Materiais enrijecidos são encontrados cotidianamente na engenharia, como na construção de aeronaves, veículos, navios e manufaturas diversas. Na Engenharia Civil, são exemplos de materiais enrijecidos o concreto armado e o solo reforçado. A solução aproximada para esse tipo de problema pode ser encontrada pelo uso de métodos numéricos como o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de Contorno (MEC). Particularmente, o MEC é muito vantajoso em casos onde se tem elevados gradientes de tensão, como em problemas da mecânica da fratura, além de modelar de forma natural meios infinitos, sendo muito utilizado na análise de interação solo-estrutura ou de túneis. No entanto, como no MEC somente o contorno é discretizado, torna-se necessária a utilização de um acoplamento numérico para que o efeito mecânico dos enrijecedores seja considerado. Para esse acoplamento, podem ser utilizados diversos métodos numéricos, sendo neste trabalho realizado com o MEF e o MEC em sua forma unidimensional (MEC 1D). Dentro desse contexto, o acoplamento com o MEC 1D destaca-se por vantagens, como a compatibilidade dos métodos e a redução de aproximações. Com isso, este trabalho tem como principal objetivo o desenvolvimento e comparação de soluções numéricas para o problema de domínios enrijecidos, no âmbito do MEC aplicado a problemas bidimensionais. Os enrijecedores foram considerados como elementos de treliça, sendo realizado inicialmente na sua forma mais usual, modelando-os por meio do MEF. A seguir foi implementada nova formulação para o acoplamento, na qual os enrijecedores são modelados por meio do MEC 1D. A implementação do MEC 1D foi validada pela comparação de resultados com soluções analítica e do programa computacional FTOOL. No caso do acoplamento, os resultados de ambas formulações foram comparados com resposta do programa computacional ANSYS. Foram avaliados quatro exemplos, sendo dois isotrópicos e dois anisotrópicos. Foram aplicadas diferentes condições de carregamentos, apoios e materiais, sendo utilizadas diversas discretizações e graus de aproximação nos enrijecedores. Verificou-se os efeitos da mudança do grau de aproximação, mantendo-se constante o número de graus de liberdade. Os resultados obtidos foram similares às respostas do ANSYS, foram mecanicamente equivalentes, não havendo diferença relevante em custo computacional. O acoplamento com o MEC 1D levou a resultados estáveis e, em geral, melhores do que com o MEF. No caso de aproximação quadrática, o acoplamento com o MEF frequentemente levou a resultados instáveis. Com o aumento do grau de aproximação, os resultados de ambos métodos se aproximam, se tornando muito próximos com aproximação do quarto grau. Verificou-se que próximo às pontas dos enrijecedores ocorrem concentrações de tensão, havendo maior influência da discretização e grau de aproximação adotado nestas áreas. / The reinforced materials are commonly encountered in engineering applications, as in the construction of airplanes, vehicles, ships and general manufactures. In Civil Engineering, the reinforced concrete and the reinforced soil are examples of reinforced materials. The solution of this kind of problem can be found by the use of numerical methods as the Finite Element Method (FEM) and the Boundary Element Method (BEM). Particularly, the BEM use in cases with high stress gradients, such as in fracture mechanics problems, is very advantageous. The BEM models infinite domains in a natural way, being largely used in analysis as soil-structure interaction and tunnel modelling. However, as in the BEM only the boundary is discretized, became necessary the use of a numerical coupling to consider the mechanical effect of the stiffeners. For the coupling many numerical methods can be used, in this study it was realized with the FEM and with the BEM in its unidimensional way (BEM 1D). In this context, the coupling BEM/BEM 1D stands out for its advantages, like the compatibility between the methods and the reduction of approximations. Therefore, the main objective of this study is the development and the comparison of numerical solutions for reinforced media problems, considering the framework of the bidimensional BEM problems. The coupling was implemented considering the stiffeners as truss elements, initially it was implemented in the most usual way, by modelling the stiffeners through the FEM. In the following, a new coupling formulation was proposed, in which the stiffeners are modelled through the BEM 1D method. The BEM 1D implementation was validated by comparing the results with analytical and numerical solutions, the last one obtained with the software FTOOL. Both coupling strategies were compared with the solution obtained by the software ANSYS. Four examples were evaluated, with two isotropic and two anisotropic domains. Different boundary conditions, supports and materials were applied, as many discretization and the approximation degree of the stiffeners were tested. The effects of changing the approximation degree in both coupling strategies keeping the degrees of freedom constant were analysed. The results obtained with the implemented algorithms were mechanically coherent, and they were similar to ANSYS results. For all examples, there is no significant computational costs differences between the two coupling strategies. However, the coupling with the BEM 1D leaded to more stable results and better approximations. It was observed that the MEF results were instable for many results, mainly in the quadratic approximations. When the approximation degree rises, the methods tend to converge to equivalent results, becoming very close in fourth degree approximation. Lastly, it was observed stress concentration in the stiffeners ends. In these regions, the discretization and the approximation degree have large influence to the numerical response.

