Tensor products of Banach Spaces are studied. An introduction to tensor products is given. Some results concerning the reciprocal Dunford-Pettis Property due to Emmanuele are presented. Pelczyriski's property (V) and (V)-sets are studied. It will be shown that if X and Y are Banach spaces with property (V) and every integral operator from X into Y* is compact, then the (V)-subsets of (X⊗F)* are weak* sequentially compact. This in turn will be used to prove some stronger convergence results for (V)-subsets of C(Ω,X)*.

In this paper the weak completeness of certain sequence spaces is examined. In particular, we show that each of the sequence spaces c0 and 9, 1 < p < c, is a Banach space. A Riesz representation for the dual space of each of these sequence spaces is given. A Riesz representation theorem for Hilbert space is also proven. In the third chapter we conclude that any reflexive space is weakly (sequentially) complete. We give 01 as an example of a non-reflexive space that is weakly complete. Two examples, c0 and YJ, are given of spaces that fail to be weakly complete.

Dans cette thèse, on aborde trois thèmes : problème de sélection de colonnes dans une matrice, distance de Banach-Mazur au cube et estimation de la covariance de matrices aléatoires. Bien que les trois thèmes paraissent éloignés, les techniques utilisées se ressemblent tout au long de la thèse. Dans un premier lieu, nous généralisons le principe d'invertibilité restreinte de Bourgain-Tzafriri. Ce résultat permet d'extraire un "grand" bloc de colonnes linéairement indépendantes dans une matrice et d'estimer la plus petite valeur singulière de la matrice extraite. Nous proposons ensuite un algorithme déterministe pour extraire d'une matrice un bloc presque isométrique c’est à dire une sous-matrice dont les valeurs singulières sont proches de 1. Ce résultat nous permet de retrouver le meilleur résultat connu sur la célèbre conjecture de Kadison-Singer. Des applications à la théorie locale des espaces de Banach ainsi qu'à l'analyse harmonique sont déduites. Nous donnons une estimation de la distance de Banach-Mazur d'un corps convexe de Rn au cube de dimension n. Nous proposons une démarche plus élémentaire, basée sur le principe d'invertibilité restreinte, pour améliorer et simplifier les résultats précédents concernant ce problème. Plusieurs travaux ont été consacrés pour approcher la matrice de covariance d'un vecteur aléatoire par la matrice de covariance empirique. Nous étendons ce problème à un cadre matriciel et on répond à la question. Notre résultat peut être interprété comme une quantification de la loi des grands nombres pour des matrices aléatoires symétriques semi-définies positives. L'estimation obtenue s'applique à une large classe de matrices aléatoires / In this thesis, we address three themes : columns subset selection in a matrix, the Banach-Mazur distance to the cube and the estimation of the covariance of random matrices. Although the three themes seem distant, the techniques used are similar throughout the thesis. In the first place, we generalize the restricted invertibility principle of Bougain-Tzafriri. This result allows us to extract a "large" block of linearly independent columns inside a matrix and estimate the smallest singular value of the restricted matrix. We also propose a deterministic algorithm in order to extract an almost isometric block inside a matrix i.e a submatrix whose singular values are close to 1. This result allows us to recover the best known result on the Kadison-Singer conjecture. Applications to the local theory of Banach spaces as well as to harmonic analysis are deduced. We give an estimate of the Banach-Mazur distance between a symmetric convex body in Rn and the cube of dimension n. We propose an elementary approach, based on the restricted invertibility principle, in order to improve and simplify the previous results dealing with this problem. Several studies have been devoted to approximate the covariance matrix of a random vector by its sample covariance matrix. We extend this problem to a matrix setting and we answer the question. Our result can be interpreted as a quantified law of large numbers for positive semidefinite random matrices. The estimate we obtain, applies to a large class of random matrices

Probability theory plays a crucial role in the study of the geometry of Banach spaces. In the literature, notions from probability theory have been formulated and studied in the measure free setting of vector lattices. However, there is little evidence of these vector lattice techniques being used in the study of geometry of Banach spaces. In this thesis, we fill this niche. Using the l-tensor product of Chaney-Shaefer, we are able to extend the available vector lattice techniques and apply them to the Lebesgue-Bochner spaces. As a consequence, we obtain new characterizations of the Radon Nikod´ym property and the UMD property.

