Ingeniero Civil Matemático / Este trabajo de memoria de título presenta un estudio de la ecuación de perturbación singular de Allen-Cahn con inhomogeneidad: \begin{equation}\ep^2\div\left(a(x)\cdot\nabla_{x}u(x)\right)+a(x)f(u(x))=0,\quad\text{ en }\quad\R^2 \label{AllenCahnEq}\end{equation} donde $\varepsilon>0$ es un parámetro pequeño, $a(x)$ es un potencial uniformemente positivo y suave, que induce una forma de medir distancias para puntos en $\R^2$, y $f$ es la nolinealidad dada por $f(u)=u-u^3$. El estudio aborda la construcción de soluciones enteras de~\eqref{AllenCahnEq}, bajo la condición que $u$ se anule cerca de una curva $\Gamma\subset \R^2$. El enfoque propuesto asume que $\Gamma$ es una curva no acotada, geodésica no-degenerada relativa al funcional de longitud de arco $\int_{\Gamma}a(\vec{x})$, con curvatura $k_{\Gamma}$ suave que decae a una tasa polinomial. Es de interés el estudio de la ecuación de Allen-Cahn con presencia de un término de inhomogeneidad $a(x)\not\equiv 1$, ya que esto conlleva el estudio de curvas geodésicas para una métrica no trivial de $\R^2$. Además, es relevante considerar que el conjunto nodal de $u$ yace cerca de una curva no acotada, pues esto se refleja en el estudio de ecuaciones diferenciales en contextos no compactos. El resultado principal asegura la existencia de una solución de~\eqref{AllenCahnEq}, la cual converge exponencialmente a $\pm 1$ cuando $x$ se aleja de $\Gamma$. Un segundo resultado entrega ejemplos de potenciales $a(x)$ y curvas $\Gamma$, para los cuales es posible construir una solución $u$ con el comportamiento antes descrito. La demostración de este resultado está basada en una técnica conocida como reducción infinito dimensional de Lyapunov-Schmidt, la cual motiva a la elección de un candidato a solución del tipo $u = w + \phi$, donde $w$ en coordenadas adecuadas resuelve $w''+f(w)=0$, y determina el perfil de $u$ a orden principal. Además $\phi$ es una función de corrección, con el fin de convertir a $u$ en solución exacta de~\eqref{AllenCahnEq}, lo que obliga a $\phi$ a resolver una ecuación diferencial no lineal. De ahí en más, el problema consiste en estudiar la existencia y unicidad de la última ecuación en un espacio funcional adecuado. Esto se realizó analizando el operador linealizado asociado a la ecuación de Allen-Cahn, y luego el problema no-lineal que es resuelto mediante un esquema de punto fijo. Para el ultimo análisis, fue necesario ajustar $\Gamma$ en un parámetro de perturbación $h$, lo que equivale a una EDO no lineal en $h$ donde participa la segunda variación del funcional de largo $l_{a,\Gamma}$ asociado a $\int_{\Gamma}a(\vec{x})$. Finalmente, el método utilizado no sólo provee la existencia de una solución $u$ de~\eqref{AllenCahnEq}, sino que además entrega una caracterizacón completa de ésta, tanto en tamaño como en comportamiento cualitativo en coordenadas relacionadas a la curva $\Gamma$.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Este trabajo se concentra principalmente en estudiar el método de reducción de Lyapunov-Schmidt y sus aplicaciones al estudio de existencia de soluciones a problemas semilineales elípticos. En particular, utilizamos exitosamente este método para estudiar la ecuación de Allen-Cahn \Delta u + u(1-u^2)=0, en R^N en diferentes contextos. La geometría de los conjuntos de nivel de soluciones enteras de esta ecuación, presenta una estructura variada y compleja. En particular, esta ecuación esta presente en la famosa conjetura de E. De Giorgi, la cual afirma que si la dimensión del espacio es tal que 2\leq N\leq 8, las soluciones acotadas de esta ecuación que son monótonas en una dirección, tienen por conjuntos nivel a una familia de hiperplanos paralelos entre si, es decir, la solución depende solo de una variable. Gran progreso se ha alcanzado en la demostración de esta conjetura durante las \'ultimas décadas. La monotonía de las soluciones esta relacionada con sus propiedades de estabilidad. En el programa de entender el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación, es interesante estudiar soluciones que tienes índice de Morse finito, de las cuales para nuestro conocimiento, pocos ejemplos se conocen hasta ahora. En la primera parte de esta investigación, utilizamos el método de reducción, en esencia no variacional, para construir una familia de soluciones acotadas axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, con la propiedad de tener múltiples transiciones sobre una dilatación grande de una catenoide. De nuestro desarrollo, se evidencia contundentemente que estas soluciones tienen indice de Morse grande a medida que la catenoide se vuelve más y más dilatada. Motivados por este descubrimiento y utilizando el mismo método, continuamos este trabajo construyendo una nueva familia de soluciones axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, cuyo conjunto nodal consiste en dos componentes conexas que provienen del grafo y su reflexión respecto al eje z, de una solución suave y radialmente simétrica de la ecuación de Liouville en R2. De igual forma, encontramos fuerte evidencia para afirmar que el índice de Morse de esta familia de soluciones es finito. Luego, presentamos el estudio de la ecuación no homogénea de Allen-Cahn en R2, en la cual presentamos otra aplicación del método reducción construyendo, bajo ciertas condiciones geométricas, una familia de soluciones cuyos conjuntos nodales, fuera de una bola grande de R2, tienen dos componentes conexas que son asintóticamente semirrectas no paralelas entre si. Finalmente, y en contraste, consideramos el contexto variacional presentando resultados de existencia de múltiples soluciones para un sistema elíptico de ecuaciones con un acoplamiento simétrico. La aplicación del método de reducción variacional, permite luego aplicar de forma clásica el teorema de paso de montaña simétrico. La importancia del método de reducción, en este caso, radica en que las propiedades de simetría del sistema de ecuaciones, las cuales provienen de la forma del sistema, en lugar de las no linealidades, son heredadas por ecuación reducida.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 600673 bytes, checksum: 5c37453f66b222da0e1fe0d0fc0c2e66 (MD5) Previous issue date: 2014-02-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this present Work We study a model Of phase ñeld rnodeling the evolution of solidiñcation process that Occurs in Certain binary alloys. We obtain existence Of solution and results under the hypotheses of regularity the nonlinearities are Lipschitz and limited. The non-linearity involved in the phase ñeld equation is a potential double-well type. We use throughout the Work the ñxed point theorern Of Leray-Schauder and the Galerkin method. / No presente trabalho estudamos urn modelo de Campo de fase que modela a evolução dos processos de solidiñcação que Ocorre ern Certas ligas binárias. Obte- rnos a existência de solução e resultados de regularidade sob as hipóteses das não linearidades serern Lipschitz e limitadas. A não linearidade envolvida na equação de Campo de fase é urn potencial do tipo poç0-duplo. Utilizamos ao longo do trabalho 0 teorerna do ponto ñXO de Leray-Schauder e 0 rnétodo de Galerkin.

This thesis is devoted to the rigorous study of approximations for (multi-phase) mean curvature flow and related equations. We establish convergence towards weak solutions of the according geometric evolution equations in the BV-setting of finite perimeter sets. Our proofs are of variational nature in the sense that we use the gradient flow structure of (multi-phase) mean curvature flow. We study two classes of schemes, namely phase-field models and thresholding schemes. The starting point of our investigation is the fact that both, the Allen-Cahn Equation and the thresholding scheme, preserve this gradient flow structure. The Allen-Cahn Equation is a gradient flow itself, while the thresholding scheme is a minimizing movements scheme for an energy that Γ-converges to the total interfacial energy. In both cases we can incorporate external forces or a volume-constraint. In the spirit of the work of Luckhaus and Sturzenhecker (Calc. Var. Partial Differential Equations 3(2):253–271, 1995), our results are conditional in the sense that we assume the time-integrated energies to converge to those of the limit. Although this assumption is natural, it is not guaranteed by the a priori estimates at hand.