O tema desta pesquisa refere-se ao tratamento numérico de estruturas de pavimentos, dando ênfase à utilização do método dos elementos de contorno - MEC para o tratamento de elementos planos, enquanto os elementos lineares serão tratados através do método dos elementos finitos - MEF. Busca-se contribuir com uma série de trabalhos realizados nesta área, principalmente com a consideração do efeito da excentricidade do eixo neutro das barras em relação à superfície neutra da placa somando-o, portanto, ao fenômeno de flexão desta última. A técnica de acoplamento dos elementos estruturais utilizada foi a técnica das sub-regiões, que facilita a visualização do problema da combinação e viabiliza o uso da técnica de condensação estática na resolução do sistema de equações. / This research refers to the numeric analysis of structures, emphasizing the use of the boundary element method - BEM - in the discretization of the plates, while the linear elements wil be formulated through the finite element method - FEM. The aim is to contribute with a number of works related to this subject, specially in the consideration of the effect of the stiffeners eccentricity in relation to the plates neutral surface, in addition to its bending state. The tool adopted to fulfill the coupling among these kinds of structural elements is the well-known sub region or multi-domain technique, which works well with the static condensation technique for solving the sparse system of equation generated.

Apresenta-se neste trabalho, uma formulação de cascas laminadas anisotrópicas enrijecidas ou não, considerando-se não-linearidade física com lei de fluxo não-associativa e acoplamento com meio contínuo tridimensional viscoelástico. Para tanto, são desenvolvidos elementos finitos triangulares planos com aproximação cúbica de variáveis para modelagem das cascas e elementos de barra de mesma aproximação para os elementos de barra geral (enrijecedores). A cinemática de laminados, ou Reissner geral, é utilizada para ambos possibilitando a representação de estruturas enrijecidas excentricamente e consideração de elementos compostos de camadas com diferentes propriedades físicas e espessuras, tornando-se assim a formulação aplicável a um grande número de problemas. Com relação à plasticidade na casca, adota-se o critério de Tsai-Wu para materiais anisotrópicos gerais, obtendo-se expressões fechadas para o multiplicador plástico com fluxo não-associativo. Nas barras, critérios uniaxiais são considerados, desprezando-se a contribuição do cisalhamento na plastificação. Para estes elementos, permite-se a utilização de diagrama multilinear para a relação tensão x deformação. A modelagem do meio contínuo viscoelástico é realizada utilizando-se elementos de contorno triangulares com aproximação linear de variáveis. As soluções fundamentais de Kelvin e de Mindlin são apresentadas e implementadas. O acoplamento foi realizado utilizando-se técnica de matriz de rigidez equivalente, proporcionando uma contribuição direta das matrizes do MEC na matriz de rigidez do MEF. Exemplos gerais são resolvidos para a verificação e validação da formulação proposta e implementada / This work presents an anisotropic laminated stiffened shell formulation, considering physical non-linearity with non-associative law, coupled to viscoelastic three-dimensional continuum medium. Plane triangular finite elements with cubic approximation for nodal variables are developed to model the shell. Bar elements with the same approximation are derived for the general bar element. Laminated kinematics is used for both elements, making possible the representation of eccentrically stiffened structures and the consideration of composed elements with different properties and thickness for each layer. Therefore, the formulation is applicable for a large number of problems. In order to model plasticity in shell, the Tsai-Wu criterion for general anisotropic materials is adopted. Closed expression for the plastic multiplier using non-associative law is founded. For bars, uniaxial criterion is considered, and shear contribution for plasticity is neglected. For these elements, the use of multilinear stress x strain relation is developed. The viscoelastic continuum is modeled by triangular boundary elements with linear approximation of variables. The fundamental solutions of Kelvin and Mindlin are presented and implemented. The coupling is made by the equivalent stiffness matrix method, making possible a direct contribution of the BEM matrix on the FEM stiffness matrix. General examples are presented to verify and validate the proposed formulation

Neste trabalho, uma combinação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) com o Método dos Elementos Finitos (MEF) é apresentada para análise bidimensional de sólidos elastostáticos reforçados, sendo considerados modelos de aderência no acoplamento. O elemento de contorno é adotado para modelar o comportamento do domínio, enquanto que o modelo por elementos finitos é utilizado para modelar o enrijecedor. Devido às singularidades nas equações integrais do MEC, estudou-se o erro ocasionado pelos integrandos de ordem e e como conseqüência sugerem-se, neste trabalho, equações mais simples para representar o erro das integrações. Para a formulação do acoplamento, um polinômio do terceiro grau é adotado para aproximar tanto o campo de deslocamento quanto a rotação do enrijecedor, enquanto aproximações lineares são usadas para representar a força de contato entre o domínio e o enrijecedor. Modelos de escorregamento, apresentados, são lineares e governados em função do carregamento escrito em termos das forças de contato e o deslocamento relativo. A partir da combinação entre o MEC e o MEF obtém-se uma matriz retangular contendo duas equações para o MEC e uma para o MEF. O resultado das equações algébricas redundantes é eliminado pela aplicação do procedimento dos mínimos quadrados. Exemplos ilustram o bom ajuste e os melhores resultados proporcionados pelo controle do erro das equações integrais, mostrando ainda através de exemplos, a potencialidade e as limitações no acoplamento entre os dois materiais, considerando modelos de aderência ou não. / In this work it is presented a coupling between the Boundary Element Method and the Finite Element Method for two-dimensional elastostatic analysis of reinforced bodies considering adherence. The Boundary Element is used to model the matrix while the reinforcement is modeled by the Finite Element. Due to the inherent singularities present in Boundary Element formulations the quadrature rules, used to develop the necessary integrals may present undesired errors. In this sense the behavior of this integration error is studied and a simple way to control it is proposed along the work. Regarding the coupling formulation a third degree polynomial is adopted to describe the displacements and rotations of the reinforcement, while a linear polynomial is used to describe the contact forces among the continuum and the reinforcement. Adherence (or sliding) models are presented and implemented in the computer code. A linear relation between relative displacement and transmitted force is adopted. From difference of approximation regarding contact forces and displacements a rectangular matrix arrises from the BEM/FEM coupling. The additional equations are eliminated by the use of a least square method based on the multiplication of transpose matrices. Examples are shown to demonstrate the good behavior of error control applied on gaussian quadratures regarding Boundary Element simulations for coupled or not situations, considering or not adherence models.

