La réécriture algébrique dans les systèmes d'équations<br />différentielles polynomiales consiste à transformer<br />un système d'équations polynomiales différentielles<br />ordinaires ou aux dérivées partielles en un système<br />équivalent, uniquement par manipulations symboliques,<br />sans essayer ni de résoudre les équations sous forme close ni<br />de les intégrer numériquement. Plusieurs algorithmes dédiés à<br />ce domaine ont été mis au point ces quinze dernières années<br />dans l'équipe « calcul formel » du LIFL, dont « Rosenfeld-Gröbner »,<br />que j'ai inventé en 1994 lors de ma thèse de troisième cycle et qui<br />constitue le coeur du paquetage MAPLE diffalg.<br /><br />Le mémoire résume l'activité de recherche que j'ai menée depuis dix ans, soit<br />directement soit en collaboration : approfondir la théorie sous-jacente de<br />l'élimination en algèbre différentielle, lui chercher des applications et<br />la diffuser auprès des scientifiques non spécialistes.<br /><br />Le lecteur trouvera dans le mémoire des approfondissements théoriques<br />sur la notion de solution d'un système différentiel polynomial<br />(théorème de François Lemaire) et la notion de « chaîne différentielle<br />régulière » (leur équidimensionnalité en particulier).<br />Plusieurs nouveaux algorithmes sont présentés : « PARDI » (un cas particulier<br />de Rosenfeld-Gröbner mieux adapté à plusieurs applications),<br />un algorithme de changement d'ordre inspiré de FGLM fondé sur les<br />différentielles de Kähler, « reg-characteristic » et « regalise » qui<br />évitent le recours aux bases de Gröbner dans la deuxième partie de<br />« Rosenfeld-Gröbner ». Ce dernier est clarifié et optimisé.<br /><br />L'équipe « calcul formel » fait partie de l'Institut de Recherche<br />Interdisciplinaire. Les deux applications présentées relèvent<br />des Sciences du Vivant. Elles sont toutes deux menées en collaboration.<br />Il s'agit d'estimation de paramètres (projet LÉPISME avec Lilianne Denis-Vidal<br />et Ghislaine Joly-Blanchard (UTC)) et de modélisation du cycle cellulaire<br />de l'algue verte « ostreococcus tauri » (François-Yves Bouget (Banyuls),<br />Marc Lefranc (Phlam)).<br /><br />Diffuser l'élimination différentielle exige de produire des composants<br />logiciels simples d'emploi. Le mémoire évoque rapidement le paquetage<br />diffalg de MAPLE (interactif, 1996). Il insiste sur BLAD (bibliothèques<br />en langage C, destinées à préparer le travail des intégrateurs numériques)<br />qui a demandé un investissement de plusieurs années. Diffuser l'élimination<br />différentielle exige de produire aussi des documents pédagogiques. Le mémoire<br />lui-même constitue une tentative en ce sens.

Cette thèse est consacrée à l'étude des modules de quantification par déformation ou DQ-modules. Elle explore dans quelle mesure certains théorèmes de géométrie algébrique s'étendent aux DQ-modules et plus généralement à un cadre non-commutatif. Nous établissons un théorème de type Riemann-Roch pour les algèbres différentielles graduées propres et homologiquement lisses, généralisant ainsi un résultat de Shklyarov. Nous donnons un analogue non-commutatif d'un résultat de Bondal et Van den Bergh affirmant que la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents d'une variété algébrique est engendrée par un générateur compact. Il apparaît que la notion d'objet quasi-cohérent n'est pas adaptée à la théorie des DQ-modules. Nous introduisons donc, en nous appuyant sur la notion de complétude cohomologique de Kashiwara-Schapira, la notion d'objet cohomologiquement complet à gradué quasi-cohérent. Nous montrons que ces objets forment une catégorie triangulée, engendrée par un générateur compact et nous en caractérisons les objets compacts. Nous adaptons au cas des DQ-modules une formule due à Lunts, qui calcule la trace d'un noyau cohérent agissant sur l'homologie de Hochschild d'un DQ-algébroïde. La méthode de Lunts ne semble pas s'appliquer aux DQ-modules. Nous développons donc un formalisme permettant d'obtenir un théorème similaire à celui de Lunts puis nous l'appliquons aux DQ-modules. Enfin, nous nous intéressons, dans le cadre des DQ-modules, aux transformations intégrales pour lesquelles nous donnons des résultats d'adjonction et démontrons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une telle transformation soit une équivalence.

