Le sujet de la thèse s’inscrit dans le cadre du développement de modèles pour la simulation du contrôle non-destructif (CND) par ultrasons. L'objectif à long terme est la mise au point, par une méthode de rayons, d’un outil complet de simulation des échos issus de la géométrie (surfaces d’entrée, de fond…) ou des structures internes des pièces inspectées. La thèse vise plus précisément à intégrer le phénomène de diffraction par les dièdres à un modèle existant dérivant de l’acoustique géométrique et qui prend uniquement en compte les réflexions sur les faces.Pour cela, la méthode dite des fonctions spectrales, développée initialement pour le cas d'un dièdre immergé, est développée et validée dans un premier temps dans le cas des ondes acoustiques pour des conditions aux limites de type Dirichlet ou Neumann. La méthode est ensuite étendue à la diffraction des ondes élastiques par des dièdres infinis à faces libres et d'angles quelconques, pour une incidence 2D puis pour une incidence 3D. Cette méthode est semi-analytique puisque les solutions recherchées s'écrivent sous la forme d'une somme d'une fonction singulière, qui est déterminée analytiquement à l'aide d'un algorithme récursif, et d'une fonction régulière, qui est approchée numériquement.Les codes correspondants sont validés par comparaison à une solution exacte dans le cas acoustique et par comparaison à d'autres codes (semi-analytiques et numériques) dans le cas élastique. Des validations expérimentales du modèle élastodynamique sont également proposées. / This thesis falls into the framework of model development for simulation of ultrasonic non-destructive testing (NDT). The long-term goal is to develop, using ray methods, a complete simulation tool of specimen echoes (input, back-wall surfaces...) or echoes of inner structures of inspected parts. The thesis aims more specifically to integrate the phenomenon of diffraction by wedges to an existing model derived from geometrical acoustics, which only accounts for reflections on the wedge faces.To this end, a method called the spectral functions method, which was initially developed for immersed wedges, is developed and validated as a first step in the case of acoustic waves with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The method is then extended to elastic wave diffraction by infinite stress-free wedges of arbitrary angles, for 2D and 3D incidences. This method is semi-analytic since the unknown solutions are expressed as the sum of a singular function, determined analytically using a recursive algorithm, and a regular function which is approached numerically.The corresponding codes are validated by comparison to an exact solution in the acoustic case and by comparison to other codes (semi-analytic and numerical) in the elastic case. Experimental validations of the elastodynamic model are also proposed.

Le modèle de Usher est un modèle matriciel qui décrit l'évolution en temps discret d'une population<br />structurée par taille et qui restreint les transitions entre les classes d'état. Il est particulièrement<br />adapté pour décrire la dynamique d'un peuplement forestier et sert de guide dans la gestion des<br />forêts. Cette étude porte sur les prédictions dans l'état stationnaire du modèle. L'objectif principal<br />est la construction d'intervalles de confiance de ces prédictions. Dans un premier temps, des<br />intervalles de confiance asymptotiques sont construits en utilisant les estimateurs du maximum de<br />vraisemblance des prédictions. La distribution asymptotique de ces estimateurs est obtenue grâce<br />à la delta-méthode. Les résultats sont étendus, dans un autre chapitre, au cas du modèle densitédépendant,<br />dans lequel les paramètres sont fonctions des caractéristiques courantes de la population.<br />Dans un deuxième temps, les intervalles de confiance asymptotiques sont affinés en cherchant des<br />estimateurs robustes des paramètres de transition du modèle. Cette recherche est guidée par deux<br />types de contraintes du modèle portant sur sa structure discrète et sur la dynamique de la population.<br />Les estimateurs des paramètres ainsi construits sont des L-estimateurs exprimés dans un<br />modèle statistique multidimensionnel. Le critère de robustesse utilisé est la sensibilité des estimateurs,<br />basé sur la notion de fonction d'influence. Les résultats théoriques sont appliqués un jeu de<br />données réelles d'un peuplement forestier en Guyane Française et les implications pratiques sont<br />discutées.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale de la physique, qui fait intervenir une fonction appelée potentiel, linéaire ou non linéaire, pouvant prendre différentes expressions selon le contexte physique. Pour résoudre numériquement cette équation, il faut se restreindre à un domaine borné en espace, en précisant sur la frontière de ce domaine de calcul des conditions aux limites artificielles (CLA) appropriées. En dimension un et pour un potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue. L'objectif de cette thèse est de généraliser ces résultats en construisant des CLA approchées dans le cas d'un potentiel, linéaire ou non linéaire. A cette fin, nous proposons une recherche détaillée de méthodes permettant de tenir compte du potentiel, sans distinction selon ses propriétés mathématiques. Cette construction repose sur l'analyse microlocale et les règles du calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels. Les CLA obtenues se prêtent alors à une discrétisation et une implémentation numérique effective à l'aide d'un schéma de Crank-Nicolson suivi d'une méthode éléments finis linéaires. Dans ce travail, nous avons élaboré des familles de CLA pour l'équation en dimension un ou deux d'espace avec un potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que pour le problème stationnaire en dimension un. Dans chaque cas, de nombreuses simulations numériques ont été effectuées afin de comparer l'efficacité des conditions aux limites proposées par rapport aux autres méthodes existantes, ainsi que pour comparer entre elles les différentes familles de conditions aux limites construites suivant différentes stratégies / The Schrödinger equation is a fundamental equation involved in many physical domains. It deals with a linear or nonlinear function called potential, which can appear under various different expressions depending on the physical context. In order to solve the equation numerically, one has to restrict to a bounded spatial domain, and to add appropriate artificial boundary conditions (ABC) on the boundary of the computational domain. For the free-potential equation in one dimension, the exact boundary condition is known. The aim of this thesis is to generalize these results thanks to the construction of approximate ABC in the case of a linear or nonlinear potential. To this end, we propose a detailed research of methods taking the potential into account in the artifical boundary condition, without considering the mathematical properties of the considered potential. The construction of these CLA relies on microlocal analysis and the rules of symbolic calculus associated to pseudodifferential operators. These approximate boundary conditions can then be discretized and numerically computed, using a Crank-Nicolson scheme and a linear finite element method. In this work, we have derived families of ABCs for the Schrödinger equation in dimension one and two, with a linear or nonlinear potential, and for the stationary one-dimensional problem. In each case, many numerical simulations have been implemented in order to compare the efficiency of the new boundary conditions with respect to existing methods, and also in order to compare with one another the different families of boundary conditions developed following different strategies

