In this thesis we investigate the moduli space M3[2] of curves of genus 3 equipped with a symplectic level 2 structure. In particular, we are interested in the cohomology of this space. We obtain cohomological information by decomposing M3[2] into a disjoint union of two natural subspaces, Q[2] and H3[2], and then making S7- resp. S8-equivariantpoint counts of each of these spaces separately. / Målet med denna uppsats är att undersöka modulirummet M3[2] av kurvor av genus 3 med symplektisk nivå 2 struktur. Mer specifikt vill vi hitta informationom kohomologin av detta rum. För att uppnå detta delar vi först upp M[2] i en disjunkt union av två naturliga delrum, Q[2] och H3[2], och räknar därefter punkterna av dessa rum S7- respektive S8-ekvivariant.

Ekvationslösning är ett matematiskt område som upplevs problematiskt för många elever. För ett godkänt betyg i matematik i både årskurs 9 samt matematik 1 krävs att eleverna kan lösa grundläggande ekvationer. Att många elever upplever området problematisk är således bekymmersamt. Syftet med studien är således att undersöka vad lärare använder för metoder vid undervisning i ekvationslösning.  Föreliggande studie är av kvalitativ struktur. Genomförandet av studien har bestått av intervjuer med lärare samt insamling av elevlösningar med hjälp av ett uppgiftsformulär. Vid analysen av det empiriska materialet användes innehållsanalys som metod för elevlösningar, samt en metod inspirerad från den fenomenografiska analysmetoden vid analysen av intervjuerna. Resultatet visade att lärare använder sig främst av generella ekvationslösningsmetoder vid undervisningen. I de fall då icke generella lösningsmetoder var en del av undervisningen var det i syfte att utgå från elevernas förkunskaper. De missuppfattningar som framkom bekräftade delvis den tidigare forskningen, exempel på missuppfattningar som synliggjordes var problematik gällande minustecknet och likhetstecknets innebörd. Metoder som lärare använder för att förhindra samt arbeta vidare med missuppfattningar grundade sig i tydlighet, förtydligande och struktur i undervisningen. Slutligen togs aspekten om uppföljning med jämna mellanrum upp som en viktig del i arbetet med missuppfattningar.

This thesis aims to provide a classification of low-dimensional Lie algebras. We make emphasis on several structural properties, such as nilpotency, solvability and (semi) simpli- city. The first two properties relate to two fundamental theorems by Lie and Engels which classification results will be presented in a table for ease of access. / <p>I presented my thesis on 1st of October 2021.</p>

No description available.

In this licentiate thesis we present a proof of the initiality conjecture for Martin-Löf’s type theory with 0, 1, N, A+B, ∏AB, ∑AB, IdA(u,v), countable hierarchy of universes (Ui)iєN closed under these type constructors and with type of elements (ELi(a))iєN. We employ the categorical semantics of contextual categories. The proof is based on a formalization in the proof assistant Agda done by Guillaume Brunerie and the author. This work was part of a joint project with Peter LeFanu Lumsdaine and Anders Mörtberg, who are developing a separate formalization of this conjecture with respect to categories with attributes and using the proof assistant Coq over the UniMath library instead. Results from this project are planned to be published in the future. We start by carefully setting up the syntax and rules for the dependent type theory in question followed by an introduction to contextual categories. We then define the partial interpretation of raw syntax into a contextual category and we prove that this interpretation is total on well-formed input. By doing so, we define a functor from the term model, which is built out of the syntax, into any contextual category and we show that any two such functors are equal. This establishes that the term model is initial among contextual categories. At the end we discuss details of the formalization and future directions for research. In particular, we discuss a memory issue that arose in type checking the formalization and how it was resolved. / <p>Licentiate defense over Zoom.</p>

This licentiate thesis consists of one paper about unitary representationtheory of ample groupoids and semigroups together with generalizationsto étale and non-Hausdorff groupoids. In the paper we study algebraically the type I and CCR properties forample Hausdorff groupoids. Clarke and Van Wyk proved that both ofthese properties admit a topological characterization for Hausdorff second countable groupoids in terms of separation properties of their orbitspace and the isotropy groups. Using a Stone type duality between ample groupoids and Boolean inverse semigroups with meets, we exploit thischaracterization to get a purely algebraic statement. We also apply thoseresults to get characterizations of the type I and CCR properties for inverse semigroups using their Boolean inverse completions. The generalization is about characterizing the same properties for both étale and ample non-necessarily Hausdorff groupoids which nonethelesshave Hausdorff unit spaces. In this setup, we first give a direct proofof the topological characterization for the CCR property which doesn't rely on the disintegration theory. The argument cannot be adapted toget an easier proof in the type I case, but we rather explain how to geta proof following the original ideas of Clark and Van Wyk in that case.Finally, we state for both étale and ample groupoids algebraic conditionsequivalent to the CCR and GCR properties on their pseudogroup of openand compact open bisections respectively.