Neste trabalho fazemos um estudo do conceito de soma torcida de F-espaços. Apresentamos algumas propriedades e simplificações na construção de somas torcidas de F-espaços localmente limitados. Em particular, estudamos uma condição suficiente para que uma soma torcida de espaços de Banach seja um espaço de Banach. Finalmente aplicamos esses conceitos para definir o espaço construído por N. J. Kalton, que é um exemplo de um espaço de Banach não isomorfo ao conjugado complexo. Este espaço X de Kalton corresponde a uma soma torcida de espaços de Hilbert, isto é, X possui um subespaço fechado E tal que E e X/E são isomorfos a espaços de Hilbert. / In this work we study the concept of twisted sum of F-spaces. We also study some properties and simplifications in the construction of twisted sums of locally bounded F-spaces. In particular, we study a sufficient condition for a twisted sum of Banach spaces to be a Banach space. Finally we apply these concepts to define the space constructed by N. J. Kalton, which is an example of a Banach space not isomorphic to its complex conjugate. The Kalton space X is a twisted sum of Hilbert spaces, i.e. X has a closed subspace E such that E and X/E are isomorphic to Hilbert spaces.

Esta dissertação tem por objetivo a apresentação de um estudo em espaços de Banach sobre os conjuntos nos quais determinados polinômios homogêneos contínuos são fracamente sequencialmente contínuos. Algumas propriedades desses conjuntos são estudadas e ilustradas com exemplos, em maior parte no espaço $l_p$. Obtemos um fórmula para o conjunto de continuidade sequencial fraca do produto de dois polinômios e algumas consequências. Resultados mais fortes são obtidos quando restringimos nossos espaços de Banach a espaços com FDD incondicional e/ou separáveis. Os resultados estudados aqui foram obtidos por R. Aron e V. Dimant em: Aron, R. & Dimant, V., Sets of weak sequential continuity for polynomials, Indag. Mathem., N.S., 13 (3) (2002), 287-299. / This work has the purpose of presenting a study on Banach spaces about sets in which determined homogeneous continuous polynomials are weakly sequentially continuous. Some properties of these sets are studied and illustrated with examples, most in the space $l_p$. We obtain a formula for the weak sequential continuity set of the product of two polynomials, and some consequences. Stronger results are obtained when we restrict our Banach spaces to spaces with unconditional FDD and/or separable. The results studied here were obtained by R. Aron and V. Dimant in: Aron, R. & Dimant, V., {Sets of weak sequential continuity for polynomials, Indag. Mathem., N.S., 13 (3) (2002), 287-299.

Este trabalho tem por objetivo estudar algumas variações do teorema de Banach- Stone. Elas podem ser encontradas no artigo Variations on the Banach- Stone Theorem, [14]. Além disso, apresentamos um resultado, provado por D. Amir em [1], que generaliza a versão clássica do Teorema de Banach- Stone. Consideramos os espaços C(K) e C(L), que representam os espaços de funções contínuas de K em R e de L em R respectivamente, onde K e L são espaços Hausdor compactos. O enunciado da versão clássica do teorema de Banach- Stone é a seguinte: \"Sejam K e L espaços Hausdor compactos. Então C(K) é isométrico a C(L) se e somente se, K e L são homeomorfos\". Apresentamos a primeira das variações que considera isomorfismo entre álgebras e foi feita por Gelfand e Kolmogoro em [15], no ano de 1939. A segunda versão apresentada trata de isomorfismo isométrico e a demonstração é originalmente devida a Arens e Kelley e é encontrada em [2]. Finalmente, estudamos o teorema provado por D. Amir e apresentado em [1]. Este teorema generaliza o teorema clássico de Banach- Stone e tem o seguinte enunciado: Se K e L são espaços Hausdor compactos e T é um isomorfismo linear de C(K) sobre C(L), com ||T||.||T^||< 2 então K e L são homeomorfos / This work aims to study some variations of the Banach- Stone theorem. They can be found in the article Variations on the Banach- Stone Theorem, [14]. In addition, we present a result, proved by D. Amir in [1], that generalizes the classic version of the Theorem Banach- Stone. We consider the spacesC(K) andC(L), representing the spaces of continuous functions from K into R and from L into R respectively, where K and L are compact Hausdor spaces. The wording of the classic version of the Banach- Stone theorem is as follows: \"Let K e L be compact Haudor spaces. Then C(K) isisometrictoC(L) if,andonlyif, K and L are homeomorphic\".Here the first of the variations that considers isomorphism between algebras and was made by Gelfand and Kolmogoro in [15], in 1939. The second version presented is about isometric isomorphisms and the demonstration is originally due to Arens and Kelley and it is found in [2]. Finally, we study the theorem proved by D. Amir and presented in [1]. This theorem generalizes the classical theorem Banach- Stone and states the following: \"Let K e L be compact Haudor spaces and let T be a linear isomorphism from C(K) into C(L), with ||T||.||T^||< 2. Then K and L are homeomorphic\".

