Dans le cadre linéaire, les modèles de Mindlin-Reissner pour les plaques épaisses et de Naghdi pour les coques épaisses sont les plus utilisés. Il est connu que la discrétisation par éléments finis de ces modèles conduit à un phénomène de verrouillage numérique quand l’épaisseur tend vers zéro. Il s’agit du verrouillage en cisaillement dans le cas des plaques et du verrouillage en cisaillement et en membrane dans le cas des coques. Il existe quelques éléments finis qui permettent d’éviter ces difficultés ou du moins de les réduire. L’élément DKMQ pour les plaques et sa version DKMQ24 pour les coques, sont des éléments de bas ordre, basés sur une formulation mixte, qui ont été proposés il y a quelques années afin d’éviter ces phénomènes de verrouillage. Dans cette thèse, on s’est attaché à évaluer numériquement les performances de ces éléments. Outre les cas tests classiques, on s’est focalisé sur l’analyse de la condition inf-sup discrète pour l’élément DKMQ. Nous avons étudié également le test de la s-norme proposé par Bathe, pour l’élément DKMQ24. Enfin, nous avons effectué une analyse d’erreur a posteriori pour les éléments DKMQ et DKMQ24, en utilisant l’estimateur d’erreur Z2 (dû à Zienkiewicz et Zhu), associé aux techniques de recouvrement de la moyenne, de projection ou encore SPR. Les résultats obtenus ont permis de quantifier les performances de ces deux éléments finis pour les problèmes de verrouillage, et d’en dégager les limites. Deux applications importantes de ces éléments DKMQ et DKMQ24 ont été ensuite présentées, la première concerne la simulation des poutres à parois minces à section ouverte et la seconde le calcul des plaques composites. / In the linear case, the Mindlin-Reissner model for thick plates and the Naghdi model for thick shells are commonly used. The finite element discretization of these models leads to numerical locking phenomenon when the thickness approaches zero : shear locking for plates and both shear and membrane locking for shells. There are some finite elements that could reduce or even eliminate this phenomenon. DKMQ element for plates or DKMQ24 element for shells, are low-order elements, based on a mixed formulation, introduced a few years ago to prevent the numerical locking phenomenon. In this thesis, we concentrated on numerical evaluation of the performance of these elements. Besides the classical benchmark tests, we also focused on the analysis of discrete inf-sup condition for DKMQ element. We studied the s-norm test proposed by Bathe for DKMQ24 element. Finally, we performed a posteriori error estimation for DKMQ and DKMQ24 elements, using the error estimator Z2 (proposed by Zienkiewicz and Zhu), associated with the averaging, projection or SPR recovery methods. The results obtained have enabled us to quantify the performance of these two finite elements for locking problems, and to identify their limits. Two important applications of these elements DKMQ and DKMQ24 were then presented ; the first one concerns thin-walled beams with open cross-section and the second one composite plates.

L'objet est de comparer des algorithmes de multiplication de matrices à coefficients intervalles et leurs implémentations.Le premier axe est la mesure de la précision numérique. Les précédentes analyses d'erreur se limitent à établir une borne sur la surestimation du rayon du résultat en négligeant les erreurs dues au calcul en virgule flottante. Après examen des différentes possibilités pour quantifier l'erreur d'approximation entre deux intervalles, l'erreur d'arrondi est intégrée dans l'erreur globale. À partir de jeux de données aléatoires, la dispersion expérimentale de l'erreur globale permet d'éclairer l'importance des différentes erreurs (de méthode et d'arrondi) en fonction de plusieurs facteurs : valeur et homogénéité des précisions relatives des entrées, dimensions des matrices, précision de travail. Cette démarche conduit à un nouvel algorithme moins coûteux et tout aussi précis dans certains cas déterminés.Le deuxième axe est d'exploiter le parallélisme des opérations. Les implémentations précédentes se ramènent à des produits de matrices de nombres flottants. Pour contourner les limitations d'une telle approche sur la validité du résultat et sur la capacité à monter en charge, je propose une implémentation par blocs réalisée avec des threads OpenMP qui exécutent des noyaux de calcul utilisant les instructions vectorielles. L'analyse des temps d'exécution sur une machine de 4 octo-coeurs montre que les coûts de calcul sont du même ordre de grandeur sur des matrices intervalles et numériques de même dimension et que l'implémentation par bloc passe mieux à l'échelle que l'implémentation avec plusieurs appels aux routines BLAS. / This work aims at determining suitable scopes for several algorithms of interval matrices multiplication.First, we quantify the numerical quality. Former error analyses of interval matrix products establish bounds on the radius overestimation by neglecting the roundoff error. We discuss here several possible measures for interval approximations. We then bound the roundoff error and compare experimentally this bound with the global error distribution on several random data sets. This approach enlightens the relative importance of the roundoff and arithmetic errors depending on the value and homogeneity of relative accuracies of inputs, on the matrix dimension, and on the working precision. This also leads to a new algorithm that is cheaper yet as accurate as previous ones under well-identified conditions.Second, we exploit the parallelism of linear algebra. Previous implementations use calls to BLAS routines on numerical matrices. We show that this may lead to wrong interval results and also restrict the scalability of the performance when the core count increases. To overcome these problems, we implement a blocking version with OpenMP threads executing block kernels with vector instructions. The timings on a 4-octo-core machine show that this implementation is more scalable than the BLAS one and that the cost of numerical and interval matrix products are comparable.

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma. / This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator.