In mathematical population genetics a multiple merger <i>n</i>-coalescent process, or <i>Λ</i> <i>n</i>-coalescent process, {<i>Πⁿ(t) t</i> ≥ 0} models the genealogical tree of a sample of size <i>n</i> (e.g. of DNA sequences) drawn from a large population of haploid individuals. We study various properties of <i>Λ</i> coalescents. Novel in our approach is that we introduce the partition lattice as well as cumulants into the study of functionals of coalescent processes. We illustrate the success of this approach on several examples. Cumulants allow us to reveal the relation between the tree height, <i>T_n</i>, respectively the total branch length, <i>L_n</i>, of the genealogical tree of Kingman’s <i>n</i>-coalescent, arguably the most celebrated coalescent process, and the Riemann zeta function. Drawing on results from lattice theory, we give a spectral decomposition for the generator of both the Kingman and the Bolthausen-Sznitman <i>n</i>-coalescent, the latter of which emerges as a genealogy in models of populations undergoing selection. Taking mutations into account, let <i>M_j</i> count the number of mutations that are shared by <i>j</i> individuals in the sample. The random vector (<i>M₁</i>,...,<i>M_n-1</i>), known as the site frequency spectrum, can be measured from genetical data and is therefore an important statistic from the point of view of applications. Fu worked out the expected value, the variance and the covariance of the marginals of the site frequency spectrum. Using the partition lattice we derive a formula for the cumulants of arbitrary order of the marginals of the site frequency spectrum. Following another line of research, we provide a law of large numbers for a family of <i>Λ</i> coalescents. To be more specific, we show that the process {<i>#Πⁿ(t), t</i> ≥ 0} recording the number <i>#Πⁿ(t)</i> of individuals in the coalescent at time <i>t</i>, coverges, after a suitable rescaling, towards a deterministic limit as the sample size <i>n</i> grows without bound. In the statistical physics literature this limit is known as a hydrodynamic limit. Up to date the hydrodynamic limit was known for Kingman’s coalescent, but not for other <i>Λ</i> coalescents. We work out the hydrodynamic limit for beta coalescents that come down from infinity, which is an important subclass of the <i>Λ</i> coalescents.

Les travaux présentés dans ce manuscrit traitent de la détermination de classes de systèmes selon leur mode de vieillissement dans l'objectif de prévenir une défaillance et de prendre une décision de maintenance. L’évolution du niveau de dégradation observée sur un système peut être modélisée par un processus stochastique paramétré. Un modèle usuellement utilisé est le processus Gamma. On s’intéresse au cas où tous les systèmes ne vieillissent pas identiquement et le mode de vieillissement est dépendant du contexte d’utilisation des systèmes ou des propriétés des systèmes, appelé ensemble de covariables. Il s’agit alors de regrouper les systèmes vieillissant de façon analogue en tenant compte de la covariable et d’identifier les paramètres du modèle associé à chacune des classes.Dans un premier temps la problématique est explicitée avec notamment la définition des contraintes: incréments d’instants d’observation irréguliers, nombre quelconque d’observations par chemin décrivant une évolution, prise en compte de la covariable. Ensuite des méthodes sont proposées. Elles combinent un critère de vraisemblance dans l’espace des incréments de mesure du niveau de dégradation, et un critère de cohérence dans l’espace de la covariable. Une technique de normalisation est introduite afin de contrôler l’importance de chacun de ces critères. Des études expérimentales sont effectuées pour illustrer l'efficacité des méthodes proposées / The work presented in this thesis deals with the problem of determination of classes of systems according to their aging mode in the aim of preventing a failure and making a decision of maintenance. The evolution of the observed deterioration levels of a system can be modeled by a parameterized stochastic process. A commonly used model is the Gamma process. We are interested in the case where all the systems do not age identically and the aging mode depends on the condition of usage of systems or system properties, called the set of covariates. Then, we aims to group the systems that age similarly by taking into account the covariate and to identify the parameters of the model associated with each class.At first, the problem is presented especially with the definition of constraints: time increments of irregular observations, any number of observations per path which describes an evolution, consideration of the covariate. Then the methods are proposed. They combine a likelihood criterion in the space of the increments of deterioration levels, and a coherence criterion in the space of the covariate. A normalization technique is introduced to control the importance of each of these two criteria. Experimental studies are performed to illustrate the effectiveness of the proposed methods

This thesis consists of four parts. In the first part we recall some background theory that will be used throughout the thesis. In the second part, we studied the absolute continuity of the laws of the solutions of some perturbed stochastic differential equaitons(SDEs) and perturbed reflected SDEs using Malliavin calculus. Because the extra terms in the perturbed SDEs involve the maximum of the solution itself, the Malliavin differentiability of the solutions becomes very delicate. In the third part, we studied the absolute continuity of the laws of the solutions of the parabolic stochastic partial differential equations(SPDEs) with two reflecting walls using Malliavin calculus. Our study is based on Yang and Zhang \cite{YZ1}, in which the existence and uniqueness of the solutions of such SPDEs was established. In the fourth part, we gave the existence and uniqueness of the solutions of the elliptic SPDEs with two reflecting walls and general diffusion coefficients.