O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um código computacional que possibilite a análise dinâmica de estruturas tridimensionais em regime elástico-linear acopladas ao solo, tratado como meio infinito elastoplástico. As superestruturas são tratadas por elementos finitos simples de casca e de barra geral, as estruturas de fundações são tratadas por elementos de casca que simulam o contato com o solo, modelando radiers, túneis e reservatórios enterrados. Blocos são modelados por elementos de contorno tridimensionais. O solo é modelado de duas maneiras distintas: na região plastificada emprega-se a solução fundamental de Kelvin (estática) e na região não plastificada (elástica) adota-se a solução fundamental do problema de Stokes. O acoplamento entre os meios é feito aplicando-se a técnica de subregiões. Deve ficar claro que todo procedimento estático equivalente foi implementado. Vários exemplos numéricos são apresentados, onde se percebe a eficiência do código computacional desenvolvido / The objective of the present work is the development of a computational code that makes possible dynamic analyses of three-dimensional structures in elastic-linear behavior coupled to the soil, modeled as elastoplastic infinite medium. Simple finite elements, shell and general bars, are used to model elastic structures. The structures of foundations are modeled by shell’s elements which simulate the contact with the soil, modeling radiers, tunnels and buried reservoirs. Blocks are modeled by three-dimensional boundary elements. The soil is modeled in two different ways: in the plastic region Kelvin’s fundamental solution (static) is used and in the elastic region the fundamental solution of the Stoke’s problem is adopted. The coupling among the media is done applying the sub-region technique. It is important to note that the equivalent static procedure has been implemented. Several numerical examples are presented, demonstrating the efficiency of the developed computational code

Analisam-se problemas de interação solo-estrutura através de uma formulação tridimensional obtida da combinação entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). Os elementos estruturais que interagem com o solo são modelados pelo Método dos Elementos Finitos. E o solo, considerado como um meio semi-infinito, homogêneo, elástico linear e isotrópico, é modelado pelo Método dos Elementos de Contorno, empregando a solução fundamental de Mindlin. A solução fundamental de Mindlin é particularmente adequada para o tipo de problemas em análise, ou seja, problemas envolvendo sólidos tridimensionais semi-infinitos, já que é necessário discretizar apenas a superfície carregada do solo e/ou a linha de carga, e não todo o sólido tridimensional. A discretização da estaca em vários elementos finitos de viga tridimensional, permitindo a consideração de estacas de qualquer tamanho e submetidas a qualquer tipo de carregamento é uma das principais contribuições do trabalho. Outra contribuição diz respeito à consideração da ação horizontal no sistema placa-estaca-solo, diretamente aplicada na placa, e não redistribuída no topo das estacas. Por isso, os elementos estruturais laminares (radiers, sapatas e blocos de fundação) são modelados por elementos finitos de casca plana, possibilitando a consideração dos efeitos de flexão e de membrana. Essa abordagem permite a análise tanto de um grupo de estacas com bloco de capeamento rígido quanto de um radier estaqueado de qualquer rigidez. O acoplamento entre o MEC e o MEF é feito através de uma formulação mista em que a matriz dos coeficientes de influência do solo obtida pelo MEC é adicionada à matriz de rigidez dos elementos estruturais obtida pelo MEF, resultando em uma matriz de rigidez equivalente. Exemplos numéricos de interação estaca-solo, placa-solo e casca plana-estaca-solo são resolvidos para verificar, validar e demonstrar a eficiência das formulações desenvolvidas e implementadas. / Soil-structure interaction problems are analyzed by a tridimensional formulation obtained combining the Boundary Element Method (BEM) and the Finite Element Method (FEM). Structural elements that interact with the soil are modeled by the Finite Element Method. And the soil, considered as a semi-infinite, homogeneous, linear elastic and isotropic medium, is modeled by the Boundary Element Method, using Mindlin\'s fundamental solution. Mindlin\'s fundamental solution is particularly suitable for the type of problems under analysis, viz. problems involving semi-infinite three-dimensional solids, since it is necessary to discretize only the loaded surface of the soil and/or the line-load, and not all the three-dimensional solid. The discretization of the pile in several three-dimensional beam finite elements, allowing the consideration of piles of any size and subjected to any type of loading, is one of the main contributions of this work. Another contribution is about the consideration of the horizontal load in the plate-pile-soil system, directly applied to the plate, and not redistributed on the top of the piles. Therefore, the laminar structural elements (rafts, footings, and foundation blocks) are modeled by flat shell finite elements, making possible the consideration of the effects of flexion and membrane. This approach allows the analysis of both a capped pile group and a piled raft of any stiffness. The coupling between the BEM and the FEM is performed through a mixed formulation in which the matrix of the soil\'s influence coefficients obtained by the BEM is added to the stiffness matrix of the structural elements obtained by the FEM, resulting in an equivalent stiffness matrix. Numerical examples of pile-soil, plate-soil and flat shell-pile-soil interaction are solved to verify, validate and demonstrate the efficiency of the developed and implemented formulations.