Ce travail étudie l'apport de l'algèbre différentielle à deux problématiques principales de la robotique mobile à roues, la localisation et la navigation. La première problématique consiste à être capable de dire où le robot se situe dans son environnement. Nous supposons ici que nous possédons un certain nombre de points d'intérêt de l'espace dont les coordonnées dans cette espace sont connues. En fonction du nombre de points d'intérêt, il est possible ou non de localiser le robot. Cette notion de localisabilité est définie et étudiée dans le cadre algébrique. Nous montrons que ce cadre d'étude est plus intéressant que le cadre géométrique en ce sens que non seulement il permet l'étude de la localisabilité mais en plus il permet de construire des estimateurs d'états permettant de reconstruire la posture du robot. Cette étude est effectuée dans cinq cas d'études pour quatre des cinq classes de robots mobiles à roues. La deuxième problématique étudiée est celle de la navigation d'une flottille décentralisée de robots dans un environnement complexe. Ce travail présente une architecture pouvant être utilisée dans une large classe de problème et bénéficiant des avantages des approches discrètes et des approches continues. En effet, à haut niveau, un bloc stratégie spécifie l'objectif, les contraintes et leurs paramètres ainsi que la fonction coût utilisée, à bas niveau, une trajectoire est calculée afin de minimiser la fonction coût en respectant l'objectif et les contraintes du problème. Cette minimisation est faite sur un horizon glissant de manière à pouvoir prendre en compte des modifications de l'environnement ou de la mission en cours de navigation

Le but de cette thèse est de rendre effectifs certains théorèmes et d'implanter efficacement certains algorithmes en algèbre différentielle, en vue d'une application à l'automatique non linéaire. Nous présentons trois résultats originaux. Le premier est un algorithme, Rosenfeld-Gröbner, qui décrit les modèles d'un système d'équations et d'inéquations polynomiales en algèbre différentielle ordinaire comme en algèbre différentielle partielle. L'algorithme décide du vide et donc de l'appartenance au radical d'un idéal différentiel de type fini. Notre deuxième résultat est une méthode qui calcule un ensemble caractéristique d'un idéal différentiel premier donné par une famille génératrice. Nous donnons enfin de nouvelles preuves des algorithmes d'élimination de Seidenberg. Les algorithmes que nous décrivons sont effectifs : ils n'utilisent que l'addition, la multiplication, les dérivations et le test d'égalité à zéro dans le corps de base des polynômes.

Ce travail de thèse traite de la problématique d’estimation des défauts et de l’étathybride pour une classe de systèmes linéaires à commutations. L’objectif est de développerune méthode afin de synthétiser un observateur et un estimateur dédiésrespectivement à l’estimation de l’état hybride et des défauts. Après la présentationd’un état de l’art sur les techniques d’estimation, de stabilité et de diagnosticpour les systèmes linéaires à commutations, la thèse est scindée en deux parties.La première partie propose une méthode d’estimation de l’état continu et desdéfauts dans le cas où l’état discret du système est connu. En se basant sur unetransformation de coordonnées qui découple un sous-ensemble de l’état du systèmedes défauts, nous avons synthétisé dans un premier temps un observateur hybridepour estimer l’état continu du système, et dans un second temps, un estimateurpermettant la reconstruction des défauts. L’estimateur de défauts proposé dépendde la dérivée de la sortie du système. Pour cette raison, un différenciateur robusteet exact basé sur des techniques des modes glissants est utilisé. Dans la secondepartie de ce mémoire, l’état discret du système est supposé inconnu. Une approchebasée sur des méthodes algébriques est proposée afin d’estimer les instants decommutation entre les différents sous-systèmes. Par la suite, l’estimation de l’étathybride (état continu et état discret) et des défauts est considérée dans le cas oùl’état discret du système est inconnu. Ce dernier est reconstruit en se basant surles instant de commutation estimé et sur une séquence de commutation connue.L’état continu du système est estimé en se basant sur une méthode de placementde pôles permettant d’améliorer les performances de la phase transitoire. Enfin, enexploitant des résultats trouvés dans la première partie, l’estimation des défautsest considérée en estimant la sortie du système avec un différenciateur algébrique.Ce différenciateur donne des résultats plus intéressants vis-à-vis du bruit par rapportau différenciateur basé sur les techniques des modes glissants utilisé dans lapremière partie. / This work deals with the problem of estimation of fault and hybrid state for a classof switched linear systems. The objective is to develop a method to synthesize anobserver and an estimator dedicated respectively to the estimation of the hybridstate and the faults. After presenting a state of the art for estimation, stabilityand diagnostic techniques for switched linear systems, the report is divided intotwo parts. The first part proposes a method for estimating the continuous stateand the faults in the case where the discrete state of the system is known. Basedon a coordinate transformation which decouples a subset of the state of the systemof faults, we first synthesized a hybrid observer to estimate the continuous stateof the system and, in a second step, an estimator allowing the reconstructionof faults. The proposed fault estimator depends on the derivative of the systemoutput. For this reason, a robust and accurate differentiator based on sliding modetechniques is used. In the second part of this paper, the discrete state of the systemis assumed unknown. An algebraic approach is proposed to estimate the switchingtimes between the different subsystems. Thereafter, the estimation of the hybridstate (continuous and discrete state) and of the faults is considered in the casewhere the discrete state of the system is unknown. The latter is reconstructedfrom the estimated switching times and on a known switching sequence. Thecontinuous state of the system is estimated using a pole placement method allowingimprove the performances of the transient phase. Finally, by exploiting the resultsfound in the first part, the estimation of the faults is considered by estimatingthe output of the system with an algebraic differentiator. This differentiator givesmore interesting results at the noise compared to the differentiator based on thesliding mode techniques used in the first part.