Cette thèse est consacrée à l’enrichissement du modèle mathématique classique des structures intelligentes, en tenant compte des effets thermiques, et à son étude analytique et numérique. Il s'agit typiquement de structures se présentant sous forme de capteurs ou actionneurs, piézoélectriques et/ou magnétostrictifs, dont les propriétés dépendent de la température. On présente d'abord des résultats d'existence et unicité concernant deux problèmes posés sur un domaine tridimensionnel : le problème dynamique et le problème quasi-statique. A partir du problème quasi-statique on déduit un modèle bidimensionnel de plaque grâce à la méthode des développements asymptotiques en considérant quatre types différents de conditions aux limites, chacun visant à modéliser un comportement de type capteur et/ou actionneur. Chacun des quatre problèmes se découple en un problème membranaire et un problème de flexion. Ce dernier est un problème d'évolution qui tient compte d'un effet d'inertie de rotation. On focalise ensuite notre attention sur ce problème et on en présente une étude mathématique et numérique. L'analyse numérique est complétée avec des tests effectués sous l'environnement FreeFEM++. / This thesis is devoted to the enrichment of the usual mathematical model of smart structures, by taking into account thermal effects, and to its mathematical and numerical study. By the expression "smart structures" we refer to structures acting as sensors or actuators, whose properties depend on the temperature. We present at first the results of existence and uniqueness concerning two problems posed on a three-dimensional domain: the dynamic problem and the quasi-static problem. Based on the quasi-static problem, we infer a two-dimensional plate model by means of the asymptotic expansion method by considering four different sets of boundary conditions, each one featuring a sensor-like or an actuator-like behavior. Each of the four problems decouples into a membrane problem and a flexural problem. The latter is an evolution problem that accounts for a rotational inertia effect. Attention is then focused on this problem by presenting a mathematical and numerical study of it. Our numerical analysis is complemented with numerical tests carried out under the FreeFEM++ environment.

Cette thèse porte sur la propagation et le retournement temporel des ondes dans des guides d'ondes aléatoirement perturbés. L'étude de la propagation dans les guides d'ondes aléatoires est devenue indispensable face au grand nombre de situations pouvant se modéliser de cette manière : comme par exemple en télécommunication, en acoustique sous-marine ou en géophysique. Le travail présenté dans cette thèse se décompose en trois chapitres. Dans un premier chapitre, on s'intéresse à la propagation des ondes dans un guide d'onde océanique inhomogène. On propose des équations effectives permettant de modéliser la propagation des ondes dans ce milieu. Ces équations décrivent le rôle des modes propagatifs, évanescents et radiatifs sur la propagation, et permettent de quantifier la perte radiative d'énergie dans le fond océanique. Dans un second chapitre, on s'intéresse à la propagation et à la refocalisation par retournement temporel d'une impulsion dans le modèle de guide d'onde océanique du premier chapitre. On obtient une description de l'onde refocalisée prenant en compte la perte radiative dans le fond océanique et l'évolution des fluctuations du milieu entre les deux étapes de l'expérience de retournement temporel. Dans le dernier chapitre, on s'intéresse à la refocalisation par retournement temporel dans un modèle de guide d'onde simple. On obtient un phénomène de super-résolution par l'insertion, devant la source, d'une section inhomogène à faible vitesse de propagation, c'est à dire qu'on obtient des tailles de taches focales plus concentrées qu'en milieu homogène.