In this work, it is proposed a mechanical behavior analysis of the soil-structure interaction from the development of a computational code using a coupling static formulation of Boundary Element Method (BEM) and Finite Element Method (FEM) for the displacements and stress calculation in structures in contact to the half space. Thus, it is intended to model the structure using the bending plate finite element DKT (discrete Kirchhoff triangle) and applying the concepts of the Boundary Element Method (BEM) formulation to model the soil, considered as a half- infinite and/or infinite space and using Kelvin s fundamental solution. The coupling between the media is done using the sub-regions technique. From the computational code development some practical examples of engineering are implemented, such as: soil-structure interaction analysis in superficial and buried plate foundations and others engineering structures, study on the behavior of a half- infinite space from the application of a distributed and concentrated load, analysis of bodies submitted to bend and traction, among others applications. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Neste trabalho, propõe-se a análise do comportamento mecânico da interação solo -estrutura a partir do desenvolvimento de um código computacional utilizando-se uma formulação estática conjunta do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e do Método dos Elementos Finitos (MEF) para o cálculo de deslocamentos e tensões em estruturas em contato com o meio semiinfinito. Assim sendo, pretende-se modelar a estrutura a partir de elementos finitos de placa DKT (discrete Kirchhoff triangle) e utilizar o conceito da formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para modelar o solo, considerando-o como um espaço semi- infinito e/ou infinito e utilizando a solução fundamental de Kelvin. O acoplamento entre os meios é feito aplicando-se a técnica de sub-regiões. A partir do desenvolvimento de um código computacional são processados alguns exemplos de engenharia tais como: análise da interação solo -estrutura em fundações de placa superficiais e enterradas e outras estruturas de engenharia, estudo do comportamento de um espaço semi- infinito a partir da aplicação de um carregamento distribuído e carga concentrada, análise de corpos submetidos à flexão e à tração, entre outras aplicações.