The phase-field method has become a popular numerical tool for moving boundary problems in recent years. In this method, the interface is intrinsically diffuse and stores a mixing energy that is equivalent to surface tension. The major advantage of this method is its energy formulation which makes it easy to incorporate different physics. Meanwhile, the energy decay property can be used to guide the design of energy stable numerical schemes. In this dissertation, we investigate the application of the Allen-Cahn model, a member of the phase-field family, in the simulation of phase change problems. Because phase change is usually accompanied with latent heat, heat transfer also needs to be considered. Firstly, we go through different theoretical aspects of the Allen-Cahn model for nonconserved interfacial dynamics. We derive the equilibrium interface profile and the connection between surface tension and mixing energy. We also discuss the well-known convex splitting algorithm, which is linear and unconditionally energy stable. Secondly, by modifying the free energy functional, we give the Allen-Cahn model for isothermal phase transformation. In particular, we explain how the Gibbs-Thomson effect and the kinetic effect are recovered. Thirdly, we couple the Allen-Chan and heat transfer equations in a way that the whole system has the energy decay property. We also propose a convex-splitting-based numerical scheme that satisfies a similar discrete energy law. The equations are solved by a finite-element method using the deal.ii library. Finally, we present numerical results on the evolution of a liquid drop in isothermal and non-isothermal settings. The numerical results agree well with theoretical analysis. / Master of Science / Phase change phenomena, such as freezing and melting, are ubiquitous in our everyday life. Mathematically, this is a moving boundary problem where the phase front evolves based on the local temperature. The phase change is usually accompanied with the release or absorption of latent heat, which in turn affects the temperature. In this work, we develop a phase-field model, where the phase front is treated as a diffuse interface, to simulate the liquid-solid transition. This model is consistent with the second law of thermodynamics. Our finite-element simulations successfully capture the solidification and melting processes including the interesting phenomenon of recalescence.

Cette thèse est une étude théorique d’un système d’équations de Cahn-Hilliard/Allen-Cahn couplées qui représente un mélange binaire en séparation de phase. Le but principal de l’étude est le comportement asymptotique des solutions en termes d’attracteurs exponentiels/globaux. Pour cette raison, l’existence et l’unicité de la solution sont étudiées tout d’abord. Une des principales applications de ce modèle d’équations est la cristallographie.Dans la première partie de la thèse, on examine le modèle proposé avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial : on réussit à trouver un attracteur exponentiel et par conséquence un attracteur global de dimension finie. Une non linéarité singulière de type logarithmique est ensuite prise dans la deuxième partie, cette fonction étant approchée par une suite de fonctions régulières et l’existence d’un attracteur global est démontrée sous des conditions au bord de type Dirichlet.Enfin, dans la dernière partie, le système est couplé avec une équation pour la température: suivant la loi de Fourrier premièrement, puis la loi de type III de la thermo-élasticité. Dans les deux cas, la dynamique de l’équation est étudiée et un attracteur exponentiel est trouvé malgré la difficulté créée par l’équation hyperbolique dans le deuxième cas. / This thesis is a theoretical study of a coupled system of equations of Cahn-Hilliard and Allen-Cahn that represents phase separation of binary alloys. The main goal of this study is to investigate the asymptotic behavior of the solution in terms of exponential/global attractors. For this reason, the existence and unicity of the solution are first studied. One of the most important applications of this proposed model of equations is crystallography. In the first part of the thesis, the system is studied with boundary conditions of Dirichlet type and a regular nonlinearity (a polynomial). There, we prove the existence of an exponential attractor that leads to the existence of a global attractor of finite dimension. Then, a singular nonlinearity (a logarithmic potential) is considered in the second part. This function is approximated by a sequence of regular ones and a global attractor is found.At the end, the system of equations is coupled with temperature: with the Fourrier law in the first case, then with the type III law (in the context of thermoelasticity) in the second case. The dynamics of the equations are studied and the existence of an exponential attractor is obtained.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de modèles en séparation de phase qui tiennent compte d'effets d'anisotropie. Ceci est pertinent, par exemple, pour l'évolution de cristaux dans leur matrice liquide pour lesquels ces effets d'anisotropie sont très forts. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne certains modèles de séparation de phase qui, en particulier, décrivent la formation de motifs dendritiques. D'abord, on étudie les équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn qui prennent en compte les effets d'anisotropie forts en dimension un avec des conditions de type Neumann sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial. En particulier, ces modèles contiennent un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore. Ensuite, on étudie ces modèles avec des conditions de type périodique (respectivement, Dirichlet) sur le bord pour l'équation de Cahn-Hilliard (respectivement, d'Allen-Cahn) mais en dimension spatiales plus élevées. Finalement, on étudie la dynamique des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn visqueux avec des conditions de type Neumann et Dirichlet respectivement sur le bord et une non linéarité régulière et en plus, la présence de simulations numériques qui montrent les effets du terme de viscosité sur l'anisotropie et l'isotropie dans l'équation de Cahn-Hilliard. Dans le dernier chapitre, on étudie le comportement en temps long en termes d'attracteurs de dimension finie, d'une classe d'équations doublement non linéaires de type Allen-Cahn avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité singulière. / This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of models in phase separation which take into account the anisotropic effects. This is relevant, for example, for the development of crystals in their liquid matrix for which the effects of anisotropy are very strong. We study the existence, uniqueness and the regularity of the solution of Cahn-Hilliard and Alen-Cahn equations and the asymptotic behavior in terms of the existence of a global attractor with finite fractal dimension. The first part of the thesis concerns some models in phase separation which, in particular, describe the formation of dendritic patterns. We start by study- ing the anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations in one space dimension both associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In particular, these two models contain an additional term called Willmore regularization. Furthermore, we study these two models with Periodic (respectively, Dirichlet) boundary conditions for the Cahn-Hilliard (respectively, Allen-Cahn) equation but in higher space dimensions. Finally, we study the dynamics of the viscous Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions respectively and a regular nonlinearity in the presence of the Willmore regularization term and we also give some numerical simulations which show the effects of the viscosity term on the anisotropic and isotropic Cahn-Hilliard equations. In the last chapter, we study the long time behavior, in terms of finite dimensional attractors, of a class of doubly nonlinear Allen-Cahn equations with Dirichlet boundary conditions and singular potentials.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25. / The aim of this thesis is to study the large time behavior of solutions of nonlocal evolution equations and to also study the singular limit of equations and systems of parabolic partial differential equations involving a small parameter epsilon. In Chapter 1, we consider a nonlocal reaction-diffusion equation with mass conservation, which was originally proposed by Rubinstein and Sternberg as a model for phase separation in a binary mixture. The corresponding Neumann problem possesses a Lyapunov functional, namely a functional which decreases in time along solution orbits. After having proved that the solution is conned in an invariant region, we study its large time behavior and apply a Lojasiewicz inequality to show that it converges to a stationary solution as t tends to infinity. We also evaluate the rate of convergence and precisely compute the limiting stationary solution in one space dimension. Chapter 2 is devoted to the study of a nonlocal evolution equation which one obtains by neglecting the diffusion term in the nonlocal Allen-Cahn equation studied in Chapter 1. Without the diffusion term, the solution can not be expected to be more regular than the initial function. Moreover, because of the absence of the diusion term, the method of Chapter 1 can not be applied to study the large time behavior of the solution. We present a new method based up on rearrangement theory and the study of the solution profile. We show that the solution stabilizes for large times and give a detailed characterization of its asymptotic limit as t tends to infinity. More precisely, it turns out that the limiting function is a step function, which takes at most two values, which are stable points of a corresponding ordinary dierential equation. We also show by means of a nontrivial counterexample that, when a certain hypothesis on the initial function does not hold, the limiting function may take three values. One of them is the unstable point and the two others are the stable points of the ordinary dierential equation. We study in Chapter 3 a nonlocal ordinary dierential equation which has been proposed by M. Nagayama. The nonlocal term involves a denominator which may vanish. We apply a contraction fixed point theorem to prove the existence of a unique solution which stays confined in an invariant region. We also show that the corresponding initial value problem possesses a Lyapunov functional and prove that the solution stabilizes for large times to a step function, which takes at most two values. In Chapter 4, we consider a diffuse-interface tumor-growth model which involves a fourth order Cahn-Hilliard type equation. Introducing a related phase-field model, we formally study the singular limit of the solution as the reaction coecient tends to infinity. More precisely, we show that the solution converges to the solution of a moving boundary problem. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results.