Pour les équations différentielles ordinaires linéaires d'ordre 2 et 3, des algorithmes de résolution exacte avec des temps de calcul réalistes existent, se fondant sur une étude préalable précise des groupes de Galois différentiels potentiels de ces équations. Plusieurs études de l'ordre 4 ont déjà eu lieu mais ne concernaient qu'un aspect particulier de la classification des groupes. Dans cette thèse, on donne les bornes optimales pour le degré du polynôme minimal des dérivées logarithmiques des solutions liouvilliennes de telles équations (travail commun avec D. Boucher et F. Ulmer) puis on présente une stratégie algorithmique de recherche du groupe de Galois différentiel d'une équation en connaissant ses semiinvariants de degré 2 et 4, obtenue après avoir en particulier complété les travaux précédents par les cas imprimitif-monomial de la classification des groupes. On trouve alors plus efficacement des semi-invariants produits de formes linéeaires. Dans le chapitre 4 de cette thèse, on s'intérresse aux chutes d'ordre de la puissance symétrique quatrième d'une équation. Plus précisément, on montre qu'une chute d'ordre de un implique l'existence d'au moins un semi-invariant de degré 4, ce qui permet d'obtenir des informations sur le groupe de l'équation. En cas de chute d'ordre de deux et plus, des conditions de finitude du groupe sont données par un théorème de M.F. Singer. Dans le chapitre 5, on traite deux exemples. Dans le premier, on applique la stratégie algorithmique décrite dans le chapitre 3 en vue de trouver le groupe de Galois diff érentiel d'une équation dont on calcule ensuite les solutions (à l'aide d'une méthode décrite par F. Ulmer). Le second est un exemple de résolution du problème inverse pour le groupe SO(4, C) à l'aide de la méthode décrite par C. Mitschi et M.F. Singer (équation qui n'admet donc pas de solutions liouvilliennes). On trouvera en annexe la liste explicite des semiinvariants de degré 2 et 4 des sous-groupes monomiaux de SL(4, C).

Le travail réalisé dans cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de la commande optimale des systèmes non linéaires à temps discret par des méthodes de type programmation dynamique. Une formulation particulière de l'équation fonctionnelle considérée ici nous a amené à examiner le problème de commandabilité que nous avons encore qualifié de problème d'inversion entrée-états. L'étude comporte deux phases. La première phase consiste à analyser la propriété de commandabilité des systèmes. Plusieurs approches sont considérées: composition de fonction, géométrie différentielle et algèbre différentielle. On propose ensuite une condition nécessaire de commandabilité basée sur l'utilisation du principe du minimum. Finalement, une application directe de cette condition nécessaire de commandabilité est développée pour les systèmes bilinéaires. Une fois la propriété de commandabilité du système vérifiée, la seconde phase consiste à résoudre le problème d'inversion. On propose tout d'abord une technique algébrique conduisant à la détermination d'une séquence de commandes à partir de la matrice de commandabilité. On propose ensuite une approche basée sur une formulation du problème d'inversion en terme d'un problème de commande optimale. On considère également les techniques de linéarisations exactes qu'on aborde selon deux voies. On présente dans la première voie une approche de l'algèbre différentielle. Dans la deuxième voie, on propose une approche de géométrique différentielle dans laquelle on définit une séquence de distributions basée sur l'utilisation de champs vecteurs associés au système, ainsi qu'une sortie virtuelle linéaire. La transformation et le bouclage linéarisant sont calculés à partir de ces distributions. Finalement, ces résultats sur l'accessibilité et la linéarisation exacte sont présentés sur des applications pratiques dans le cadre de la commande optimale par programmation dynamique.

