing accurate 3D models from multiple images. In this thesis, we proposed a mechanism to obtain accurate corresponding points for 3D model reconstruction from multiple images. The concept of trifocal tensor is used to remove the outliers in order to improve the overall accuracy of the corresponding points. We first use Bundler to search the corresponding points in the feature points extracted from multiple view images. Then we use trifocal tensor to determine and remove the outliers in the corresponding points generated by Bundler. LMedS is used in these processes to improve the accuracy of the selected points. One can also improve the accuracy of the corresponding points through the use of weighting function as well as repeated filtering mechanism. With these high precision corresponding points, we can compute more accurate fundamental matrix in order to reconstruct the 3D models and other applications in computer vision. We have tested three sets of data, one of that is self-constructed data using the 3ds Max and the other two are downloaded from the internet. We started by demonstrating the geometric properties of trifocal tensor associated with three images and showed that it can be used to filter out the bad corresponding points. Then, we successfully extended this mechanism to more images and successfully improved the accuracy of the corresponding points among these images.