Les travaux réalisés dans cette thèse abordent certaines questions relatives à la dynamique des populations dans un environnement aléatoire. L'environnement aléatoire est décrit par un processus Markovien à valeurs dans un espace fini et qui, en appliquant certaines forces sur le choix des taux vitaux, dirigera la dynamique de la population. Lorsque la dynamique est modélisée par un processus de naissance et de mort, on répondra à la question : quand est-ce qu'on a une extinction presque sûre d'une population ? (Bacaër and EdDarraz, 2014). Lorsque la dynamique est déterministe, nous avons démontré un résultat bien connu pour la taille finale d'une épidémie (Ed-Darraz and Khaladi, 2015) Bacaër N, Ed-Darraz A (2014) On linear birth-and-death processes in a random environment. J Math Biol. 69 (1) :73-90 Ed-Darraz A, Khaladi M (2015) On the final epidemic size in random environnement, Math. Biosc 266 : 10-14. / This thesis addresses some issues associated with population dynamics in random environment. Random environment is described by a Markov process with values in a finite space and which, involve certain forces on the choice of vital rates, will lead the population dynamics. When the dynamic is modeled by a birth and death process, we will answer the question : When almost surely extinction settled ? (Bacaër and Ed-Darraz, 2014). In (Ed-Darraz and Khaladi, 2015) we are interested to the final size of an epidemic in random environment. J Math Biol. 69 (1) :73-90 Ed-Darraz A, Khaladi M (2015) On the final epidemic size in random environnement, Math. Biosc 266 : 10-14.

L'objectif de cette thèse est de fournir des bornes d'erreur pour des problèmes aux valeurs propres linéaires et non linéaires issus du calcul de structure électronique, en particulier celui de l'état fondamental avec la théorie de la fonctionnelle de la densité. Ces bornes d'erreur reposent principalement sur des estimations a posteriori. D'abord, nous étudions un phénomène de compensation d'erreur de discrétisation pour un problème linéaire aux valeurs propres, grâce à une analyse a priori de l'erreur sur l'énergie. Ensuite, nous présentons une analyse a posteriori pour le problème du laplacien aux valeurs propres discrétisé par une large classe d'éléments finis. Les bornes d'erreur proposées pour les valeurs propres simples et leurs vecteurs propres associés sont garanties, calculables et efficaces. Nous nous concentrons alors sur des problèmes aux valeurs propres non linéaires. Nous proposons des bornes d'erreur pour l'équation de Gross-Pitaevskii, valables sous des hypothèses vérifiables numériquement, et pouvant être séparées en deux composantes venant respectivement de la discrétisation et de l'algorithme itératif utilisé pour résoudre le problème non linéaire aux valeurs propres. L'équilibrage de ces composantes d'erreur permet d'optimiser les ressources numériques. Enfin, nous présentons une méthode de post-traitement pour le problème de Kohn-Sham discrétisé en ondes planes, améliorant la précision des résultats à un faible coût de calcul. Les solutions post-traitées peuvent être utilisées soit comme solutions plus précises du problème, soit pour calculer une estimation de l'erreur de discrétisation, qui n'est plus garantie, mais néanmoins proche de l'erreur. / The objective of this thesis is to provide error bounds for linear and nonlinear eigenvalue problems arising from electronic structure calculation. We focus on ground-state calculations based on Density Functional Theory, including Kohn-Sham models. Our bounds mostly rely on a posteriori error analysis. More precisely, we start by studying a phenomenon of discretization error cancellation for a simple linear eigenvalue problem, for which analytical solutions are available. The mathematical study is based on an a priori analysis for the energy error. Then, we present an a posteriori analysis for the Laplace eigenvalue problem discretized with finite elements. For simple eigenvalues of the Laplace operator and their corresponding eigenvectors , we provide guaranteed, fully computable and efficient error bounds. Thereafter, we focus on nonlinear eigenvalue problems. First, we provide an a posteriori analysis for the Gross-Pitaevskii equation. The error bounds are valid under assumptions that can be numerically checked, and can be separated in two components coming respectively from the discretization and the iterative algorithm used to solve the nonlinear eigenvalue problem. Balancing these error components allows to optimize the computational resources. Second, we present a post-processing method for the Kohn-Sham problem, which improves the accuracy of planewave computations of ground state orbitals at a low computational cost. The post-processed solutions can be used either as a more precise solution of the problem, or used for computing an estimation of the discretization error. This estimation is not guaranteed, but in practice close to the real error.

