The development of adaptive finite element procedures for the solution of geometrically and physically nonlinear problems in structural mechanics is very important for the augmentation of the efficiency of FE-codes. In this contribution methods of mesh refinement as well as mesh coarsening are presented for a material model considering finite elasto-plastic deformations. For newly generated elements stresses, strains and internal variables have to be calculated. This implies the determination of the nodal values as well as the Gaussian point values of the new elements based on the transfer of data from the former mesh. Analogously, the coarsening of less important elements necessitates the determination of these values for the newly created father elements.

We present an $hp$-adaptive strategy that is based on estimating the decay of the expansion coefficients when a function is expanded in $L^2$-orthogonal polynomails on a triangle or a tetrahedron. This method is justified by showing that the decay of the coefficients is exponential if and only if the function is analytic. Numerical examples illustrate the performance of this approach, and we compare it with two other $hp$-adaptive strategies.

Aus besonders großen Volumendaten extrahierte Isoflächen besitzen eine kaum beherrschbare Anzahl an Polygonen, weshalb die Extraktion von adaptiven, also bezüglich einer geometrischen Fehlermetrik reduzierten, Isoflächen wünschenswert ist. Ein häufiges Problem gängiger adaptiver Verfahren ist, dass sie Datenstrukturen verwenden, die gerade für große Daten besonders viel Hauptspeicher benötigen und daher nicht direkt anwendbar sind. Nachdem auf die Grundlagen zur Isoflächenextration eingegangen wurde, wird im Rahmen dieser Diplomarbeit ein auf Dual Contouring basierendes Verfahren entworfen, das die adaptive Isoflächenextraktion aus sehr großen Volumendaten auch bei begrenztem Hauptspeicher mit einem zeitlich vertretbaren Aufwand erlaubt. Der verwendete Octree wird dazu nur implizit aufgebaut und temporär nicht benötigte Daten werden unter Nutzung von Out-of-core-Techniken in den Sekundärspeicher ausgelagert. Die verschiedenen Implementierungsansätze werden unter Berücksichtigung maximaler Effizienz verglichen. Die Tauglichkeit des Verfahrens wird an verschiedenen sehr großen Testdatensätzen nachgewiesen. / Isosurfaces that are extracted from massive volume data sets consist of a hardly processable amount of polygons. Hence adaptive isosurfaces should be extracted with respect to a geometric error metric. Popular adaptive methods frequently require an amount of memory that turns them unfeasible for large data sets. After dwelling on the fundamentals of isosurfaces, a dual contouring based method will be developed that allows for the extraction of adaptive isosurfaces from massive volume data sets. The required octree is built implicitly, and temporarily unneeded data is swapped out on a secondary storage using out of core techniques. Various implementation approaches will be discussed and compared concerning maximum efficiency. The suitability of the method will be demonstrated with various massive volume data sets.

In this paper we consider the well-known BPX-preconditioner in conjunction with adaptive FEM. We present an algorithm which enables us to compute the preconditioner with optimal complexity by a total of only O(DoF) additional memory. Furthermore, we show how to combine the BPX-preconditioner with an overlapping Additive-Schwarz-preconditioner to obtain a preconditioner for finite element spaces with arbitrary polynomial degree distributions. Numerical examples illustrate the efficiency of the algorithms.

The main focus of this work lies in the simulation of the deformation of mechanical components which consist of nonlinear elastic, incompressible material and that are subject to large deformations. Starting from a nonlinear formulation one can derive a discrete problem by using linearisation techniques and an adaptive mixed finite element method. This turns out to be a saddle point problem that can be solved via a Bramble-Pasciak conjugate gradient method. With some modifications the simulation can be improved.

Parallel, adaptive Level-of-Detail in VR simulations. Parameters for efficient reuse of already calculated reductions are investigated. Choosen reduction algorithms are evaluated. Parameters for communication within the distributed application are determined. An implementation is introduced. / Paralleles, adaptives Level-of-Detail komplexer Objekten in VR-Simulationen. Die Parameter für eine effiziente Wiederverwendung bereits berechneter Reduktionen werden untersucht. Ausgewählte Reduktionsalgorithmen werden evaluiert. Die Parameter für die Kommunikation in der verteilten Applikation werden ermittelt. Eine Implementation wird vorgestellt.

Zur numerischen Simulation piezoelektrischer Probleme mit linearem Materialgesetz wird die adaptive Finite-Element-Methode genutzt. Bei der Lösung der entstehenden Gleichungssysteme vom Sattelpunktstyp wird auf eine Variante des Bramble-Pasciak-CG zurückgegriffen. Die Einbettung von Projektionstechniken in den Löser erlaubt eine Behandlung von verschiedenen Problembesonderheiten, speziell wird hier auf die Fälle konstanten Potentials auf Teilrändern sowie Kontaktprobleme an wachsenden Rissen eingegangen. Erste numerische Ergebnisse werden an einigen Beispielen demonstriert.:1 Einführung 1.1 Problembeschreibung Piezoelektrizität 1.2 Abgeleitete Größen, Materialgesetz, Gleichungen 1.3 Bilinearformen, schwache Formulierung 2 Implementierung 2.1 Sattelpunktsproblem 2.2 FE-Formulierung 2.3 Löser und Vorkonditionierung 2.4 Adaptivität 3 Besonderheiten von Randbedingungen 3.1 Konstantes Potential auf Teilrändern 3.2 Rissproblem 4 Rissschließen und Kontaktproblem 4.1 Motivation für Risskontaktbetrachtung 4.2 Bezeichnungen 4.3 Kontaktproblem für Verschiebung und Behandlung des Potentials 4.4 FEM-Implementierung des Risskontaktes 4.5 Numerische Beispiele