Analisam-se problemas de interação solo-estrutura através de uma formulação tridimensional obtida da combinação entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). Os elementos estruturais que interagem com o solo são modelados pelo Método dos Elementos Finitos. E o solo, considerado como um meio semi-infinito, homogêneo, elástico linear e isotrópico, é modelado pelo Método dos Elementos de Contorno, empregando a solução fundamental de Mindlin. A solução fundamental de Mindlin é particularmente adequada para o tipo de problemas em análise, ou seja, problemas envolvendo sólidos tridimensionais semi-infinitos, já que é necessário discretizar apenas a superfície carregada do solo e/ou a linha de carga, e não todo o sólido tridimensional. A discretização da estaca em vários elementos finitos de viga tridimensional, permitindo a consideração de estacas de qualquer tamanho e submetidas a qualquer tipo de carregamento é uma das principais contribuições do trabalho. Outra contribuição diz respeito à consideração da ação horizontal no sistema placa-estaca-solo, diretamente aplicada na placa, e não redistribuída no topo das estacas. Por isso, os elementos estruturais laminares (radiers, sapatas e blocos de fundação) são modelados por elementos finitos de casca plana, possibilitando a consideração dos efeitos de flexão e de membrana. Essa abordagem permite a análise tanto de um grupo de estacas com bloco de capeamento rígido quanto de um radier estaqueado de qualquer rigidez. O acoplamento entre o MEC e o MEF é feito através de uma formulação mista em que a matriz dos coeficientes de influência do solo obtida pelo MEC é adicionada à matriz de rigidez dos elementos estruturais obtida pelo MEF, resultando em uma matriz de rigidez equivalente. Exemplos numéricos de interação estaca-solo, placa-solo e casca plana-estaca-solo são resolvidos para verificar, validar e demonstrar a eficiência das formulações desenvolvidas e implementadas. / Soil-structure interaction problems are analyzed by a tridimensional formulation obtained combining the Boundary Element Method (BEM) and the Finite Element Method (FEM). Structural elements that interact with the soil are modeled by the Finite Element Method. And the soil, considered as a semi-infinite, homogeneous, linear elastic and isotropic medium, is modeled by the Boundary Element Method, using Mindlin\'s fundamental solution. Mindlin\'s fundamental solution is particularly suitable for the type of problems under analysis, viz. problems involving semi-infinite three-dimensional solids, since it is necessary to discretize only the loaded surface of the soil and/or the line-load, and not all the three-dimensional solid. The discretization of the pile in several three-dimensional beam finite elements, allowing the consideration of piles of any size and subjected to any type of loading, is one of the main contributions of this work. Another contribution is about the consideration of the horizontal load in the plate-pile-soil system, directly applied to the plate, and not redistributed on the top of the piles. Therefore, the laminar structural elements (rafts, footings, and foundation blocks) are modeled by flat shell finite elements, making possible the consideration of the effects of flexion and membrane. This approach allows the analysis of both a capped pile group and a piled raft of any stiffness. The coupling between the BEM and the FEM is performed through a mixed formulation in which the matrix of the soil\'s influence coefficients obtained by the BEM is added to the stiffness matrix of the structural elements obtained by the FEM, resulting in an equivalent stiffness matrix. Numerical examples of pile-soil, plate-soil and flat shell-pile-soil interaction are solved to verify, validate and demonstrate the efficiency of the developed and implemented formulations.

O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um código computacional que possibilite a análise dinâmica de estruturas tridimensionais em regime elástico-linear acopladas ao solo, tratado como meio infinito elastoplástico. As superestruturas são tratadas por elementos finitos simples de casca e de barra geral, as estruturas de fundações são tratadas por elementos de casca que simulam o contato com o solo, modelando radiers, túneis e reservatórios enterrados. Blocos são modelados por elementos de contorno tridimensionais. O solo é modelado de duas maneiras distintas: na região plastificada emprega-se a solução fundamental de Kelvin (estática) e na região não plastificada (elástica) adota-se a solução fundamental do problema de Stokes. O acoplamento entre os meios é feito aplicando-se a técnica de subregiões. Deve ficar claro que todo procedimento estático equivalente foi implementado. Vários exemplos numéricos são apresentados, onde se percebe a eficiência do código computacional desenvolvido / The objective of the present work is the development of a computational code that makes possible dynamic analyses of three-dimensional structures in elastic-linear behavior coupled to the soil, modeled as elastoplastic infinite medium. Simple finite elements, shell and general bars, are used to model elastic structures. The structures of foundations are modeled by shell’s elements which simulate the contact with the soil, modeling radiers, tunnels and buried reservoirs. Blocks are modeled by three-dimensional boundary elements. The soil is modeled in two different ways: in the plastic region Kelvin’s fundamental solution (static) is used and in the elastic region the fundamental solution of the Stoke’s problem is adopted. The coupling among the media is done applying the sub-region technique. It is important to note that the equivalent static procedure has been implemented. Several numerical examples are presented, demonstrating the efficiency of the developed computational code