Le fil conducteur de cette thèse, composée de trois parties, est la notion de branchement.Le premier chapitre est consacré à l'arbre de Yule et à l'arbre binaire de recherche. Nous obtenons des résultats d'oscillations asymptotiques de l'espérance, de la variance et de la distribution de la hauteur de ces arbres, confirmant ainsi une conjecture de Drmota. Par ailleurs, l'arbre de Yule pouvant être vu comme une marche aléatoire branchante évoluant sur un réseau, nos résultats permettent de mieux comprendre ce genre de processus.Dans le second chapitre, nous étudions le nombre de particules tuées en 0 d'un mouvement brownien branchant avec dérive surcritique conditionné à s'éteindre. Nous ferons enfin apparaître une nouvelle phase de transition pour la queue de distribution de ces variables.L'objet du dernier chapitre est le graphe d'Erdős–Rényi dans le cas critique : $G(n,1/n)$. En introduisant un couplage et un changement d'échelle, nous montrerons que, lorsque $n$ augmente les composantes de ce graphe évoluent asymptotiquement selon un processus de coalescence-fragmentation qui agit sur des graphes réels. La partie coalescence sera de type multiplicatif et les fragmentations se produiront selon un processus ponctuel de Poisson sur ces objets. / This thesis is composed by three chapters and its main theme is branching processes.The first chapter is devoted to the study of the Yule tree and the binary search tree. We obtain oscillation results on the expectation, the variance and the distribution of the height of these trees and confirm a Drmota's conjecture. Moreover, the Yule tree can be seen as a particular instance of lattice branching random walk, our results thus allow a better understanding of these processes.In the second chapter, we study the number of particles killed at 0 for a Brownian motion with supercritical drift conditioned to extinction. We finally highlight a new phase transition in terms of the drift for the tail of the distributions of these variables.The main object of the last chapter is the Erdős–Rényi graph in the critical case: $G(n,1/n)$. By using coupling and scaling, we show that, when $n$ grows, the scaling process is asymptotically a coalescence-fragmentation process which acts on real graphs. The coalescent part is of multiplicative type and the fragmentations happen according a certain Poisson point process.

Le modèle de dimères, également connu sous le nom de modèle de couplage parfait, est un modèle probabiliste introduit à l'origine dans la mécanique statistique. Une configuration de dimères d'un graphe est un sous-ensemble des arêtes tel que chaque sommet est incident à exactement une arête. Un poids est attribué à chaque arête et la probabilité d'une configuration est proportionnelle au produit des poids des arêtes présentes. Dans cette thèse, nous étudions principalement deux modèles qui sont liés au modèle de dimères, et plus particulièrement leur comportements limites. Le premier est le modèle des forêts couvrantes enracinées sur des cycles (CRSF) sur le tore, qui sont en bijection avec les configurations de dimères via la bijection de Temperley. Dans la limite quand la taille du tore tend vers l'infini, la mesure sur les CRSF converge vers une mesure de Gibbs ergodique sur le plan tout entier. Nous étudions la connectivité de l'objet limite, prouvons qu'elle est déterminée par le changement de hauteur moyen de la mesure de Gibbs ergodique et donnons un diagramme de phase. Le second est le modèle de perles, un processus ponctuel sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ qui peut être considéré comme une limite à l'échelle du modèle de dimères sur un réseau hexagonal. Nous formulons et prouvons un principe variationnel similaire à celui du modèle dimère \cite{CKP01}, qui indique qu'à la limite de l'échelle, la fonction de hauteur normalisée d'une configuration de perles converge en probabilité vers une surface $h_0$ qui maximise une certaine fonctionnelle qui s'appelle "entropie". Nous prouvons également que la forme limite $h_0$ est une limite de l'échelle des formes limites de modèles de dimères. Il existe une correspondance entre configurations de perles et (skew) tableaux de Young standard, qui préserve la mesure uniforme sur les deux ensembles. Le principe variationnel du modèle de perles implique une forme limite d'un tableau de Young standard aléatoire. Ce résultat généralise celui de \cite{PR}. Nous dérivons également l'existence d'une courbe arctique d'un processus ponctuel discret qui encode les tableaux standard, defini dans \cite{Rom}. / The dimer model, also known as the perfect matching model, is a probabilistic model originally introduced in statistical mechanics. A dimer configuration of a graph is a subset of the edges such that every vertex is incident to exactly one edge of the subset. A weight is assigned to every edge, and the probability of a configuration is proportional to the product of the weights of the edges present. In this thesis we mainly study two related models and in particular their limiting behavior. The first one is the model of cycle-rooted-spanning-forests (CRSF) on tori, which is in bijection with toroidal dimer configurations via Temperley's bijection. This gives rise to a measure on CRSF. In the limit that the size of torus tends to infinity, the CRSF measure tends to an ergodic Gibbs measure on the whole plane. We study the connectivity property of the limiting object, prove that it is determined by the average height change of the limiting ergodic Gibbs measure and give a phase diagram. The second one is the bead model, a random point field on $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ which can be viewed as a scaling limit of dimer model on a hexagon lattice. We formulate and prove a variational principle similar to that of the dimer model \cite{CKP01}, which states that in the scaling limit, the normalized height function of a uniformly chosen random bead configuration lies in an arbitrarily small neighborhood of a surface $h_0$ that maximizes some functional which we call as entropy. We also prove that the limit shape $h_0$ is a scaling limit of the limit shapes of a properly chosen sequence of dimer models. There is a map form bead configurations to standard tableaux of a (skew) Young diagram, and the map is measure preserving if both sides take uniform measures. The variational principle of the bead model yields the existence of the limit shape of a random standard Young tableau, which generalizes the result of \cite{PR}. We derive also the existence of an arctic curve of a discrete point process that encodes the standard tableaux, raised in \cite{Rom}.