We construct a category of short hammocks and show that it has the weak homotopy type of mapping spaces. In doing so we tackle the problem of applying the nerve to large categories without the use of multiple universes. We also explore what the mapping space is. The main tool in showing the connection between hammocks and mapping spaces will be the use of homotopy groupoids, homotopy groupoid actions and the homotopy fiber of their corresponding bar constructions. / <p>QC 20141208</p>

This thesis looks at characterising countably infinitely categorical theories. That is theories for which every countably infinite model is isomorphic to every other countably infinite model. The thesis looks at the Lindenbaum-Tarski algebra, Henkin theories, types and then ends with the Ryll-Nardzewski theorem which provides several equivalences to a theory being countably infinitely categorical.

In this thesis we look at hom-associative algebras (which turn out to be exactly the G1-hom-associative algebras), by, in two and three dimensions, trying to find the structure constants for which an algebra becomes hom-associative when the homomorphism 𝛼 is defined as different matrix units. These algebras are also hom-Lie admissible (or G6-hom-associative, which turn out to be the same thing) with a commutator, so we also find the commutator for each of these hom-Lie admissible algebras. We end up finding every hom-associative and hom-Lie algebra for 𝛼 defined as each 2×2 matrix unit in two dimensions, each 3×3 matrix unit in three dimensions when the problem is mapped to one dimension, for three 3×3 matrix units in three dimensions when the problem is mapped to two dimensions (but with the commutators not having been calculated), and only a few hom-associative algebras and hom-Lie algebras for one 3×3 matrix unit in the full three dimensions. We also compare the results for the different values of 𝛼, and find that in 𝑛 dimensions it is possible to find the values of the structure constants for all 𝑛2 different 𝛼:s simply by finding all of the solutions for 𝑛 different 𝛼:s (chosen in a specific way) and then permutating all of the indices.

Inom matematikundervisningen är det vanligt att lärare använder skriftliga prov därde väljer ut provuppgifter i syfte att bedöma en elevs matematiska förmågor.Tidigare forskning visar att lärare tenderar till att betona imitativa resonemang iundervisningen, och detta återspeglas också i de prov som de konstruerar. Dessaimitativa resonemang hindrar eleverna från att utveckla samtliga förmågor som dehar rätt till. Det finns däremot inte mycket forskning kring om hur dessaprovuppgifter väljs ut. Syftet med studien är att öka förståelsen för hur lärare väljerut olika provuppgifter och vad lärare anser vara viktigt när de använder skriftligaprov. Denna studie genomfördes i södra Sverige, där lärarna följde Skolverketsutgivna kursplan för matematik på högstadiet som grund för sin undervisning. Sexlärare deltog i undersökningen genom att bidra med skriftliga prov som hanteraralgebra samt genom att delta i semistrukturerade intervjuer. Både proven ochintervjuerna har analyserats tematiskt med, en kvalitativ ansats. Det framgår frånintervjuerna att lärarna använder ett konsekvent och enkelt språk för att underlättaför eleverna. Lärarna trycker även på att svarsalternativ kan användas för attmöjliggöra att fler elever kan besvara uppgiften. Användandet av det konsekventaspråket tyder på att lärarna strävar efter att eleverna ska kunna prestera väl påprovet, vilket gör det lättare att godkänna eleverna. Från proven kan man observeraatt lärarna fortsätter att betona imitativa resonemang genom att flera uppgifterenbart testar metodförmåga, som till exempel Förenkla uttryck eller Lösa enekvation. Studien indikerar att det är viktigt att den verksamma läraren ska varamedveten om att kreativa aspekter kan gå förlorade och imitativa resonemang kanbetonas när delar av ett prov förenklas för att möjliggöra för fler elever ska kunnaprestera bättre på ett prov. Sådana förenklingar kan bidra till att syftet med att läsamatematik ändras från att förstå till att memorera eller imitera.