Diese Dissertation behandelt automorphe Formen und ihre Fourierentwicklung im Rahmen der Typ IIB Stringtheorie. Besonderes Augenmerk wird auf den zehndimensionalen Fall gelegt sowie auf die torisch kompaktifizierte Theorie in sieben Raumzeitdimensionen mit jeweiligen Cremmer-Julia Symmetrien SL_2 und SL_5. Die Analyse erfolgt vorrangig über dem Adelenring mit dem Hauptergebnis einer Herleitung allgemeiner Ausdrücke für die Fourierentwicklung von Eisensteinreihen in der minimalen und nächstgrößeren (next-to-minimal) automorphen Darstellung beliebiger SL_n. / In this thesis, we study automorphic forms and their Fourier expansions in the context of type IIB string theory and its toroidal compactifications with an emphasis on the cases D = 10 and D = 7 where the Cremmer-Julia symmetry groups are SL_2 and SL_5 respectively. We work predominantly over the adeles and present general formulae for the Fourier expansions of Eisenstein series in the minimal- and next-to-minimal automorphic representations of SL_n.

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Das Hauptresultat dieser Arbeit ist ein regularisierter arithmetischer Satz von Riemann-Roch für ein hermitesches Geradenbündel, die isometrisch zum Geradenbündel den Spitzenformen vom geraden Gewicht ist, auf eine arithmetische Fläche, deren komplexe Faser isometrisch zu einer hyperbolischen Riemannschen Fläche ohne elliptische Punkte ist. Der Beweis des Resultats erfolgt durch metrische Degeneration: Wir regularisieren die betreffenden Metriken in einer Umgebung der Singularitäten, wenden dann den arithmetischen Riemann-Roch-Satz von Gillet und Soulé an und lassen schließlich den Parameter gegen Null gehen. Durch die metrische Degeneration entsteht auf beiden Seiten der Formel ein divergenter Term. Die asymptotische Entwicklung der Divergenz berechnet sich auf der einen Seite direkt aus der Definition der glatten arithmetischen Selbstschnittzahlen. Der divergente Term auf der anderen Seite ist die zeta-regularisierte Determinante des zu den regularisierten Metriken assoziierten Laplace-Operators, der auf den 1-Formen mit Werten in dem betrachteten hermitischen Geradenbündel operiert. Wir definieren und berechnen zuerst eine Regularisiereung des entsprechenden zu den singulären Metriken assoziierten Laplace-Operators; diese wird später im regularisierten Riemann-Roch-Satz auftauchen. Zu diesem Zweck passen wir Ideen von Jorgenson-Lundelius, D'Hoker-Phong und Sarnak auf die vorliegende Situation an und verallgemeinern diese. Schließlich beweisen wir eine Formel für den zum betrachteten hermitischen Geradenbündel assoziierten Wärmeleitungskern auf der Diagonalen bei einer Modellspitze. Diese Darstellung steht im Zusammenhang mit einer Entwicklung nach zur Whittaker-Gleichung assoziierten Eigenfunktionen, die im Anhang bewiesen wird. Weitere Abschätzungen des zum betrachteten hermitischen Geradenbündel gehörigen Wärmeleitungskern auf der komplexe Faser der arithmetischen Fläche schließen den Beweis des Hauptresultats ab. / The main result of the dissertation is an arithmetic Riemann-Roch theorem for the hermitian line bundle of cusp form of given even integer weights on an arithmetic surface whose complex fiber is isometric to an hyperbolic Riemann surface without elliptic points. The proof proceeds by metric degeneration: We regularize the metric under consideration in a neighborhood of the singularities, then we apply the arithmetic Riemann-Roch theorem of Gillet and Soulé, and finally we let the parameter go to zero. Both sides of the formula blow up through metric degeneration. On one side the exact asymptotic expansion is computed from the definition of the smooth arithmetic intersection numbers. The divergent term on the other side is the zeta-regularized determinant of the Laplacian acting on 1-forms with values in the chosen hermitian line bundle associated to the regularized metrics. We first define and compute a regularization of the determinant of the corresponding Laplacian associated to the singular metrics, which will later occur int he regularized arithmetic Riemann-Roch theorem. To do so we adapt and generalize ideas od Jorgenson-Lundelius, D'Hoker-Phong, and Sarnak. Then, we prove a formula for the on-diagonal heat kernel associated to the chosen hermitian line bundle on a model cusp, from which its behavior close to a cusp is transparent. This expression is related to an expansion in terms of eigenfunctions associated to the Whittaker equation, which we prove in an appendix. Further estimates on the heat kernel associated to the chosen hermitian line bundle on the complex fiber of the arithmetic surface prove the main theorem.

Eine wichtige Invariante von Modulkurven ist die arithmetische Selbstschnittzahl der relativ dualisierenden Garbe. Auf dem minimalen regulären Modell von X(N) ist diese Selbstschnittzahl durch den gewöhnlichen Schnitt einiger ausgezeichneter vertikaler Divisoren (dem geometrischen Beitrag) und durch die Auswertung der kanonischen Greenschen Funktion an einigen Spitzen (dem analytischen Beitrag) vollständig festgelegt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, jeden dieser Beiträge in Abhängigkeit von der Stufe N zu bestimmen und das asymptotische Verhalten der Selbstschnittzahl zu studieren, wenn die Stufe N gegen unendlich geht. / An important invariant of modular curves is the arithmetic self-intersection of the relative dualizing sheaf. On the minimal regular model of X(N) this self-intersection is completely described by the usual intersection of some distinguished vertical divisors (geometric contribution) and the evaluation of the canonical Green’s function at certain cusps (analytic contribution). The aim of this thesis is to determine each of these contributions in terms of the level N and study the asymptotic behaviour of the self-intersection as N tends to infinity.