L'implantation actuelle des solveurs d'équations différentielles combine les deux méthodes de classification et de réduction d'ordre. La méthode de classification consiste à tester si l'équation à résoudre figure, modulo un renommage des variables, dans une liste d'équations que l'on sait résoudre. La méthode de réduction d'ordre, basée sur l'analyse des symétries de Lie, est réservée aux équations qui ne font pas partie de cette liste.<br /><br />En pratique, plusieurs difficultés apparaissent. Tout d'abord, le calcul des quadratures ainsi que l'intégration des systèmes d'EDP (même linéaires) n'est pas chose facile. De ce fait, il arrive souvent que le solveur se contente de retourner en sortie des résultats partiels, en particulier lorsque la dimension du (pseudo)groupe de symétries de l'équation à résoudre est petite. Enfonçons le clou : lorsque cette dimension est nulle, les solveurs, tel qu'il sont conçus actuellement, sont incapables d'intégrer ou même de réduire l'ordre de l'équation.<br /><br />Cette thèse s'inscrit donc dans l'effort d'amélioration des solveurs actuels. Nous allons présenter et montrer la faisabilité d'une architecture, totalement nouvelle, pour la conception d'un solveur d'équations différentielles basé sur la méthode d'équivalence de Cartan. Notre solveur utilise les invariants différentiels produits par la méthode de Cartan pour détecter l'existence d'une équation différentielle de la liste de Kamke, équivalente à l'équation que l'on veut résoudre et calculer le changement de variables qui réalise cette équivalence.<br /><br />Ceci dit, le calcul du changement de variables est une question qui peut être délicate. En général, il est solution d'un système d'EDP. Nous montrons que lorsque le pseudo-groupe des transformations autorisées est choisi tel que le pseudo-groupe de symétries de l'équation cible est discret, intuitivement, le changement de variables s'obtient sans intégrer d'équations différentielles uniquement en résolvant des équations algébriques.

Ce travail étudie l'apport de l'algèbre différentielle à deux problématiques principales de la robotique mobile à roues, la localisation et la navigation. La première problématique consiste à être capable de dire où le robot se situe dans son environnement. Nous supposons ici que nous possédons un certain nombre de points d'intérêt de l'espace dont les coordonnées dans cette espace sont connues. En fonction du nombre de points d'intérêt, il est possible ou non de localiser le robot. Cette notion de localisabilité est définie et étudiée dans le cadre algébrique. Nous montrons que ce cadre d'étude est plus intéressant que le cadre géométrique en ce sens que non seulement il permet l'étude de la localisabilité mais en plus il permet de construire des estimateurs d'états permettant de reconstruire la posture du robot. Cette étude est effectuée dans cinq cas d'études pour quatre des cinq classes de robots mobiles à roues. La deuxième problématique étudiée est celle de la navigation d'une flottille décentralisée de robots dans un environnement complexe. Ce travail présente une architecture pouvant être utilisée dans une large classe de problème et bénéficiant des avantages des approches discrètes et des approches continues. En effet, à haut niveau, un bloc stratégie spécifie l'objectif, les contraintes et leurs paramètres ainsi que la fonction coût utilisée, à bas niveau, une trajectoire est calculée afin de minimiser la fonction coût en respectant l'objectif et les contraintes du problème. Cette minimisation est faite sur un horizon glissant de manière à pouvoir prendre en compte des modifications de l'environnement ou de la mission en cours de navigation / This work investigates the contribution of differential algebra to two main issues of wheel mobile robotics, localization and navigation. The first issue is to be able to tell where the robot is in its environment. We assume that we have a number of landmarks in space whose coordinates are known in this area. Depending on the number of landmarks, it is possible or not to localize the robot. This notion of localizability is defined and studied in the algebraic framework. We show that this framework is more interesting than the geometric framework in the sense that it not only allows the study of localizability, but it also allows us to construct estimators states to reconstruct the posture of the robot. This study was conducted in five cases study for four of the five classes of wheeled mobile robots. The second problem studied is that of a robot decentralized swarm navigation in a complex environment. This work presents an architecture that can be used in a wide class of problems and enjoying the benefits of discrete approaches and continuous approaches. Indeed, high-level block strategy specifies the goal, constraints and parameters as well as the cost function, a low-level block is used to compute a trajectory that minimize the cost function in accordance with the objective and the problem constraints. This minimization is done on a sliding window so it is possible to take changes in the environment or mission during navigation into account

Les travaux présentés dans ce mémoire se basent sur les apports de l'algèbre différentielle et les méthodes du calcul symbolique pour résoudre des problèmes d'automatique non linéaire qui ne se prêtent pas à une résolution numérique directe.<br /><br />Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées parfaitement connues.<br /><br />Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique polynomiale en la taille de l'entrée permettant de tester l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent.<br /><br /><br />À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique, nous proposons une généralisation de la notion de platitude différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement paramétrées bijectivement par des fonctions arbitraires.<br /><br />Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles ordinaires par discrétisation ; notre approche consiste à chercher des discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie : l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.