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行列設計中存在有空點的情形時，欲做全域最適行列設計的配置將會變得複雜許多，所以在本文中我們證實出將全域最適行列設計做橫向或縱向複製後，所得之設計不論其試驗處理在行或列出現之次數為"平衡"或"不平衡"，均依舊為全域最適行列設計。此外，將若干個試驗處理個數相同之全域最適行列設計做橫向或縱向地合併，所形成的新設計亦為全域最適行列設計，因此許多不同空點型式的行列設計之最適性便可證實。最後，根據實例說明若一行列設計橫向複製為全域最適行列設計，但縱向複製則不為時，在何種情況下，採直接縱向複製所得之行列設計，仍能相近於全域最適行列設計。

在許多實際情錶里, 例如工業、農業及生物實驗等, 想要在控制一個處理情況下, 同 時比較好幾個試驗處理, 比方說有p 個試驗處理。( 這也是所謂的在控制下, 多重比 較問題。 ) 已從事的研究包括二方向異質性的行列設計(row-column design) 及一個方向上差異 的集區設計(block design)。此篇論文為考慮在集區設計內置行與列(block designs with nested rows and columns)的模型下求得同時以p 組試驗組與一組對照組比較 之A 式最佳設計。所謂A 式最佳設計, 就是在所有設計里, 找出tr(M (d))為最小的 , 因tr(M (d))與 var( )成比例, 所以A 式最佳設計。所謂A 式最佳設 計在統計上之直覺解釋為使α - α 之最佳線性不偏估計式 之變方和為最小 的設計。 A 式最佳設計當p=7,...,25, 集區數b=1,...,50時之表錄詳列於后, 某些特殊形式的 設計亦將在例題中列舉。 本篇論文之目錄如下: 一、摘要 二、文獻回顧 三、引介 四、符號注釋及A 式最佳內置行與列集區設計之條件 五、求最佳內置行與列集區設計之方法 六、特例探討 七、最佳A 式內置行與列集區設計表 八、參考文獻

本文主要討論組可分處理集區設計當同一集區內漏失ｔ個對照處理時之連接穩健性，以及當漏失整個集區時之連接穩健性並且（１）令屬於同組別之試驗處理於同集區內一起出現之次數於零的條件下，分別將組可分處裡集區設計當同一集區內漏失ｔ個對照處理以及當漏失整個集區時之效率值確實解出。（２）令屬於不同組別之試驗處理於同集區內一起出現之次數為零的條件下，分別將組可分處裡集區設計當同一集區內漏失ｔ個對照處理以及當漏失整個集區時之效率值確實解出。

本研究旨在建立廣義線性模式下之D-與A-最適設計(optimal designs)，並依不同處理結構(treatment structure)分成完全隨機設計(completely randomized design, CRD)與隨機集區設計(randomized block design, RBD)兩部分探討。 根據完全隨機設計所推導出之行列式的性質與理論結果，我們首先提出一個能快速大幅限縮尋找D-最適正合(exact)設計範圍的演算法。解析解的部分，則從將v個處理的變異數分為兩類出發，建立其D-最適近似(approximate)設計，並由此發現 (1) 各水準對應之樣本最適配置的上下界並非與水準間不同變異有關，而是與有多少處理之變異相同有關；(2) 即使是變異很大的處理，也必須分配觀察值，始能極大化行列式值。此意味著當v較大時，均分應不失為一有效率(efficient)的設計。至於正合設計，我們僅能得出某一處理特別大或特別小時的D-最適設計，並舉例說明求不出一般解的原因。 除此之外，我們亦求出當三個處理的變異數皆不同時之D-最適近似設計，以及v個處理皆不同時之A-最適近似設計。 至於最適隨機集區設計的建立，我們的重點放在v=2及v=3的情形，並假設集區樣本數(block size)為給定。當v=2時，各集區對應之行列式值不受其他集區的影響，故僅需依照完全隨機設計之所得，將各集區之行列式值分別最佳化，即可得出D-與A-最適設計。值得一提的是，若進一步假設各集區中兩處理變異的比例(>1)皆相同，且集區大小皆相同，則將各處理的「近似設計下最適總和」取最接近的整數，再均分給各集區，其結果未必為最適設計。當v=3時，即使只有2個集區，行列式也十分複雜，我們目前僅能證明當集區內各處理的變異相同時(不同集區之處理變異可不同)，均分給定之集區樣本數為D-最適設計。當集區內各處理的變異不全相同時，我們僅能先以2個集區為例，類比完全隨機設計的性質，舉例猜想當兩集區中處理之變異大小順序相同時，各處理最適樣本配置的多寡亦與變異大小呈反比。由於本研究對處理與集區兩者之效應假設為可加，因此可合理假設集區中處理之變異大小順序相同。 / The problem of finding D- and A-optimal designs for the zero- and one-way elimination of heterogeneity under generalized linear models is considered. Since GLM designs rely on the values of parameters to be estimated, our strategy is to employ the locally optimal designs. For the zero-way elimination model, a theorem-based algorithm is proposed to search for the D-optimal exact designs. A formula for the construction of D-optimal approximate design when values of unknown parameters are split into two, with respective sizes m and v-m, are derived. Analytic solutions provided to the exact counterpart, however, are restricted to the cases when m=1 and m=v-1. An example is given to explain the problem involved. On the other hand, the upper bound and lower bound of the optimal number of replicates per treatment are proved dependent on m, rather than the unknown parameters. These bounds imply that designs having as equal number of replications for each treatment as possible are efficient in D-optimality. In addition, a D-optimal approximate design when values of unknown parameters are divided into three groups is also obtained. A closed-form expression for an A-optimal approximate design for comparing arbitrary v treatments is given. For the one-way elimination model, our focus is on studying the D-optimal designs for v=2 and v=3 with each block size given. The D- and A-optimality for v=2 can be achieved by assigning units proportional to square root of the ratio of two variances, which is larger than 1, to the treatment with smaller variance in each block separately. For v=3, the structure of determinant is much more complicated even for two blocks, and we can only show that, when treatment variances are the same within a block, design having equal number of replicates as possible in each block is a D-optimal block design. Some numerical evidences conjecture that a design satisfying the condition that the number of replicates are inversely proportional to the treatment variances per block is better in terms of D-optimality, as long as the ordering of treatment variances are the same across blocks, which is reasonable for an additive model as we assume.