Formoptimierung bezeichnet die Bestimmung der Geometrischen Gestalt eines Gebietes auf dem eine partielle Differentialgleichung (PDE) wirkt, sodass bestimmte gegebene Zielgrößen, welche von der Lösung der PDE abhängen, Extrema annehmen. Bei der Diskret Adjungierten Methode wird der Gradient einer Zielgröße bezüglich einer beliebigen Anzahl von Formparametern mit Hilfe der Lösung einer adjungierten Gleichung der diskretisierten PDE effizient ermittelt. Dieser Gradient wird dann in Verfahren der numerischen Optimierung verwendet um eine optimale Lösung zu suchen. Da sowohl die Zielgröße als auch der Gradient für die diskretisierte PDE ermittelt werden, sind beide zunächst vom verwendeten Netz abhängig. Bei groben Netzen sind sogar Unstetigkeiten der diskreten Zielfunktion zu erwarten, wenn bei Änderungen der Formparameter sich das Netz unstetig ändert (z.B. Änderung Anzahl Knoten, Umschalten der Konnektivität). Mit zunehmender Feinheit der Netze verschwinden jedoch diese Unstetigkeiten aufgrund der Konvergenz der Diskretisierung. Da im Zuge der Formoptimierung Zielgröße und Gradient für eine Vielzahl von Iterierten der Lösung bestimmt werden müssen, ist man bestrebt die Kosten einer einzelnen Auswertung möglichst gering zu halten, z.B. indem man mit nur moderat feinen oder adaptiv verfeinerten Netzen arbeitet. Aufgabe dieser Diplomarbeit ist es zu untersuchen, ob mit gängigen Methoden adaptiv verfeinerte Netze hinreichende Genauigkeit der Auswertung von Zielgröße und Gradient erlauben und ob eventuell Anpassungen der Optimierungsstrategie an die adaptive Vernetzung notwendig sind. Für die Untersuchungen sind geeignete Modellprobleme aus der Festigkeitslehre zu wählen und zu untersuchen. / Shape optimization describes the determination of the geometric shape of a domain with a partial differential equation (PDE) with the purpose that a specific given performance function is minimized, its values depending on the solution of the PDE. The Discrete Adjoint Method can be used to evaluate the gradient of a performance function with respect to an arbitrary number of shape parameters by solving an adjoint equation of the discretized PDE. This gradient is used in the numerical optimization algorithm to search for the optimal solution. As both function value and gradient are computed for the discretized PDE, they both fundamentally depend on the discretization. In using the coarse meshes, discontinuities in the discretized objective function can be expected if the changes in the shape parameters cause discontinuous changes in the mesh (e.g. change in the number of nodes, switching of connectivity). Due to the convergence of the discretization these discontinuities vanish with increasing fineness of the mesh. In the course of shape optimization, function value and gradient require evaluation for a large number of iterations of the solution, therefore minimizing the costs of a single computation is desirable (e.g. using moderately or adaptively refined meshes). Overall, the task of the diploma thesis is to investigate if adaptively refined meshes with established methods offer sufficient accuracy of the objective value and gradient, and if the optimization strategy requires readjustment to the adaptive mesh design. For the investigation, applicable model problems from the science of the strength of materials will be chosen and studied.

The main focus of this work lies in the simulation of the deformation of mechanical components which consist of nonlinear elastic, incompressible material and that are subject to large deformations. Starting from a nonlinear formulation one can derive a discrete problem by using linearisation techniques and an adaptive mixed finite element method. This turns out to be a saddle point problem that can be solved via a Bramble-Pasciak conjugate gradient method. With some modifications the simulation can be improved.:1. Introduction 2. Basics 3. Mixed variational formulation 4. Solution method 5. Error estimation 6. LBB conditions 7. Improvement suggestions

Adaptive anisotropic refinement of finite element meshes allows to reduce the computational effort required to achieve a specified accuracy of the solution of a PDE problem. We present a new approach to adaptive refinement and demonstrate that this allows to construct algorithms which generate very flexible and efficient anisotropically refined meshes, even improving the convergence order compared to adaptive isotropic refinement if the problem permits.:1 Introduction 2 Extension of FEM ansatz spaces 3 Optimality of the extension 4 Application 1: graded refinement 5 Application 2: anisotropic refinement in 2D 6 Numerical experiments 7 Conclusions and outlook