Este trabalho tem por objetivo estudar algumas variações do teorema de Banach- Stone. Elas podem ser encontradas no artigo Variations on the Banach- Stone Theorem, [14]. Além disso, apresentamos um resultado, provado por D. Amir em [1], que generaliza a versão clássica do Teorema de Banach- Stone. Consideramos os espaços C(K) e C(L), que representam os espaços de funções contínuas de K em R e de L em R respectivamente, onde K e L são espaços Hausdor compactos. O enunciado da versão clássica do teorema de Banach- Stone é a seguinte: \"Sejam K e L espaços Hausdor compactos. Então C(K) é isométrico a C(L) se e somente se, K e L são homeomorfos\". Apresentamos a primeira das variações que considera isomorfismo entre álgebras e foi feita por Gelfand e Kolmogoro em [15], no ano de 1939. A segunda versão apresentada trata de isomorfismo isométrico e a demonstração é originalmente devida a Arens e Kelley e é encontrada em [2]. Finalmente, estudamos o teorema provado por D. Amir e apresentado em [1]. Este teorema generaliza o teorema clássico de Banach- Stone e tem o seguinte enunciado: Se K e L são espaços Hausdor compactos e T é um isomorfismo linear de C(K) sobre C(L), com ||T||.||T^||< 2 então K e L são homeomorfos / This work aims to study some variations of the Banach- Stone theorem. They can be found in the article Variations on the Banach- Stone Theorem, [14]. In addition, we present a result, proved by D. Amir in [1], that generalizes the classic version of the Theorem Banach- Stone. We consider the spacesC(K) andC(L), representing the spaces of continuous functions from K into R and from L into R respectively, where K and L are compact Hausdor spaces. The wording of the classic version of the Banach- Stone theorem is as follows: \"Let K e L be compact Haudor spaces. Then C(K) isisometrictoC(L) if,andonlyif, K and L are homeomorphic\".Here the first of the variations that considers isomorphism between algebras and was made by Gelfand and Kolmogoro in [15], in 1939. The second version presented is about isometric isomorphisms and the demonstration is originally due to Arens and Kelley and it is found in [2]. Finally, we study the theorem proved by D. Amir and presented in [1]. This theorem generalizes the classical theorem Banach- Stone and states the following: \"Let K e L be compact Haudor spaces and let T be a linear isomorphism from C(K) into C(L), with ||T||.||T^||< 2. Then K and L are homeomorphic\".

O objetivo da dissertação é provar que toda álgebra, sobre o corpo dos números reais, algébrica e absolutamente valuada é de dimensão nita, e portanto isótopa a D . Observamos que H é a álgebra real dos Quatérnios e D R , C , H ou a álgebra real dos Octônios. A demonstração do resultado é feita gradualmente, considerando inicialmente álgebras reais absolutamente valuadas algébrica com unidade, a seguir com unidade e nalmente, algébrica. Na demonstração do teorema será necessário combinar resultados não triviais de álgebras não associativas, análise funcional, álgebras de Banach e técnicas de ultraprodutos de espaços normados. As álgebra absolutamente valuadas não são necessariamente associativas. Abraham Adrian 1947 mostrou que R , C , H e D são as únicas álgebras reais absolutamente valuadas dimensão nita e com unidade; o mesmo Albert dois anos depois, em 1949 , caracterizou Albert em de essas mesmas álgebras como as únicas que são absolutamente valuadas algébricas e com unidade sobre os reais. Em 1960 Fred B. Wright e Kazimierz Urbanik provaram que R , C , D são as únicas álgebra reais absolutamente valuadas e com unidade. Recentemente, em 1997 , Kaidi El-Amin, Maria Isabel Ramírez e Ángel Rodríguez Palacios mostraram que H e toda álgebra real absolutamente valuadas e algébrica é isótopa a uma de estas quatro. Nosso objetivo é desenvolver e unicar os resultados obtidos nestes 4 trabalhos. / Our goal here is to study the absolute valued algebraic real algebras. In order to reach our intention, we regard an absolute valued real algebra and on which one we impose: First, such one is nite-dimensional algebra; second; such one is algebraic algebra; third, such one is with unity; and in the end such one is algebraic algebra. In the latter case, our aim, it needs of certain classic results of functional analysis and others one of Banach algebras; then, we reach that such one real algebra is isotope to one of the classical absolute valued real algebras algebra and D R , C , H or D . Where H is the Quaternions real is the Octonions real algebra. The absolute valued algebras are not necessarily associative. Abraham Adrian Albert was the rst mathematician considering absolute valued algebras in a context not necessarily associative. In 1947 , he proved that any nite-dimensional absolute valued real algebra with unit element is isomorphic to either real eld H or the Octonions algebra D . Two years R , the complex eld C , the Quaternions algebra later, he demonstrated that R , C , H and D are the unique absolute valued algebraic real algebras with unit element. Recently, in 1997 , Kaidi El-Amin, Maria Isabel Ramírez and Ángel Rodríguez Palacios proved that any absolute valued algebraic real algebra is nite-dimensional.