本論文先就一般不完全集區設計模型加以分析，分析的方法有兩種，一是集內分析, 另一是集間分析，以探討「處理」間是否有顯著差異，若有顯著差異，其差異有多少 ，並求其信賴區間。然後再就兩種特殊設計，推導出計算公式，此兩種設計，一是平 衡設計，另一是偏平衡設計。最後研究如何建立這兩種設計，建立平衡設計之方法有 四：（一）有限投影幾何方法，（二）有限歐幾里得幾何方法，（三）對稱重複差數 法，（四）垂直系列。建立偏平衡設計之方法亦有四：（一）基本設計，（二）分群 設計，（三）三角設計，（四）拉丁方格設計。 總而言之，本論文探討如何分析，如何設計。

在工業、農業、或醫藥界的實驗中，經常必須拿數個不同的試驗處理 (test treatments)和一個已使用過的對照處理(control treatment)比較 。所謂的試驗處理可能是數組新的儀器、不同配方的新藥、或不同成份的 肥料等。以實驗新藥為例，研藥者想決定是否能以新藥取代原來所使用的 藥，故對v種新藥與原藥做比較，評估其藥效之差異。為了降低實驗中不 必要的誤差以增加其準確性，集區設計成為實驗者常用的設計方法之一； 又因A式最適設計是我們欲估計的對照處理效果(effect)與試驗處理效果 之差異之估計值最小的設計，基於此良好的統計特性，我們選擇A式最適 性為評判根據。古典的A式最適性並未將對照處理與試驗處理所具備的先 前資訊(prior information)加以考慮，以上例而言，我們不可能對原來 使用的藥一無所知，經由過去的實驗或臨床的反應，研藥者必已對其藥性 有某種程度的了解，直觀上，這種過去經驗的累積，影響到實驗配置上， 可能使對照處理的實驗次數減少，相對地可對試驗處理多做實驗，設計遂 更具意義。因而本文考慮在k>v的情形下之貝式最適集區設計，對先前分 配施以某種限制，依據準確設計理論(exact design theory)，推導單項 異種消除模型(one- way elimination of heterogeneity model)之下的 貝氏A式最適設計與Γ- minimax最適設計，使Majumdar(1992)的結果能適 用於完全集區設計。此種設計對先前分配具有強韌性，即當先前分配有所 偏誤，且其誤差在某一範圍內時，此設計仍為最適設計或仍可維持所謂的 高效度(high efficiency)。本文將列舉許多實例以說明此一特性。 We consider the problem of comparing a set of v test treatments simultaneously with a control treatment when k>v. Following the work of Majumdar(1992), we use exact design theory to derive Bayes A-optimal designs and optimal Γ-minimax designs for the one-way elimination of heterogeneity model. These designs have the same properties as of Bayes A-optimal incomplete block designs. We also provide several examples of robust optimal designs and highly efficient designs.