Cette thèse présente des contributions à la littérature des méthodes de Monte Carlo utilisé dans l'analyse des modèles complexes en statistique Bayésienne; l'accent est mis à la fois sur la complexité des modèles et sur les difficultés de calcul.Le premier chapitre élargit Delayed Acceptance, une variante computationellement efficace du Metropolis--Hastings, et agrandit son cadre théorique fournissant une justification adéquate pour la méthode, des limits pour sa variance asymptotique par rapport au Metropolis--Hastings et des idées pour le réglage optimal de sa distribution instrumentale.Nous allons ensuite développer une méthode Bayésienne pour analyser les processus environnementaux non stationnaires, appelées Expansion Dimension, qui considère le processus observé comme une projection depuis une dimension supérieure, où l'hypothèse de stationnarité pourrait etre acceptée. Le dernier chapitre sera finalement consacrée à l'étude des structures de dépendances conditionnelles par une formulation entièrement Bayésienne du modèle de Copule Gaussien graphique. / This thesis presents contributions to the Monte Carlo literature aimed toward the analysis of complex models in Bayesian Statistics; the focus is on both complexity related to complicate models and computational difficulties.We will first expand Delayed Acceptance, a computationally efficient variant ofMetropolis--Hastings, to a multi-step procedure and enlarge its theoretical background, providing proper justification for the method, asymptotic variance bounds relative to its parent MH kernel and optimal tuning for the scale of its proposal.We will then develop a flexible Bayesian method to analyse nonlinear environmentalprocesses, called Dimension Expansion, that essentially consider the observed process as a projection from a higher dimension, where the assumption of stationarity could hold.The last chapter will finally be dedicated to the investigation of conditional (in)dependence structures via a fully Bayesian formulation of the Gaussian Copula graphical model.