Este trabalho tem como objetivo principal aplicar elementos de teoria dos conjuntos no estudo de sistemas biortogonais em espaços de Banach. Inicialmente, estudamos o Teorema de Markushevic, que garante que todo espaço de Banach separável admite um sistema biortogonal enumerável. Assim, partimos para o estudo de espaços de Banach não separáveis, mais especificamente, estudamos a existência de sistemas biortogonais não enumeráveis em espaços de Banach da forma C(K), com K compacto Hausdorff não metrizável. Nesta direção, estudamos dois teoremas devido a S. Todorcevic. O primeiro teorema nos dá condições que um compacto Hausdorff K deve satisfazer de tal modo que o respectivo espaço de Banach C(K) possua sistemas biortogonais não enumeráveis. O segundo teorema nos diz que, assumindo o Axioma de Martin, todo espaço de Banach não separável da forma C(K) possui um sistema biortogonal não enumerável. Em seguida, consideramos algumas funções cardinais definidas por P. Koszmider para espaços de Banach, associadas aos sistemas biortogonais e estudamos suas relações com funções cardinais conhecidas. Em particular, obtemos um resultado original que relaciona o peso de um espaço compacto Hausdorff K com o tamanho de tipos especiais de sistemas biortogonais em C(K), generalizando um resultado de S. Todorcevic sobre álgebras de Boole. Finalmente, construímos um espaço de Ostaszewski K usando o Princípio Diamante. O espaço K é um compacto disperso não metrizável tal que todas suas potências finitas são hereditariamente separáveis. Este espaço é um exemplo consistente de um espaço compacto Hausdorff não metrizável tal que o respectivo espaço de Banach C(K) não admite sistemas biortogonais não enumeráveis. / The main purpose of this work is to apply elements of set theory to the study of biorthogonal systems in Banach spaces. Initially, we study Markushevic\'s Theorem, which ensures that every separable Banach space has a countable biorthogonal system. With this result, we focus our attention to the study of nonseparable Banach spaces, more especifically, we study the existence of uncountable biorthogonal systems in Banach spaces of the form C(K), with K a nonmetrizable compact Hausdorff space. In this direction, we study two theorems of S. Todorcevic. The first one gives us sufficient conditions that a compact Hausdorff space K must satisfy in order to get that the respective Banach space C(K) has an uncountable biorthogonal system. The second one tells us that under Martin\'s Axiom, every nonseparable Banach space of the form C(K) has an uncountable biorthogonal system. Next, we consider some cardinal functions defined by P. Koszmider for Banach spaces, related with biorthogonal systems, and we study its relations with well - known cardinal functions. In particular, we obtain an original result relating the weight of a compact Hausdorff space K to the size of certain biorthogonal systems in C(K), generalizing a result of S. Todorcevic for Boolean algebras. Finally, we construct an Ostaszewski space K using the Diamond Principle. The compact space K is a scattered nonmetrizable Hausdorff space such that all its finite powers are hereditarily separable. This space is a consistent example of a nonmetrizable compact Hausdorff space such that the respective Banach space C(K) does not have an uncountable biorthogonal system.