Ce travail a pour cadre la diffusion des ondes électromagnétiques par une ou deux interfaces rugueuses séparant des milieux homogènes. Il s'intéresse plus particulièrement aux modèles asymptotiques, qui permettent de résoudre le problème posé de manière rapide, au détriment d'un domaine de validité restreint.<br />Pour le cas simple interface, après un panorama des méthodes existantes, une étude approfondie de l'approximation dite de Kirchhoff est menée pour le cas de la diffraction en réflexion et en transmission par une simple interface. Cette méthode est réduite à l'approximation dite de l'optique géométrique, valide pour des interfaces fortement rugueuses comparativement à la longueur d'onde, pour calculer plus simplement et plus rapidement la puissance diffusée. Le phénomène d'ombrage de la surface, bien connu pour le cas de la réflexion, l'est beaucoup moins pour le cas de la transmission ; c'est pourquoi il est étudié en détail dans cette thèse. <br />Pour le cas double interface, une étude bibliographique des méthodes existantes nous permet de constater l'absence de méthode basée sur l'extension de l'approximation de Kirchhoff au cas de deux interfaces fortement rugueuses. Ainsi, la méthode développée dans cette thèse permet de pallier ce manque. Cette méthode est exposée en supposant que les deux surfaces sont décorrélées, afin de pouvoir obtenir une expression de la puissance diffusée simple à mettre en œuvre. Par comparaison avec une méthode numérique de référence, la méthode développée a été validée dans le cas bidimensionnel. Une application à la détection de nappes de pétrole sur la surface de la mer est présentée, et la méthode est étendue au cas tridimensionnel.

Dans ce travail, on s'intéresse à la modélisation d'un problème de revêtement ``mince'' et à l'étude de méthodes de décomposition de domaine en mécanique du contact.\\<br />La première partie porte sur un problème de contact quasistatique avec loi de Coulomb pour un solide élastique revêtu d'une couche ``mince''. Après avoir établi un théorème d'existence, nous définissons un rapport critique entre les paramètres géométriques et élastiques du système. Pour ce rapport, nous établissons rigoureusement une loi de contact limite en faisant tendre l'épaisseur relative du revêtement vers zéro.\\<br />La deuxième partie est dédiée aux méthodes de décomposition ``naturelle'' de domaine pour des problèmes de contact. Celle-ci consiste à considérer la zone de contact comme interface de décomposition mathématique. Nous étudions d'abord un problème de contact sans frottement entre deux corps élastiques (Signorini) pour lequel on propose et on démontre la convergence d'un algorithme de type ``Neumann-Dirichlet''. Ce résultat est ensuite généralisé à un problème de contact avec frottement de Coulomb. Enfin, nous proposons et nous montrons la convergence d'un algorithme plus parallélisable ``Neumann-Neumann'' pour un problème de Signorini.<br /> Des résultats numériques montrent la validité de la méthode. \\

Le périodogramme est un outil naturel pour l'analyse spectrale d'une série temporelle stationnaire au second ordre. La littérature sur les séries temporelles en donne grand nombre de propriétés - principalement asymptotiques -, que le signal soit a dependence courte ou longue. Beaucoup de ces resultats font l'hypothese supplementaire de gaussianite. La principale contribution de ce travail est l'extension de nombreux resultats connus aux signaux non-gaussiens. Nous traiterons le periodogramme de l'i.i.d. et donnerons une expression asymptotique de ses moments a tout ordre. Nous montrerons que l'on peut traiter le cas plus général du signal linéaire selon deux méthodes. Soit en s'appuyant sur le résultat précédent et la decomposition de Bartlett, soit en traitant directement le periodogramme du lineaire par developpement asymptotique (developement d'Edgeworth) de sa distribution. La premiere methode conduit a des resultats de type "limite centrale" sur une large classe de tableaux triangulaires de fonctionnelles non-lineaire du periodogramme, alors que la seconde permet des resultats de consistance.

Cette thèse porte sur la modélisation de la diffraction d'ondes en régime harmonique dans des milieux bidimensionnels comportant des fentes minces. Tout d'abord, nous introduisons et analysons un modèle approché dont la propriété principale est d'utiliser une approximation unidimensionnelle dans la fente. L'originalité de ce modèle se situe au niveau des conditions de couplage par raccord ``brutal'' à travers les extrémités de la fente. La précision de cette première technique étant limitée, nous utilisons la technique des développements asymptotiques raccordés pour obtenir et justifier le développement asymptotique de la solution à tout ordre en fonction de l'épaisseur de la fente. Les résultats sont radicalement différents suivant que la longueur de la fente est un multiple de la demi-longueur d'onde ou non, auquel cas un phénomène de résonance est observé. De nouvelles procédures de raccord 1D-2D peuvent être déduites de cette étude.