Dans la vie actuelle, les données directionnelles sont présentes dans la majorité des domaines, sous plusieurs formes, différents aspects et de grandes tailles/dimensions, d'où le besoin de méthodes d'étude efficaces des problématiques posées dans ce domaine. Pour aborder le problème de la classification automatique, l'approche probabiliste est devenue une approche classique, reposant sur l'idée simple : étant donné que les g classes sont différentes entre elles, on suppose que chacune suit une loi de probabilité connue, dont les paramètres sont en général différents d'une classe à une autre; on parle alors de modèle de mélange de lois de probabilités. Sous cette hypothèse, les données initiales sont considérées comme un échantillon d'une variable aléatoire d-dimensionnelle dont la densité est un mélange de g distributions de probabilités spécifiques à chaque classe. Dans cette thèse nous nous sommes intéressés à la classification automatique de données directionnelles, en utilisant des méthodes de classification les mieux adaptées sous deux approches: géométrique et probabiliste. Dans la première, en explorant et comparant des algorithmes de type kmeans; dans la seconde, en s'attaquant directement à l'estimation des paramètres à partir desquels se déduit une partition à travers la maximisation de la log-vraisemblance, représentée par l'algorithme EM. Pour cette dernière approche, nous avons repris le modèle de mélange de distributions de von Mises-Fisher, nous avons proposé des variantes de l'algorithme EMvMF, soit CEMvMF, le SEMvMF et le SAEMvMF, dans le même contexte, nous avons traité le problème de recherche du nombre de composants et le choix du modèle de mélange, ceci en utilisant quelques critères d'information : Bic, Aic, Aic3, Aic4, Aicc, Aicu, Caic, Clc, Icl-Bic, Ll, Icl, Awe. Nous terminons notre étude par une comparaison du modèle vMF avec un modèle exponentiel plus simple ; à l'origine ce modèle part du principe que l'ensemble des données est distribué sur une hypersphère de rayon ρ prédéfini, supérieur ou égal à un. Nous proposons une amélioration du modèle exponentiel qui sera basé sur une étape estimation du rayon ρ au cours de l'algorithme NEM. Ceci nous a permis dans la plupart de nos applications de trouver de meilleurs résultats; en proposant de nouvelles variantes de l'algorithme NEM qui sont le NEMρ , NCEMρ et le NSEMρ. L'expérimentation des algorithmes proposés dans ce travail a été faite sur une variété de données textuelles, de données génétiques et de données simulées suivant le modèle de von Mises-Fisher (vMF). Ces applications nous ont permis une meilleure compréhension des différentes approches étudiées le long de cette thèse. / In contemporary life directional data are present in most areas, in several forms, aspects and large sizes / dimensions; hence the need for effective methods of studying the existing problems in these fields. To solve the problem of clustering, the probabilistic approach has become a classic approach, based on the simple idea: since the g classes are different from each other, it is assumed that each class follows a distribution of probability, whose parameters are generally different from one class to another. We are concerned here with mixture modelling. Under this assumption, the initial data are considered as a sample of a d-dimensional random variable whose density is a mixture of g distributions of probability where each one is specific to a class. In this thesis we are interested in the clustering of directional data that has been treated using known classification methods which are the most appropriate for this case. In which both approaches the geometric and the probabilistic one have been considered. In the first, some kmeans like algorithms have been explored and considered. In the second, by directly handling the estimation of parameters from which is deduced the partition maximizing the log-likelihood, this approach is represented by the EM algorithm. For the latter approach, model mixtures of distributions of von Mises-Fisher have been used, proposing variants of the EM algorithm: EMvMF, the CEMvMF, the SEMvMF and the SAEMvMF. In the same context, the problem of finding the number of the components in the mixture and the choice of the model, using some information criteria {Bic, Aic, Aic3, Aic4, AICC, AICU, CAIC, Clc, Icl-Bic, LI, Icl, Awe} have been discussed. The study concludes with a comparison of the used vMF model with a simpler exponential model. In the latter, it is assumed that all data are distributed on a hypersphere of a predetermined radius greater than one, instead of a unit hypersphere in the case of the vMF model. An improvement of this method based on the estimation step of the radius in the algorithm NEMρ has been proposed: this allowed us in most of our applications to find the best partitions; we have developed also the NCEMρ and NSEMρ algorithms. The algorithms proposed in this work were performed on a variety of textual data, genetic data and simulated data according to the vMF model; these applications gave us a better understanding of the different studied approaches throughout this thesis.

This thesis proposes a collection of analytical and computational methods for inferring an underlying social structure of a given population, observed only via timestamped occurrences of its members across a range of locations. It shows that such data streams have a modular and temporally-focused structure, neither fully ordered nor completely random, with individuals appearing in "gathering events". By exploiting such structure, the thesis proposes an appropriate mapping of those spatio-temporal data streams to a social network, based on the co-occurrences of agents across gathering events, while capturing the uncertainty over social ties via the use of probability distributions. Given the extracted graphs mentioned above, an approach is proposed for studying their community organisation. The method considers communities as explanatory variables for the observed interactions, producing overlapping partitions and node membership scores to groups. The aforementioned models are motivated by a large ongoing experiment at Wytham woods, Oxford, where a population of Parus major wild birds is tagged with RFID devices and a grid of feeding locations generates thousands of spatio-temporal records each year. The methods proposed are applied on such data set to demonstrate how they can be used to explore wild bird sociality, reveal its internal organisation across a variety of different scales and provide insights into important biological processes relating to mating pair formation.